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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第五章5.3平面向量的数量积
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§5.3 平面向量的数量积
最新考纲
考情考向分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
概念方法微思考
1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？
提示 不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cos θ，而b在a方向上的投影为|b|cos θ，其中θ为a与b的夹角.
2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？
提示 不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( √ )
(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × )
(3)(a·b)c＝a(b·c).( × )
(4)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.( × )
题组二 教材改编
2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
答案 12
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.
答案 －2
解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
题组三 易错自纠
4.已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.
答案 －
解析 ∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－.
5.已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A.20 B.15 C.9 D.6
答案 C
解析 因为ABCD为矩形，建系如图.A(0,0)，M(6,3)，N(4,4).
则＝(6,3)，＝(2，－1)，
·＝6×2－3×1＝9.
6.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2
解析 方法一 |a＋2b|＝＝
＝＝＝2.
方法二 (数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
平面向量数量积的基本运算
例1 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
答案 12
解析 方法一 (几何法)
因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·，
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||·||cos ，
化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·
＝(2)2＋2×2cos ＝12.
方法二 (坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
则由·＝2·，
得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
跟踪训练1 (1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则·＝________.
答案
解析 如图所示，·＝·(＋)＝9＋3×cos 120°＝.
(2)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案 D
解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
又＝2，∴Q，
∴＝，＝，
∴·＝＋1＝.故选D.
平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模
例2 (1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈R，则|ka＋b|的最小值为( )
A. B. C.1 D.
答案 B
解析 |ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
因为a和b是单位向量，且夹角为120°，
所以|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
＝k2|a|2＋2k|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2
＝k2－k＋1
＝2＋≥，
所以|ka＋b|≥，
所以|ka＋b|的最小值为.
(2)(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.
答案
解析 ∵M为BC的中点，
∴＝(＋)，
∴||2＝(＋)2
＝(||2＋||2＋2·)
＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
∴||＝.
命题点2 求向量的夹角
例3 (1)(2020·昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 C
解析 |a|＝＝1，
∴cos〈a，b〉＝＝，
∴a与b的夹角为60°.
(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.
答案
解析 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝
＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝
＝＝，
解得λ＝.
思维升华 (1)求解平面向量模的方法
①利用公式|a|＝.
②利用|a|＝.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.
跟踪训练2 (1)(2019·江西省临川一中模拟)已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为________.
答案
解析 因为a⊥b，故a·b＝0，所以－3＋4k＝0，
故k＝，故a＋4b＝(－1,7)，
设a＋4b与a的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
因θ∈[0，π]，故θ＝.
(2)(2019·日照模拟) 已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________.
答案 ＋1
解析 设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，
∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)，
∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，
即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，因为圆心到A的距离为，
所以|c－a|的最大值为＋1.
平面向量与三角函数、解三角形
例4 (2019·石家庄模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f (x)＝a·b.
(1)求函数f (x)＝a·b的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f (A)＝1，求△ABC的周长.
解 (1)f (x)＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋，
f (x)＝sin＋，
所以f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由题意可得sin＝，
又0
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A.
所以a2＝b2＋c2－bc＝7，
又sin B＝3sin C，所以b＝3c.
故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.
所以b＝3，△ABC的周长为4＋.
思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
跟踪训练3 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积.
解 (1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，
在△ABC中，由正弦定理得，
sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，
又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.
1.(2020·江西省临川第一中学模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(m，－1)，且a⊥(a－b)，则m的值为( )
A.1 B.3 C.1或3 D.4
答案 B
解析 因为a＝(2,1)，b＝(m，－1)，
所以a－b＝(2－m，2)，
因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝2(2－m)＋2＝0，
解得m＝3.故选B.
2.(2019·全国Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
答案 C
解析 因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
3.(2019·拉萨模拟)已知向量a，b的夹角为，且a＝(2，－1)，|b|＝2，则|a＋2b|等于( )
A.2 B.3 C. D.
答案 C
解析 由已知|a|＝＝，
a·b＝|a||b|cos ＝0，
∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2
＝()2＋4×22＝21，
∴|a＋2b|＝.故选C.
4.(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且|b＋a|＝2，则向量a与b的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意可知，|b＋a|2＝b2＋2a·b＋a2＝3＋2a·b＝4，解得a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝，故选D.
