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2021届浙江省高考数学一轮学案：第三章第6节 幂函数、指数函数、对数函数
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第6节 幂函数、指数函数、对数函数
考试要求 1.了解幂函数的概念，掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质；2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用；3.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
2.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0
当x>0时，0
在(－∞，＋∞)上是减函数
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
[常用结论与易错提醒]
1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.
2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线x＝t>1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；
(2)指数函数图象的分布规律：作一直线x＝t>0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；
(3)对数函数图象的分布规律：作一直线y＝k>0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)幂函数y＝x0与常值函数y＝1图象相同.( )
(2)函数y＝2x是幂函数.( )
(3)y＝2x－1是指数函数，y＝loga(x2＋1)(a>0，且a≠1)是对数函数.( )
(4)函数y＝ln 与y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域相同.( )
解析 (1)错误，y＝1的图象去掉点(0，1)才是y＝x0的图象；
(2)错误，因为x的系数不是1；
(3)错误，y＝2x－1＝·2x，2x前面的系数不为1，
y＝loga(x2＋1)(a>0且a≠1)，真数为x2＋1而不是单自变量x.
(4)错误，y＝ln 的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
而y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域为(1，＋∞)，
故函数的定义域不同.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析 当0
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减.
因此，选项D中的两个图象符合.
当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数
y＝loga的图象过定点，在上单调递增.
显然A，B，C，D四个选项都不符合.
故选D.
答案 D
3.(一题多解)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a>1，c>1 B.a>1，01 D.00，即logac>0，所以0
答案 D
4.(2019·北京昌平区二模)已知幂函数f(x)＝xα(α是实数)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为________.
解析 幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，
所以f(2)＝2α＝，解得α＝，
所以f(x)＝x，则f(4)＝＝2.
答案 2
5.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________.
解析 由解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合.
答案 1或2
6.当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________，其值域为________.
解析 函数f(x)＝ax－3－2的图象是将函数y＝ax的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)，其值域为(－2，＋∞).
答案 (3，－1) (－2，＋∞)
考点一 幂函数
【例1】 (1)(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.
(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A.－3 B.1
C.2 D.1或2
解析 (1)由f(x)为奇函数，所以α＝－1，1，3，又在(0，＋∞)上为递减可知α＝－1.
(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.
答案 (1)－1 (2)B
规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【训练1】 (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B.1
C. D.2
(2)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A.b
A. B.
C.(－1，2) D.
解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.
(2)因为a＝2＝4，b＝3，c＝5，又y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b.
(3)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解得即≤m<2.
答案 (1)C (2)A (3)D
考点二 指数函数
【例2】 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
规律方法 (1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
(2)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；③当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【训练2】 (1)(2020·杭州二中检测)已知0
C.(1＋a)a>(1＋b)b D.(1－a)a>(1－b)b
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________.
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析 (1)因为0(1－a)b>(1－b)b，故选D.
(2)当x≥8时，f(x)＝x≤3，∴x≤27，即8≤x≤27；
当x<8时，f(x)＝2ex－8≤3恒成立，故x<8.
综上，x∈(－∞，27].
(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
答案 (1)D (2)(－∞，27] (3)[－1，1]
考点三 对数函数
【例3】 已知函数f(x)＝loga(ax2－x).
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝时，f(x)＝log，
由x2－x>0，得x2－2x>0，解得x<0或x>2，
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
结合图象可得函数的单调递减区间为(2，＋∞)，
单调递增区间为(－∞，0).
(2)令g(x)＝ax2－x，
则函数g(x)的图象为开口向上、对称轴为x＝的抛物线，
①当0
即此不等式组无解.
②当a>1时，要使函数f(x)在区间[2，4]上是增函数，
则g(x)＝ax2－x在[2，4]上单调递增，且g(x)min>0，
即解得a>，
又a>1，所以a>1，综上可得a>1.
实数a的取值范围为(1，＋∞).
