九年级下册5 二次函数与一元二次方程教学设计及反思

这是一份九年级下册5 二次函数与一元二次方程教学设计及反思，共25页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第10讲


讲














二次函数与一元二次方程


























概述





【教学建议】


本节课的内容在二次函数中占有着重要的地位，也是中考中的必考内容。函数是方程和不等式的高级形式，借助图象，可以用函数的观点去统领一元二次方程和一元二次不等式，在实际问题中有着重要的应用。在教学中要让学生充分体会到处理函数问题的方法：“胸中有图，见数想图”。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1. 二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根；


2. 由图象判别函数值的情况。


3.对的不同理解方式。


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函数是方程和不等式的高级形式，本节课主要是用函数的观点去统领对应的一元二次方程和一元二次不等式，可以全面考察学生的读图识图能力，在中考数学试卷中，也是必考题，一般不单独设题，常与其它知识融合在一起考。





二、知识讲解








知识点1 二次函数与一元二次方程








二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系.


一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0 时，相应的自变量的值即是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；


（2）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为()，，那么对应方程 ax2+bx+c=0的两个根即为 ，结合一元二次方程根与系数关系可知


（3）二次函数与x轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表：











知识点2 二次函数与不等式





二次函数与一元二次不等式解集的关系


（1）从“形”的方面看二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为ax2+bx+c>0的解集，在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为ax2+bx+c>0的解集；从“数”的方面看，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为不等式ax2+bx+c>0的解集，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为不等式ax2+bx+c<0的解集。


（2）二次函数与一元二次不等式的关系具体见下表：











知识点3 二次函数与方程和不等式综合





具体知识点，请参照上面的知识点1和知识点2





三、例题精析








例题1





【题干】当a＜0时，方ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象一定在（ ）


A. x轴上方 B. x轴上方C. y轴右侧 D. y轴左侧


【答案】B


【解析】∵当a＜0时，方程ax2+bx+c=0无实数根，∴b2-4ac＜0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，∵a＜0，抛物线开口向下，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象一定在x轴下方．





例题2





【题干】已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点。


(1)求C1的顶点坐标；


(2)将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A(−3,0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；


(3)若P(n,y1)，Q(2,y2)是C1上的两点，且y1>y2，求实数n的取值范围。





【答案】见解析


【解析】(1)y=x2+2x+m=(x+1)2+m−1，对称轴为直线x=−1，


∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0，∴C1的顶点坐标为(−1,0)；


(2)设C2的函数关系式为y=(x+1)2+k，


把A(−3,0)代入上式得(−3+1)2+k=0，得k=−4，∴C2的函数关系式为y=(x+1)2−4.


∵抛物线的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点为A(−3,0)，由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为(1,0)；


(3)当x⩾−1时，y随x的增大而增大，当n⩾−1时，


∵y1>y2，∴n>2.


当n<−1时，P(n,y1)的对称点坐标为(−2−n,y1)，且−2−n>−1，


∵y1>y2，∴−2−n>2，∴n<−4.


综上所述：n>2或n<−4.








例题3





【题干】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：





(1)方程ax2+bx+c=0的两个根是 ；


(2)不等式ax2+bx+c>0的解集是 ；


(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 。


(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。


【答案】见解析


【解析】（1）由图象可得y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点坐标分别为(1,0)和(3,0)，


∴抛物线的对称轴为直线x=2，


∴方程ax2+bx+c=0的两个根是：x1=1,x2=3；


（2）由图象可得：不等式ax2+bx+c>0的解集为1

（3）∵抛物线对称轴为直线x=2，且开口向下，


∴当x>2时,y随x的增大而减小；


（4）方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根可以看做y=ax2+bx+c与y=k的交点有两个