5.(2020·东莞模拟)已知非零向量m，n满足|n|＝4|m|，且m⊥(2m＋n)，则m，n的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵|n|＝4|m|，且m⊥(2m＋n)，
∴m·(2m＋n)＝2m2＋m·n＝2|m|2＋|m||n|cos〈m，n〉＝0，
且|m|≠0，|n|≠0，
∴2|m|＋|n|cos〈m，n〉＝0，
∴cos〈m，n〉＝－＝－，
又0≤〈m，n〉≤π，∴〈m，n〉＝.故选D.
6.(2019·衡水质检)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( )
A.不存在θ，使e1·e2＝
B.e＝e
C.(e1－e2)⊥(e1＋e2)
D.e1在e2方向上的投影为sin θ
答案 D
解析 对于A，因为两个单位向量e1，e2，有e1·e2＝1×1×cos θ＝cos θ≤1，所以A正确；对于B，因为两个单位向量e1，e2，有e＝e＝1，所以B正确；对于C，因为两个单位向量e1，e2，有(e1－e2)·(e1＋e2)＝e－e＝0 ，所以(e1－e2)⊥(e1＋e2)，所以C正确；对于D，因为两个单位向量e1，e2，e1 在e2方向上的投影为|e1|cos θ＝cos θ，所以D错误.故选D.
7.(2019·景德镇模拟)已知两个单位向量a，b的夹角为30°，c＝ma＋(1－m)b，b·c＝0，则m＝________.
答案 4＋2
解析 b·c＝b·[ma＋(1－m)b]＝ma·b＋(1－m)b2
＝m|a||b|cos 30°＋(1－m)|b|2＝m＋1－m＝0，
所以m＝4＋2.
8.(2019·攀枝花联考)在四边形ABCD中，＝，＝(2,4)，＝(－3，－5)，则在上的投影为________.
答案
解析 由＝得四边形ABCD是平行四边形，
且＝＋＝(2,4)＋(－3，－5)＝(－1，－1)，
则＝＋＝(2,4)＋(－1，－1)＝(1,3)，
∴在上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝.
9.(2019·天津模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝(＋)，＝，则·＝________.
答案
解析 连接AC，BD交于点O，以O为原点，以，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，
∵菱形边长为2，∠ABC＝60°，
∴A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)，
∵＝(＋)，
∴E为AD的中点，∴E，
∵＝，∴F ，
∴＝，＝，
∴·＝－＋＝.
10.(2020·天津市北辰区模拟)在平行四边形ABCD中，AB＝4，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是________.
答案
解析 因为点P在边CD上，
所以设＝λ＝λ(0≤λ≤1)，
则＝＋＝＋λ，＝(1－λ)，
所以·＝(＋λ)·(1－λ)
＝4(1－λ)＋λ(1－λ)×16＝－16λ2＋12λ＋4
＝－2＋，
又0≤λ≤1，所以0≤·≤.
11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.
解 (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
12.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f (x)＝a·b，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0，于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f (x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f (x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f (x)取得最小值－2.
13.(2020·衡阳模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设BC的中点为D，
因为点G是△ABC的重心，
所以＝＝×(＋)＝(＋)，
再令||＝c，||＝b，
则·＝bccos 120°＝－3，所以bc＝6，
所以||2＝(||2＋2·＋||2)
＝(c2＋b2－6)≥(2bc－6)＝，
所以||≥，
当且仅当b＝c＝时取等号，故选B.
14.(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为( )
A. B.
C. D.3
答案 A
解析 如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系.
连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，
则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，).
设E(0，y)(0≤y≤)，
则＝(－1，y)，＝，
∴·＝＋y2－y＝2＋(0≤y≤)，
∴当y＝时，·有最小值.故选A.
15.若向量a，b，c满足a≠b，c≠0，且(c－a)·(c－b)＝0，则的最小值是( )
A. B.2 C.2 D.
答案 C
解析 设向量a＝，b＝，c＝，
则由(c－a)·(c－b)＝0得·＝0，
即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB的中点M，半径为||，
因此|c|＝||≤||＋r＝|＋|＋||
＝|＋|＋|－|
＝|a＋b|＋|a－b|，
从而≥2，故选C.
