北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程同步训练题

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题2.9二次函数与一元二次方程（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021秋•崇川区校级月考）二次函数不具备的性质是　　

A．开口向上 B．对称轴是 

C．随增大而增大 D．与轴有交点

【分析】根据二次函数的性质可得出答案．

【解析】、，开口向上，故不符合题意；

、对称轴为，故不符合题意；

、因对称轴为，时随的增大而增大，故符合题意；

、因为△，所以二次函数与轴有两个交点，故不符合题意；

故选：．

2．（2019秋•桐乡市校级期中）已知抛物线与轴交于点，，则、两点之间的距离是　　

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】根据题意得出抛物线对称轴，进而求出的值，即可得出、两点之间的距离．

【解析】抛物线，

抛物线的对称轴为直线，

抛物线与轴交于点，，

，

、两点之间的距离是：6．

故选：．

3．（2020•霍邱县一模）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只有一个解，则的值是　　

A． B． C．或 D．或

【分析】根据抛物线的对称轴为直线，可以求得的值，然后再根据．于的一元二次方程为实数）在的范围内只有一个解，即可求得的值，本题得以解决．

【解析】抛物线的对称轴为直线，

，

解得，

一元二次方程可以写成，

当方程有两个相等的实数根时，，解得，此时，

关于的一元二次方程为实数）在的范围内只有一个解，

当，符合题意；

令，

则或，

解得，

由上可得，的值是或7，

故选：．

4．（2020秋•西宁期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论错误的是　　

A． B． 

C． D．当时，

【分析】利用对称轴公式可对进行判断；根据抛物线与轴的交点情况则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对进行判断，根据交点的横坐标可对进行判断．

【解析】抛物线的对称轴为直线，

，

，所以正确，不符合题意；

抛物线与轴有两个交点，

，所以正确，不符合题意；

抛物线与轴的一个交点在点左侧，

而抛物线的对称轴为直线，

抛物线与轴的另一个交点在点右侧，

当时，，

，所以正确，不符合题意；

直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，

当时，有一段是，所以错误，符合题意，

故选：．

5．（2019•雁塔区校级四模）对于抛物线为常数，且，下列说法正确的是　　

A．对称轴为直线 

B．当时，的值随值的增大而增大 

C．与轴不可能只有一个交点 

D．与轴可能有位于轴同侧的两个交点

【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．

【解析】抛物线，

对称轴为直线，故选项错误；

的正负没有说明，故当时，随的增大如何变化不清楚，故选项错误；

△，

为常数，且，

，故与轴不可能只有一个交点，故选项正确；

当时，抛物线与轴两个交点，函数图象开口向下，两根之积为，则此时两根位于轴的两侧，

当时，抛物线与轴没有交点，故选项错误；

故选：．

6．（2020秋•蒙城县期末）对抛物线而言，下列结论正确的是　　

A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 

C．与两坐标轴有两个交点 D．顶点坐标是

【分析】根据△的符号，可判断图象与轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中，可求图象与轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．

【解析】、二次项系数，抛物线开口向下，结论错误，不符合题意；

、当时，，抛物线与轴交点坐标为，结论错误，不符合题意；

、△，抛物线与轴有两个交点，与轴有1个交点，即与两坐标轴有3个交点，结论错误，不符合题意；

、由知，抛物线顶点坐标为，结论正确，符合题意；

故选：．

7．（2020秋•顺义区期末）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：

有以下几个结论：

①抛物线的开口向上；

②抛物线的对称轴为直线；

③关于的方程的根为和；

④当时，的取值范围是．

其中正确的是　　

A．①④ B．②④ C．②③ D．③④

【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．

【解析】由表格可知，

抛物线的对称轴是直线，故②正确；

抛物线的顶点坐标是，有最大值，故抛物线的开口向下，故①错误；

由抛物线关于直线对称知，当时，或，故方程的根为和，故③正确；

当时，的取值范围是，故④错误，

故选：．

8．（2021秋•东城区校级期中）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是　　

A． 

B． 

C．若点，在抛物线上，则 

D．关于的一元二次方程的两根为和

【分析】由抛物线与轴有两个交点则可对进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对进行判断；根据二次函数的对称性可对进行判断．