规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
(3)已知函数f(x)＝设方程f(x)＝t(t∈R)的四个不等实根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则下列判断中错误的是( )
A.x1＋x2＋x3＋x4＝40
B.x1x2＝1
C.x3x4＝361
D.x3x4－20(x3＋x4)＋399＝0
解析 (1)因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51
当a>1时，不符合题意，舍去.
所以实数a的取值范围是.
法二 ∵当0＜x≤时，1＜4x≤2，要使4x＜logax，
必须2＜logax，
∴即对0＜x≤恒成立，
∴解得＜a＜1.
(3)由题意知函数f(x)的图象关于直线x＝10对称，且x1＋x4＝x2＋x3＝2×10，ln x1＝－ln x2，ln(20－x3)＝－ln(20－x4)，所以x1＋x2＋x3＋x4＝40，x1＝，20－x3＝，化简得x1x2＝1，x3x4－20(x3＋x4)＋399＝0，故选C.
答案 (1)A (2)B (3)C
基础巩固题组
一、选择题
1.已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为( )
A.1，3 B.－1，1
C.－1，3 D.－1，1，3
解析 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.
答案 A
2.(2019·浙江新高考仿真卷五)已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有( )
A.logax＞logby B.sinax＞sinby
C.ay＞bx D.ax＞by
解析 当x＞y＞0，a＞b＞1时，由指数函数的性质易得ax＞ay＞by，故选D.
答案 D
3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
解析 法一 由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b
答案 C
4.(2019·诸暨期末)若函数f(x)满足f(x)≤x2且f(x)≤2x(x∈R)，则( )
A.若f(a)≤b2，则a≥b B.若f(a)≤2b，则a≤b
C.若f(a)≥b2，则a≤b D.若f(a)≥2b，则a≥b
解析 若f(a)≥2b，则由f(x)≤2x得f(a)≤2a，则2b≤2a，则a≥b，故选D.
答案 D
5.若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为( )
A. B.
C. D.
解析 因为0＜a＜1，所以f(x)在[a，2a]上是减函数.所以f(x)max＝f(a)＝logaa＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga(2a)＝1＋loga2，由题意知1＝3(1＋loga2)，即loga2＝－，
所以a＝.
答案 C
6.若a－2>a2(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x－1)的图象大致是( )
解析 因为a－2>a2(a>0且a≠1)，所以0
7.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，则2
8.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).故选B.
法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
答案 B
9.下列命题正确的是( )
A.若ln a－ln b＝a－3b，则a>b>0
B.若ln a－ln b＝a－3b，则0
D.若ln a－ln b＝3b－a，则0
答案 C
二、填空题
10.(2018·上海卷)设常数a∈R，函数f(x)＝log2(x＋a).若f(x)的反函数的图像经过点(3，1)，则a＝________.
解析 由题意可知f(x)经过(1，3)，log2(1＋a)＝3，a＝7.
答案 7
11.方程2x＝2－x的解的个数是________.
解析 方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.
答案 1
12.已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值.若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________.
解析 f(x)＝
当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)，
当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，
因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.
答案 e
13.设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1
14.(2019·浙江三校三联)函数f(x)＝log2(3－2x－x2)，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________.
解析 令3－2x－x2＞0得－3＜x＜1，所以函数f(x)＝log2(3－2x－x2)的定义域为(－3，1).因为函数f(u)＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，函数u(x)＝3－2x－x2在(－3，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以函数f(x)＝log2(3－2x－x2)的单调递增区间为(－3，－1).由x∈(－3，1)得u(x)∈(0，4]，所以f(u)＝log2u∈(－∞，2]，故f(x)的值域为(－∞，2].