16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
解 (1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝2＋，
所以当t＝时，|＋|最小，最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
最新考纲
考情考向分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
概念方法微思考
1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？
提示 不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cos θ，而b在a方向上的投影为|b|cos θ，其中θ为a与b的夹角.
2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？
提示 不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( √ )
(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × )
(3)(a·b)c＝a(b·c).( × )
(4)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.( × )
题组二 教材改编
2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
答案 12
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.
答案 －2
解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
题组三 易错自纠
4.已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.
答案 －
解析 ∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－.
5.已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A.20 B.15 C.9 D.6
答案 C
解析 因为ABCD为矩形，建系如图.A(0,0)，M(6,3)，N(4,4).
则＝(6,3)，＝(2，－1)，
·＝6×2－3×1＝9.
6.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2
解析 方法一 |a＋2b|＝＝
＝＝＝2.
方法二 (数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
平面向量数量积的基本运算
例1 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
答案 12
解析 方法一 (几何法)
因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·，
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||·||cos ，
化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·
＝(2)2＋2×2cos ＝12.
方法二 (坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
则由·＝2·，
得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
跟踪训练1 (1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则·＝________.
答案
解析 如图所示，·＝·(＋)＝9＋3×cos 120°＝.
(2)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案 D
解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
又＝2，∴Q，
∴＝，＝，
∴·＝＋1＝.故选D.
平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模
例2 (1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈R，则|ka＋b|的最小值为( )
A. B. C.1 D.
答案 B
解析 |ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
因为a和b是单位向量，且夹角为120°，
所以|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
＝k2|a|2＋2k|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2
＝k2－k＋1
＝2＋≥，
所以|ka＋b|≥，
所以|ka＋b|的最小值为.
(2)(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.
答案
解析 ∵M为BC的中点，
∴＝(＋)，
∴||2＝(＋)2
＝(||2＋||2＋2·)
＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
∴||＝.
命题点2 求向量的夹角
例3 (1)(2020·昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 C
解析 |a|＝＝1，
∴cos〈a，b〉＝＝，
∴a与b的夹角为60°.
(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.
答案
解析 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝
＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝
＝＝，
解得λ＝.
思维升华 (1)求解平面向量模的方法
①利用公式|a|＝.
②利用|a|＝.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.
跟踪训练2 (1)(2019·江西省临川一中模拟)已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为________.
答案
解析 因为a⊥b，故a·b＝0，所以－3＋4k＝0，
故k＝，故a＋4b＝(－1,7)，
设a＋4b与a的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
因θ∈[0，π]，故θ＝.
(2)(2019·日照模拟) 已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________.
答案 ＋1
解析 设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，
∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)，
∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，
即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，因为圆心到A的距离为，
所以|c－a|的最大值为＋1.
平面向量与三角函数、解三角形
例4 (2019·石家庄模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f (x)＝a·b.
(1)求函数f (x)＝a·b的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f (A)＝1，求△ABC的周长.
解 (1)f (x)＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋，
f (x)＝sin＋，
所以f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由题意可得sin＝，
又0
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A.
所以a2＝b2＋c2－bc＝7，
又sin B＝3sin C，所以b＝3c.
故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.
所以b＝3，△ABC的周长为4＋.
思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
跟踪训练3 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积.
解 (1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，
在△ABC中，由正弦定理得，
sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，
又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.
1.(2020·江西省临川第一中学模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(m，－1)，且a⊥(a－b)，则m的值为( )
A.1 B.3 C.1或3 D.4
答案 B
解析 因为a＝(2,1)，b＝(m，－1)，
所以a－b＝(2－m，2)，
因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝2(2－m)＋2＝0，
解得m＝3.故选B.
2.(2019·全国Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
答案 C
解析 因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
3.(2019·拉萨模拟)已知向量a，b的夹角为，且a＝(2，－1)，|b|＝2，则|a＋2b|等于( )
A.2 B.3 C. D.
答案 C
解析 由已知|a|＝＝，
a·b＝|a||b|cos ＝0，
∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2
＝()2＋4×22＝21，
∴|a＋2b|＝.故选C.
4.(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且|b＋a|＝2，则向量a与b的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意可知，|b＋a|2＝b2＋2a·b＋a2＝3＋2a·b＝4，解得a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝，故选D.