【解析】、图象与轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根，，故选项错误；

、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为，所以，故选项正确；

、抛物线的对称轴为直线，因为离对称轴的距离等于离对称轴的距离，所以，故选项错误；

、根据抛物线的对称性可知，关于对称轴的对称点为，所以关于的一元二次方程的两根为和，故选项错误．

故选：．

9．如图，抛物线交轴于，两点：则下列判断中正确的是　　

①图象的对称轴是过点且平行于轴的直线

②当时，随的增大而减小

③一元二次方程的两个根是和3

④当时，

A．①② B．①②④ C．①②③ D．④

【分析】根据二次函数的图象与轴的交点，可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．

【解析】二次函数的图象与轴的交点为，，

抛物线的对称轴直线为：，故①正确；

抛物线开口向下，对称轴为，

当时，随的增大而减小，故②正确；

二次函数的图象与轴的交点为，，

一元二次方程的两个根是，3，故③正确；

当时，抛物线在轴的上方，

当时，，故④错误．

综上，正确的选项有①②③．

故选：．

10．（2020•长清区一模）如图，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：

①；

②；

③抛物线与轴的另一个交点坐标是；

④方程有两个相等的实数根；

⑤当时，则．其中正确的是　　

A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③④

【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，于是可对②进行判断；根据抛物线的对称性对③进行判断；根据顶点坐标对④进行判断；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．

【解析】抛物线的顶点坐标，

抛物线的对称轴为直线，

，所以①正确；

抛物线开口向下，

，

，

抛物线与轴的交点在轴上方，

，

，所以②错误；

抛物线与轴的一个交点为

而抛物线的对称轴为直线，

抛物线与轴的另一个交点为，所以③错误；

抛物线的顶点坐标，

时，二次函数有最大值，

方程有两个相等的实数根，所以④正确；

抛物线与直线交于，点

当时，，所以⑤正确．

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•高平市期末）抛物线的部分图象如图所示，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则时，的取值范围　或　．

【分析】利用抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，然后利用函数图形写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．

【解析】抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为，

抛物线与轴的另一个交点坐标为，

时，的取值范围为或．

故答案为或．

12．（2020•东莞市一模）二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有　①②③④　．

【分析】由图象可知：，，根据对称轴及与的符号关系可得，则可判断①的正误；根据抛物线与轴有两个交点，可得△，则可判断②的正误；由对称轴是直线，可判断③的正误；由当时，，可判断④的正误；由当时，，可判断⑤的正误．

【解析】由图象可知：，，

又对称轴是直线，

根据对称轴在轴左侧，，同号，可得，

，

故①正确；

抛物线与轴有两个交点，

△，

，

故②正确；

对称轴是直线，

，

，

，

故③正确；

当时，，

，

故④正确；

对称轴是直线，且由图象可得：当时，，

当时，，

，

故⑤错误．

综上，正确的有①②③④．

故答案为：①②③④．

13．（2019秋•荔湾区校级月考）如图是二次函数与一次函数的图象相交于点、，试确定能使成立的取值范围为　　．

【分析】符合的函数图象为点与点之间的图象，则使得该不等式成立的的取值范围为点和点之间的横坐标范围．

【解析】二次函数与一次函数的图象相交于点、

位于点和点之间的函数图象符合

当时，

故答案为：．

14．（2021•滨江区校级开学）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则　0或1或2　．

【分析】根据题意，分三种情况讨论：（1）时，函数的图象是一条直线，它与轴、轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；