如图所示：





根据图象可得：当k<2时,方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根。








例题4





【题干】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k（k为常数）．


（1）若抛物线经过点(1，k2)，求k的值．


（2）若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范围．


（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－，求k的值．


【答案】见解析


【解析】（1）∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k（k为常数）经过点(1，k2)，


∴1－2(k－1)＋k2－k＝k2．解得k＝．


（2）∵抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，


∴y1＝(2k)2－4k (k－1)＋k2－k＝k2＋k，y2＝4－4(k－1)＋k2－k＝k2－k＋8；


又∵y1＞y2，∴k2＋k＞k2－k＋8，∴k＞1．


（3）∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k＝(x－k＋1) 2－k－1，


∴平移后的解析式为y＝(x－k) 2－k－1．∴该抛物线的对称轴为直线x＝k．


①若k＜1，则当x＝1时，y有最小值－．∴(1－k) 2－k－1＝－，解得ｋ1＝1，ｋ2＝．


∵k＜1，∴ｋ1＝1，ｋ2＝都不符合题意，舍去．


②若1≤k≤2，则当x＝k时，y有最小值－．∴－k－1＝－，解得ｋ＝1．


③若k＞2，则当x＝2时，y有最小值－．∴(2－k) 2－k－1＝－，解得ｋ1＝3，ｋ2＝．


∵k＞1，∴ｋ＝3．


综上，k的值为1或3 ．








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在用二次函数的观点去看对应的一元二次方程和一元二次不等式，教师在教学中，先把例题讲解清晰，帮助学生形成相应的知识结构图；再给学生做针对性的练习，抓住它们三者之间的内在逻辑联系。





基础





1.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线 交点的 坐标。


【答案】y=h，横


【解析】根据二次函数与一元二次方程之间的关系易得。





2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=−x2+1Ox.


(1)经过多长时间，炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少?


(2)经过多长时间，炮弹落在地上爆炸?





【答案】见解析


【解析】(1)∵y=−x2+1Ox.


∴y=− (x2−50x)，


∴y=− (x−25)2+125.


∵a=−15<0，抛物线有最大值，∴x=25时，y最大=125.


∴经过25s，炮弹达到它的最高点，最高点的高度是125米；


(2)当y=0时，−x2+1Ox=0，∴x1=0，x2=50.


∵x>0，∴x=50





3.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。”请根据你对这句话的理解,解决下面问题：若m、n(m

A. m

【答案】A


【解析】依题意,画出函数y=(x−a)(x−b)的图象，如图所示。


函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b(a

方程1−(x−a)(x−b)=0


转化为(x−a)(x−b)=1，


方程的两根是抛物线y=(x−a)(x−b)与直线y=1的两个交点。


由m

由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m

综上所述，可知m










巩固





1.当m取何值时，抛物线y=x2与直线y=x＋m


（1）有公共点；


（2）没有公共点．





【答案】见解析


【解析】（1）抛物线y=x2与直线y=x＋m有公共点，反映在图象上就是它们两个的图象有交点，反映在数量上就是由它们两个联立得方程有实数根，即x2=x＋m有实数根，所以△≥0，即1+4m≥0，解得：m≥-.


（2）同理可得，x2=x＋m没有实数根，即1+4m＜0,解得：m＜.





2.已知关于x的方程x2−(2k−3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.


(1)求k的取值范围；


(2)试说明x1<0，x2<0；


(3)若抛物线y=x2−(2k−3)x+k2+1与x轴交于A. B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA⋅OB−3，求k的值。


【答案】见解析


【解析】(1)由题意可知：△=[−(2k−3)]2−4(k2+1)>0，


即−12k+5>0∴k<


(2)∵x1+x2=2k−3<0 x1x2=k2+1>0，∴x1<0，x2<0.


(3)依题意，不妨设A(x1,0)，B(x2,0).


∴OA+OB=|x1|+|x2|=−(x1+x2)=−(2k−3)


OA⋅OB=|−x1||x2|=x1x2=k2+1，


∵OA+OB=2OA⋅OB−3，∴−(2k−3)=2(k2+1)−3，解得k1=1，k2=−2.


∵k<，∴k=−2.





3.平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点.


（1）当m=-2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；


（2）过点P(0，m-1)作直线l⊥y轴，二次函数图像的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上)，求m的范围；


（3）在（2）的条件下，设二次函数图像的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值.





【答案】见解析


【解析】（1）当m=-2时，函数为y= x2+4x+2，令y=0，则x2+4x+2=0，解得x1=-2+，x2=-2-，∴函数图象与x轴交点的坐标为（-2+，0），（-2-，0）.


（2）∵y=x2-2mx+m2+2m+2=（x-m）2+2m+2，∴A（m，2m+2），∵抛物线与x轴有两个交点，且开口向上，∴点A在x轴下方，由题意得，解得m的取值范围是-3＜m＜-1.