5.(2020·东莞模拟)已知非零向量m，n满足|n|＝4|m|，且m⊥(2m＋n)，则m，n的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵|n|＝4|m|，且m⊥(2m＋n)，
∴m·(2m＋n)＝2m2＋m·n＝2|m|2＋|m||n|cos〈m，n〉＝0，
且|m|≠0，|n|≠0，
∴2|m|＋|n|cos〈m，n〉＝0，
∴cos〈m，n〉＝－＝－，
又0≤〈m，n〉≤π，∴〈m，n〉＝.故选D.
6.(2019·衡水质检)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( )
A.不存在θ，使e1·e2＝
B.e＝e
C.(e1－e2)⊥(e1＋e2)
D.e1在e2方向上的投影为sin θ
答案 D
解析 对于A，因为两个单位向量e1，e2，有e1·e2＝1×1×cos θ＝cos θ≤1，所以A正确；对于B，因为两个单位向量e1，e2，有e＝e＝1，所以B正确；对于C，因为两个单位向量e1，e2，有(e1－e2)·(e1＋e2)＝e－e＝0 ，所以(e1－e2)⊥(e1＋e2)，所以C正确；对于D，因为两个单位向量e1，e2，e1 在e2方向上的投影为|e1|cos θ＝cos θ，所以D错误.故选D.
7.(2019·景德镇模拟)已知两个单位向量a，b的夹角为30°，c＝ma＋(1－m)b，b·c＝0，则m＝________.
答案 4＋2
解析 b·c＝b·[ma＋(1－m)b]＝ma·b＋(1－m)b2
＝m|a||b|cos 30°＋(1－m)|b|2＝m＋1－m＝0，
所以m＝4＋2.
8.(2019·攀枝花联考)在四边形ABCD中，＝，＝(2,4)，＝(－3，－5)，则在上的投影为________.
答案
解析 由＝得四边形ABCD是平行四边形，
且＝＋＝(2,4)＋(－3，－5)＝(－1，－1)，
则＝＋＝(2,4)＋(－1，－1)＝(1,3)，
∴在上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝.
9.(2019·天津模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝(＋)，＝，则·＝________.
答案
解析 连接AC，BD交于点O，以O为原点，以，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，
∵菱形边长为2，∠ABC＝60°，
∴A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)，
∵＝(＋)，
∴E为AD的中点，∴E，
∵＝，∴F ，
∴＝，＝，
∴·＝－＋＝.
10.(2020·天津市北辰区模拟)在平行四边形ABCD中，AB＝4，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是________.
答案
解析 因为点P在边CD上，
所以设＝λ＝λ(0≤λ≤1)，
则＝＋＝＋λ，＝(1－λ)，
所以·＝(＋λ)·(1－λ)
＝4(1－λ)＋λ(1－λ)×16＝－16λ2＋12λ＋4
＝－2＋，
又0≤λ≤1，所以0≤·≤.
11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.
解 (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
12.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f (x)＝a·b，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0，于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f (x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f (x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f (x)取得最小值－2.
13.(2020·衡阳模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设BC的中点为D，
因为点G是△ABC的重心，
所以＝＝×(＋)＝(＋)，
再令||＝c，||＝b，
则·＝bccos 120°＝－3，所以bc＝6，
所以||2＝(||2＋2·＋||2)
＝(c2＋b2－6)≥(2bc－6)＝，
所以||≥，
当且仅当b＝c＝时取等号，故选B.
14.(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为( )
A. B.
C. D.3
答案 A
解析 如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系.
连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，
则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，).
设E(0，y)(0≤y≤)，
则＝(－1，y)，＝，
∴·＝＋y2－y＝2＋(0≤y≤)，
∴当y＝时，·有最小值.故选A.
15.若向量a，b，c满足a≠b，c≠0，且(c－a)·(c－b)＝0，则的最小值是( )
A. B.2 C.2 D.
答案 C
解析 设向量a＝，b＝，c＝，
则由(c－a)·(c－b)＝0得·＝0，
即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB的中点M，半径为||，
因此|c|＝||≤||＋r＝|＋|＋||
＝|＋|＋|－|
＝|a＋b|＋|a－b|，
从而≥2，故选C.
16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值.
解 (1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝2＋，
所以当t＝时，|＋|最小，最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
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