答案 (－3，－1) (－∞，2]
能力提升题组
15.(2016·浙江卷)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.( )
A.若f(a)≤|b|，则a≤b
B.若f(a)≤2b，则a≤b
C.若f(a)≥|b|，则a≥b
D.若f(a)≥2b，则a≥b
解析 由题意得f(a)≥|a|，∴A项中由不等式传递性可知|a|≤|b|，不能得到a≤b，A错误.
∵f(a)≥2a，∴B项中有2a≤f(a)≤2b，∴a≤b，故B正确.C，D选项无法确定.故选B.
答案 B
16.(2020·浙江新高考仿真卷一)已知f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a＞0，a≠1)满足：对任意x1，x2∈，不等式＜0恒成立，则a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(2，＋∞) D.(0，1)
解析 因为对任意x1，x2∈，不等式＜0恒成立，则在上单调递减，由x2－ax＋3在x＝上有意义，且为最小值知函数f(x)的定义域为R，由(－a)2－4×3＜0解得－2＜a＜2，又因为a为对数函数的底数，函数f(x)在上单调递减，函数y＝x2－ax＋3在上单调递减，所以函数y＝logax在定义域上单调递增，所以1＜a＜2，即实数a的取值范围为(1，2)，故选B.
答案 B
17.(2020·嵊州适考)已知函数f(x)＝|ln x|＋x，若f(x1)＝f(x2)，其中x1≠x2，则( )
A.x1＋x2<2 B.x1＋x2>2
C.＋<2 D.＋>2
解析 根据题意不妨设02，所以＋＝>>2，故选D.
答案 D
18.已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得1
则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故a不存在.
综上可知实数a的取值范围是.
答案
19.(2018·上海卷)已知常数a＞0，函数f(x)＝的图象经过点P、Q，若2p＋q＝36pq，则a＝________.
解析 由题意知＋＝1，∴2p＋q＝a2pq＝36pq，∴a＝6.
答案 6
20.若f(x)＝是R上的奇函数，则实数a的值为________，f(x)的值域为________.
解析 ∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴＝0，解得a＝1，f(x)＝＝1－.
∵2x＋1>1，∴0<<2，∴－1<1－<1，
∴f(x)的值域为(－1，1).
答案 1 (－1，1)
第6节 幂函数、指数函数、对数函数
考试要求 1.了解幂函数的概念，掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质；2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用；3.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
2.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0
当x>0时，0
在(－∞，＋∞)上是减函数
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0
当0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
[常用结论与易错提醒]
1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.
2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线x＝t>1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；
(2)指数函数图象的分布规律：作一直线x＝t>0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；
(3)对数函数图象的分布规律：作一直线y＝k>0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)幂函数y＝x0与常值函数y＝1图象相同.( )
(2)函数y＝2x是幂函数.( )
(3)y＝2x－1是指数函数，y＝loga(x2＋1)(a>0，且a≠1)是对数函数.( )
(4)函数y＝ln 与y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域相同.( )
解析 (1)错误，y＝1的图象去掉点(0，1)才是y＝x0的图象；
(2)错误，因为x的系数不是1；
(3)错误，y＝2x－1＝·2x，2x前面的系数不为1，
y＝loga(x2＋1)(a>0且a≠1)，真数为x2＋1而不是单自变量x.
(4)错误，y＝ln 的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
而y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域为(1，＋∞)，
故函数的定义域不同.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析 当0
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减.
因此，选项D中的两个图象符合.
当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数
y＝loga的图象过定点，在上单调递增.
显然A，B，C，D四个选项都不符合.
故选D.
答案 D
3.(一题多解)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a>1，c>1 B.a>1，0
答案 D
4.(2019·北京昌平区二模)已知幂函数f(x)＝xα(α是实数)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为________.
解析 幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，
所以f(2)＝2α＝，解得α＝，
所以f(x)＝x，则f(4)＝＝2.
答案 2
5.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________.
解析 由解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合.
答案 1或2
6.当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________，其值域为________.
解析 函数f(x)＝ax－3－2的图象是将函数y＝ax的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)，其值域为(－2，＋∞).