（3）由（2）知抛物线对称轴为直线x=m，顶点为A（m，2m+2），∵-3＜m＜-1，∴A在第三象限，


∵B为抛物线对称轴与l的交点，∴B（m，m-1）且点m在点A下方，∴AB=2m+2-(m-1)=m+3，


∴S△ABO=（-m）(m+3)=- (m+)2+，∴当m=-时，S△ABO最大=，


综上，△ABO的面积最大时m的值为-.











拔高





1.求二次函数y=2x2+2mx+m2-m-1的图象与x轴两交点间的最大距离.





【答案】见解析


【解析】设二次函数y=2x2+2mx+m2-m-1的图象与x轴两交点为A（x1，0）、B（x2,0），


则x1、x2是方程2x2+2mx+m2-m-1=0的两根，


∴AB=|x1-x2|==，


又∵a=2，


∴AB==.


当m=1时，AB最大，最大值为.





2.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=−2x+100.(利润=售价−制造成本)


(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；


(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?


(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?





【答案】见解析


【解析】(1)z=(x−18)y=(x−18)(−2x+100)=−2x2+136x−1800，


∴z与x之间的函数解析式为z=−2x2+136x−1800；


(2)由z=350,得350=−2x2+136x−1800，


解这个方程得x1=25,x2=43,


所以，销售单价定为25元或43元，


将z═−2x2+136x−1800配方,得z=−2(x−34)2+512，


因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；


(3)结合(2)及函数z=−2x2+136x−1800的图象(如图所示)可知，


当25⩽x⩽43时z⩾350，


又由限价32元，得25⩽x⩽32，


根据一次函数的性质，得y=−2x+100中y随x的增大而减小，


∴当x=32时,每月制造成本最低。最低成本是18×(−2×32+100)=648(万元)，


因此，所求每月最低制造成本为648万元。





3.阅读材料，解答问题。利用图象法解一元二次不等式：x2−2x−3>0.


解：设y=x2−2x−3，则y是x的二次函数.∵a=1>0，∴抛物线开口向上。


又∵当y=0时,x2−2x−3=0,解得x1=−1,x2=3.


∴由此得抛物线y=x2−2x−3的大致图象如图所示。


观察函数图象可知：当x<−1或x>3时，y>0.


∴x2−2x−3>0的解集是：x<−1或x>3.





(1)观察图象,直接写出一元二次不等式：x2−2x−3<0的解集是______；


(2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式：x2−1>0.(大致图象画在答题卡上)





【答案】见解析


【解析】(1)−1




(2)设y=x2−1,则y是x的二次函数,


∵a=1>0，∴抛物线开口向上。


又∵当y=0时,x2−1=0，解得x1=−1,x2=1.


∴由此得抛物线y=x2−1的大致图象如图所示。观察函数图象可知：当x<−1或x>1时，y>0.


∴x2−1>0的解集是：x<−1或x>1.











课堂小结





回忆以下三个方面的知识：


1.二次函数与一元二次方程


2.二次函数与不等式


3.二次函数与方程和不等式综合











拓展延伸








基础





1. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(−1,−3.2)及部分图象(如图)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=( )





A. −1.3B. −2.3C. −0.3D. −3.3





【答案】D


【解析】根据对称轴为;x=−1,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3，


则,即，,解得：x2=−3.3，故选D





2. 如图，以（1，-4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（ ）








【答案】C


【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点为（1，-4），∴对称轴为x=1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是-3＜x＜-2，∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．2





3.已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．


（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；


（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？





【答案】见解析


【解析】（1）证明：当y＝0，根据方程2(x－1)(x－m－3)＝0．


解得x1＝1，x2＝m＋3．


所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点．


（2）解：当x＝0时，y＝2m＋6，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是2m＋6．


当2m＋6>0，即m>－3时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方．





巩固





已知二次函数y＝x2 ＋2x＋m 的图象C1与x轴有且只有一个公共点。


求C1 的顶点坐标；


（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（－3，0），求C2 函数关系式，并求C 2与x轴的另一个交点的坐标．


