高中数学讲义微专题38 向量的数量积——数量积的投影定义（含数量积综合练习题）学案
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一、基础知识
1、向量的投影：
（1）有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果实数满足，且当与轴同向时，，当与轴反向时，，则称为轴上有向线段的值。
（2）点在直线上的投影：若点在直线外，则过作于，则称为在直线上的投影；若点在直线上，则在在直线上的投影与重合。所以说，投影往往伴随着垂直。
（3）向量的投影：已知向量，若的起点在所在轴（与同向）上的投影分别为，则向量在轴上的值称为在上的投影，向量称为在上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记为向量的夹角
（1）为锐角：则投影（无论是在上的投影还是在上的投影）均为正
（2）为直角：则投影为零
（3）为钝角：则投影为负
3、投影的计算公式：以在上的投影为例，通过构造直角三角形可以发现
（1）当为锐角时，，因为，所以
（2）当为锐角时，，因为，所以即
（3）当为直角时，，而，所以也符合
综上可得：在上的投影，即被投影向量的模乘以两向量的夹角
4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：
向量数量积公式为，可变形为或，进而与向量投影找到联系
（1）数量积的投影定义：向量的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即（记为在上的投影）
（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：
即数量积除以被投影向量的模长
5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题
（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）
（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题
二、典型例题：
例1：已知向量满足，且，则在方向上的投影为（ ）
A．3 B．. C． D．
思路：考虑在上的投影为，所以只需求出即可。由 可得：，所以。进而
答案：C
小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长
例2：如图，在中，，是边上的高，则的值等于（ ）
A．0 B．4 C．8 D．
思路：由图中垂直可得：在上的投影为，所以，只需求出的高即可。由已知可得，所以
答案：B
例3：两个半径分别为的圆,公共弦长为3，如图所示，则__________.
思路：为两个圆的公共弦，从而圆心到弦的投影为的中点，进而在上的投影能够确定，所以考虑计算和时可利用向量的投影定义。
解：取中点，连结，由圆的性质可得：
例4：如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（ ）
A. 4 B. C. D.
思路：外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，所以在上的投影为，而恰好为中点，故考虑，所以
答案：B
小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而在求数量积时可联想到投影法。
例5：若过点的直线与相交于两点，则的取值范围是_______
思路：本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，
垂足为，通过旋转可发现，当时，，位于其他位置时，点始终位于的反向延长线上，，故，故，下面寻找最小值，即的最大值，可得当在上的投影与重合时，最大，即为，此时直线即为直线。所以。进而的范围是
答案：
例6：已知，且的夹角为，点是的外接圆上优弧上的一个动点，则的最大值是________
思路：题中的模长为定值，考虑即为乘以在上的投影，从而的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当与同向时，投影最大。即，只需计算的模长即可
解：当与同向时，在上的投影最大
在中，
即
答案：
例7：如图，菱形的边长为为中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
思路：在所给菱形中方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即乘以在上的投影，所以的最大值只需要寻找在上的投影的最大值即可，而点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在投影距离最远的，结合图像可发现的投影距离最远，所以，再由表示后进行数量积运算即可
解：
答案：9
小炼有话说：
（1）从例7也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况
（2）在找到取到最值的点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影，不便于计算），则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）。正所谓：寻找最值用投影，而计算时却有更多方法供选择。
例8：如图，在等腰直角中，，点分别是的中点，点是内（包括边界）任一点，则的取值范围是____________
思路：因为点为内任一点，所以很难用定义表示出，考虑利用投影定义。由长为定值，可得为乘以在上的投影，所以只需找到投影的范围即可。如图，过作的垂线，则点的投影为，当在点时， 在上的投影最大且为线段的长，当在点时， 在上的投影最小，为，分别计算相关模长即可。在图中有条件可得： ，所以可得：，则，所以，由，为中点可得：为中点，从而在方向上的投影分别为，由即可求得的范围为
答案：
例9：已知为直角三角形的外接圆，是斜边上的高，且，，点为线段的中点，若是中绕圆心运动的一条直径，则_________
思路：本题的难点在于是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。考虑到为直径，所以延长交圆于，即可得，则在上的投影向量为。所求，而由联想到相交弦定理，从而。考虑与已知条件联系求出直径上的各段线段长度。由射影定理可得：，且，所以解得，再由为的中点可得，所以，进而
答案：
例10：已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则。由及所求可想到投影与数量积的关系，即在上的投影相等，即可得到平分。再分析，且为的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分，而与和向量共线，从而平分，由此可得为的内心，作出内切圆。所求也可视为在上的投影，即，由内切圆性质可得：，所以，且有，可解得
答案：C
小炼有话说：本题用到向量运算中的两个几何意义，从而将表达式与图形特征联系起来：一个是向量投影的定义；一个是两个模长相等向量（如单位向量）的和平分向量夹角。
三、历年好题精选（数量积三种求法综合）
1、如图：在平行四边形中，已知，，则的值是 .