答案 (3，－1) (－2，＋∞)
考点一 幂函数
【例1】 (1)(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.
(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A.－3 B.1
C.2 D.1或2
解析 (1)由f(x)为奇函数，所以α＝－1，1，3，又在(0，＋∞)上为递减可知α＝－1.
(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.
答案 (1)－1 (2)B
规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【训练1】 (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B.1
C. D.2
(2)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A.b
A. B.
C.(－1，2) D.
解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.
(2)因为a＝2＝4，b＝3，c＝5，又y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b.
(3)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解得即≤m<2.
答案 (1)C (2)A (3)D
考点二 指数函数
【例2】 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
规律方法 (1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
(2)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；③当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【训练2】 (1)(2020·杭州二中检测)已知0
C.(1＋a)a>(1＋b)b D.(1－a)a>(1－b)b
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________.
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析 (1)因为0
(2)当x≥8时，f(x)＝x≤3，∴x≤27，即8≤x≤27；
当x<8时，f(x)＝2ex－8≤3恒成立，故x<8.
综上，x∈(－∞，27].
(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
答案 (1)D (2)(－∞，27] (3)[－1，1]
考点三 对数函数
【例3】 已知函数f(x)＝loga(ax2－x).
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝时，f(x)＝log，
由x2－x>0，得x2－2x>0，解得x<0或x>2，
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
结合图象可得函数的单调递减区间为(2，＋∞)，
单调递增区间为(－∞，0).
(2)令g(x)＝ax2－x，
则函数g(x)的图象为开口向上、对称轴为x＝的抛物线，
①当0
即此不等式组无解.
②当a>1时，要使函数f(x)在区间[2，4]上是增函数，
则g(x)＝ax2－x在[2，4]上单调递增，且g(x)min>0，
即解得a>，
又a>1，所以a>1，综上可得a>1.
实数a的取值范围为(1，＋∞).
规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
(3)已知函数f(x)＝设方程f(x)＝t(t∈R)的四个不等实根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则下列判断中错误的是( )
A.x1＋x2＋x3＋x4＝40
B.x1x2＝1
C.x3x4＝361
D.x3x4－20(x3＋x4)＋399＝0
解析 (1)因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52
当a>1时，不符合题意，舍去.
所以实数a的取值范围是.
法二 ∵当0＜x≤时，1＜4x≤2，要使4x＜logax，
必须2＜logax，
∴即对0＜x≤恒成立，
∴解得＜a＜1.
(3)由题意知函数f(x)的图象关于直线x＝10对称，且x1＋x4＝x2＋x3＝2×10，ln x1＝－ln x2，ln(20－x3)＝－ln(20－x4)，所以x1＋x2＋x3＋x4＝40，x1＝，20－x3＝，化简得x1x2＝1，x3x4－20(x3＋x4)＋399＝0，故选C.
答案 (1)A (2)B (3)C
基础巩固题组
一、选择题
1.已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为( )
A.1，3 B.－1，1
C.－1，3 D.－1，1，3
解析 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.
答案 A
2.(2019·浙江新高考仿真卷五)已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有( )
A.logax＞logby B.sinax＞sinby
C.ay＞bx D.ax＞by
解析 当x＞y＞0，a＞b＞1时，由指数函数的性质易得ax＞ay＞by，故选D.
答案 D
3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
解析 法一 由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0
答案 C
4.(2019·诸暨期末)若函数f(x)满足f(x)≤x2且f(x)≤2x(x∈R)，则( )
A.若f(a)≤b2，则a≥b B.若f(a)≤2b，则a≤b
C.若f(a)≥b2，则a≤b D.若f(a)≥2b，则a≥b
解析 若f(a)≥2b，则由f(x)≤2x得f(a)≤2a，则2b≤2a，则a≥b，故选D.