【答案】见解析


【解析】（1）C1的顶点坐标为（-1，0）；


（2）C2的函数关系式为y=（x+1 2-4．它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）





2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是（ ）





A. ac＞0 B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3


C. 2a-b=0 D.当y＞0时，y随x的增大而减小.





【答案】B


【解析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断：A、抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，所以a<0,c>0,ac<0，故A项错误；B、因为抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3,0），所以抛物线与x轴另一交点为（-1,0），即方程ax2＋bx＋c=0的两根是x1=-1,x2=3，故本选项正确；C、因为抛物线的对称轴为，所以2a+b=0,故本选项错误；D、因为抛物线对称轴是x=1，开口向下，所以当x>1时，y随x的增大而减小，故本选项错误。





3.阅读材料，解答问题．


利用图象法解一元二次不等式：x2+2x-3＜0．


解：设y=x2+2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．


又∵当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3．


∴由此得抛物线y=x2+2x-3的大致图象如图所示．


观察函数图象可知：当-3＜x＜1时，y＜0．


∴x2+2x-3＜0的解集是：-3＜x＜1时．


（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2+2x-3＞0的解集


（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：-2x2-4x+6＞0．


（3）不等式2x2-4x+6＜0有解吗？若有，求出其解集；若没有请结合图象说明理由．








【答案】见解析


【解析】（1）x2+2x-3＞0的解集是x＞1或x＜-3；


（2）设y=-2x2-4x+6，则y是x的二次函数，


∵a=-2＜0，


∴抛物线开口向下，


又∵当y=0时，-2x2-4x+6=0，解得x1=1，x2=-3．


∴由此得抛物线y=x2+2x-3的大致图象如图所示，


观察函数图象可知：当-3＜x＜1时，y＜0．


∴-2x2-4x+6＞0的解集是：-3＜x＜1时．





抛物线y=2x2-4x+6的图象如图所示，由图象可知，无论x取何值，y＞0，


即不可能y＜0，所以，不等式2x2-4x+6＜0无解．














拔高





1.已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且．


（1）求，两点坐标；


（2）求抛物线表达式及点坐标；


（3）在抛物线上是否存在着点，使△面积等于四边形面积的2倍，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．








【答案】见解析


【解析】（1）由，，


，得，，，，．


（2）抛物线过，两点，其对称轴为，顶点纵坐标为，抛物线为．把，代入得，抛物线函数式为，其中．


（3）存在着点．，，，，，，


即．，．把代入抛物线方程得，，


所以P的坐标为。





2.如图，若二次函数（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（－1，0）则①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b²－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3．其中正确的个数是（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4


x=1





【答案】B


【解析】由图像可知，当x＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a＋b＋c，故①正确；因为抛物线经过点B（－1，0），所以当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，故②错误；因为该函数图象与x轴有两个交点A、B，所以b²－4ac＞0，故③错误；因为点A与点B关于直线x＝1对称，所以A(3，0)，根据图像可知，当y＞0时，－1＜x＜3，故④正确；故选B．





3.如图，抛物线与x轴的交于点A、B，把抛物线在x轴即其下方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴的交于点B、D．若直线与C1、C2共有三个不同的交点，则m的取值范围是





A．B．C．D．





【答案】C


【解析】在y＝中，令y＝0，解得x1＝9,x2＝5，∴点A，B的坐标分别为（9，0），（5，0）．∵C2是由C1向左平移得到的，∴点D的坐标为（1，0），C2对应的函数解析式为y＝＝（1≤x≤5）．当直线y＝与C2相切时，可知关于x的一元二次方程＝有两个相等的实数根，即方程x2－7x＋5－2m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（－7）2－4×1×（5－2m）＝0，解得m＝．当直线y＝过点B时，可得0＝，解得m＝．如图，故当
















教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
二次函数与一元二次方程


二次函数与不等式


二次函数与方程和不等式综合
教学目标
1.掌握二次函数与一元二次方程的联系


2.掌握二次函数与不等式的联系


3.掌握利用函数图像解决实际问题
教学重点
能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系
教学难点
能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点情况
a＞0
两个交点
一个交点
没有交点
a＜0
两个交点
一个交点
没有交点
的值
一元二次方程ax2+


bx+c=0根的情况
有两个不相等的实根
有两个相等的实根
没有实根
抛物线的图象
时x的取值范围
或
全体实数
时x的取值范围
无解
无解
抛物线的图象
判别式b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
时x的取值范围
无解
无解
时x的取值范围
或
全体实数
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6