2、已知的半径为1，四边形为其内接正方形，为的一条直径，为正方形边界上一动点，则的最小值为_________
3、已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界)的一动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4、已知是单位圆上互不相同的三个点,且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，是半径为1的圆上两点，且，若点是圆上任意一点，则的取值范围是__________
6、（2015，福建文）设，若，则实数的值等于（ ）
A. B. C. D.
7、（2015，天津）在等腰梯形 中,已知 ,动点和分别在线段和上,且, 则的最小值为 ____
答案：
8、（2015，山东）已知菱形的边长为，则（ ）
A. B. C. D.
9、（2015，福建）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）
A. B. C. D.
10、（2016，无锡联考）如图，已知正方形的边长为2，点为的中点．以为圆心，为半径，作弧交于点．若为劣弧上的动点，则的最小值为________
11、（2016，南京金陵中学期中）如图，梯形中，∥，若，则_______
12、已知圆的直径为，点是圆周上异于的一点，且，若点是圆所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
13、如图，在半径为1的扇形中，为弧上的动点，与交于点，则最小值是__________
14、如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形绕圆心转动时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
15、在直角梯形中，，，且，是的中点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
16、如图，在平行四边形中，，点在边上，且，则（ ）
A. B. C. D.
习题答案：
1、答案：
解析：，，
所以，
即，解得．
2、答案：
解析：以为坐标轴建系，则，设
，所以的最小值只需找到的最小值
即正方形边上的点到原点距离的最小值，数形结合可得：
3、答案：C
解析：考虑如图建立坐标系，可得：，内切圆方程为：，故设，则
设，可得，
再由可得：，所以
4、答案：B
解析：设，则由可得：
，其中
当时，可得
5、答案：
解析：方法一：以为原点，为轴建系，则，设，则。所以
方法二：考虑在上的投影为中点，利用数量积投影定义数形结合可知取最大值时，与重合；当取最小值时，在反向延长线与圆的交点处，经计算可得：
6、答案：A
解析：由已知可得：，因为，所以
7、答案：
解析：因为
，，
，
当且仅当即时的最小值为.
8、答案：D
解析：
9、答案：A
解析：以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则，为单位向量，坐标为，，则 所以，因为，所以
10、答案：
解析：可依正方形以为坐标轴建系，则，其中，，，
其中，所以当时，取到最小值，为
11、答案：0
解析：依题意可得：
12、答案：C
解析：因为为直径，所以可知，设，则，以为原点，所在直线为轴建系，可得，且为的单位向量，则坐标分别为，所以，即，可得到，则，由可得
13、答案：
解析：点在上的投影为中点，故考虑使用投影计算数量积的最值。可知在线段上时，，设，则，所以的最小值为
14、答案：B
解析：
设，其中，则由可得：
15、答案：D
解析：如图可依直角建立坐标系，则，所以，由可知，所以，所以
16、答案：D
解析：可知，
由已知可得：，代入可得：