答案 D
5.若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为( )
A. B.
C. D.
解析 因为0＜a＜1，所以f(x)在[a，2a]上是减函数.所以f(x)max＝f(a)＝logaa＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga(2a)＝1＋loga2，由题意知1＝3(1＋loga2)，即loga2＝－，
所以a＝.
答案 C
6.若a－2>a2(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x－1)的图象大致是( )
解析 因为a－2>a2(a>0且a≠1)，所以0
7.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，则2
8.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).故选B.
法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
答案 B
9.下列命题正确的是( )
A.若ln a－ln b＝a－3b，则a>b>0
B.若ln a－ln b＝a－3b，则0
D.若ln a－ln b＝3b－a，则0
答案 C
二、填空题
10.(2018·上海卷)设常数a∈R，函数f(x)＝log2(x＋a).若f(x)的反函数的图像经过点(3，1)，则a＝________.
解析 由题意可知f(x)经过(1，3)，log2(1＋a)＝3，a＝7.
答案 7
11.方程2x＝2－x的解的个数是________.
解析 方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.
答案 1
12.已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值.若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________.
解析 f(x)＝
当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)，
当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，
因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.
答案 e
13.设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1
14.(2019·浙江三校三联)函数f(x)＝log2(3－2x－x2)，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________.
解析 令3－2x－x2＞0得－3＜x＜1，所以函数f(x)＝log2(3－2x－x2)的定义域为(－3，1).因为函数f(u)＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，函数u(x)＝3－2x－x2在(－3，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以函数f(x)＝log2(3－2x－x2)的单调递增区间为(－3，－1).由x∈(－3，1)得u(x)∈(0，4]，所以f(u)＝log2u∈(－∞，2]，故f(x)的值域为(－∞，2].
答案 (－3，－1) (－∞，2]
能力提升题组
15.(2016·浙江卷)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.( )
A.若f(a)≤|b|，则a≤b
B.若f(a)≤2b，则a≤b
C.若f(a)≥|b|，则a≥b
D.若f(a)≥2b，则a≥b
解析 由题意得f(a)≥|a|，∴A项中由不等式传递性可知|a|≤|b|，不能得到a≤b，A错误.
∵f(a)≥2a，∴B项中有2a≤f(a)≤2b，∴a≤b，故B正确.C，D选项无法确定.故选B.
答案 B
16.(2020·浙江新高考仿真卷一)已知f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a＞0，a≠1)满足：对任意x1，x2∈，不等式＜0恒成立，则a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(2，＋∞) D.(0，1)
解析 因为对任意x1，x2∈，不等式＜0恒成立，则在上单调递减，由x2－ax＋3在x＝上有意义，且为最小值知函数f(x)的定义域为R，由(－a)2－4×3＜0解得－2＜a＜2，又因为a为对数函数的底数，函数f(x)在上单调递减，函数y＝x2－ax＋3在上单调递减，所以函数y＝logax在定义域上单调递增，所以1＜a＜2，即实数a的取值范围为(1，2)，故选B.
答案 B
17.(2020·嵊州适考)已知函数f(x)＝|ln x|＋x，若f(x1)＝f(x2)，其中x1≠x2，则( )
A.x1＋x2<2 B.x1＋x2>2
C.＋<2 D.＋>2
解析 根据题意不妨设0
答案 D
18.已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得1
则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故a不存在.
综上可知实数a的取值范围是.
答案
19.(2018·上海卷)已知常数a＞0，函数f(x)＝的图象经过点P、Q，若2p＋q＝36pq，则a＝________.
解析 由题意知＋＝1，∴2p＋q＝a2pq＝36pq，∴a＝6.
答案 6
20.若f(x)＝是R上的奇函数，则实数a的值为________，f(x)的值域为________.
解析 ∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴＝0，解得a＝1，f(x)＝＝1－.
∵2x＋1>1，∴0<<2，∴－1<1－<1，
∴f(x)的值域为(－1，1).
答案 1 (－1，1)
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