（2）时，△，据此求出的值是多少即可；

（3）时，△，函数的图象一定经过原点，据此求出的值是多少即可．

【解析】（1）时，函数的图象是一条直线：，

它与轴、轴各有一个交点，与坐标轴只有两个交点；

（2）时，△，

，

，

解得；

（3）时，△，

，

，

此时函数的图象一定经过原点，

，

解得；

综上，可得的值为0或1或2．

故答案为：0或1或2．

15．（2020秋•金昌期末）抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是　　．

【分析】从函数的对称轴为，和函数与轴一个交点是，可以求出函数与轴另外一个交点，即可求解．

【解析】从抛物线图象看，函数的对称轴为，与轴一个交点是，则另外一个交点为，

从图象看，当时，，

故答案是：．

16．（2020•新泰市一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是　　．

【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．

【解析】抛物线与直线交于，两点，

，，

抛物线与直线交于，两点，

观察函数图象可知：当时，

直线在抛物线的上方，

不等式的解集是．

故答案为．

17．（2021•姑苏区校级二模）已知二次函数的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是　　．

【分析】由题意得：△，解得，当时，随的增大而减小，则，即可求解．

【解析】由题意得：△，解得，

，故抛物线开口向上，

当时，随的增大而减小，则，

实数的取值范围是，

故答案为：．

18．（2019秋•广饶县期末）如图，一段抛物线：记为，它与轴交于两点、；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于；如此进行下去，直至得到．若点在第1010段抛物线上，则　　．

【分析】根据抛物线与轴的交点问题，得到图象与轴交点坐标为：，，此时顶点坐标为，再利用旋转的性质得到图象与轴交点坐标为：，，顶点坐标为，于是可推出抛物线上的点的横坐标为偶数时，纵坐标为0，横坐标是奇数时，纵坐标为1或，按照上述规律进行解答，即可求解．

【解析】一段抛物线，

图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，

将绕点旋转得，交轴于点；，

抛物线，

图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，

将绕点旋转得，交轴于点；

在抛物线上，1010是偶数，

点是抛物线的顶点，且点在轴的下方，

．

故答案为．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•昆明期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，其中顶点为．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与轴的交点为，求的面积．

【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；

（2）根据抛物线解析式求得点、的坐标，过点作轴于点，交直线于，由直线的解析式和一次函数图象上点的坐标特征求得点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．

【解析】（1）抛物线与轴相交于，两点，

．

解得：．

故该抛物线解析式为；

（2）由抛物线解析式，可得，．

如图，过点作轴于点，交直线于，则点的横坐标是．

直线经过点，，

直线的解析式是．

把代入，得．

则．

．

．

20．（2021•鹿城区校级三模）已知二次函数的最小值为．其图象与轴交于，两点（点在点右侧），与轴交于．

（1）求二次函数表达式．

（2）将线段向右平移个单位，向上平移个单位至，均为正数），若点，均落在此二次函数图象上，求，的值．

【分析】（1）用顶点式结合待定系数法可解答案；

（2）根据二次函数的对称性结合平移的规律可解答案．

【解析】（1）二次函数的最小值为，

对称轴为直线，顶点，

，

代入．解得，

．

（2），解得或3，

，，

，

又对称轴为直线，，均落在此二次函数图象上，

，到对称轴的距离为，

，．

21．（2021•凉州区校级二模）如图，已知抛物线的图象与轴交于和，与轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点是直线下方抛物线上的一点，当的面积最大时，请求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点，使得的周长最小，请求出点的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）先确定，再利用待定系数法求出直线的解析式为，作垂直于轴交于，如图1，设，，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题；

（3）先求出抛物线的对称轴为直线，连接交直线于，如图，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，的周长最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，然后计算对应的函数值可得到点的坐标．

【解析】（1）将、代入得，解得，

抛物线解析式为；

（2）当，，则，

设直线的解析式我，

把，代入得，解得，

直线的解析式为，

作垂直于轴交于，如图1，

设，，则，

，

，

，

当时，有最大值，

此时点坐标为；

（3）抛物线的对称轴为直线，

连接交直线于，如图，

，

，

此时的值最小，的周长最小，

设直线的解析式为，

把，代入得，解得，

直线的解析式为，

当时，，

点的坐标为．

22．（2020秋•任城区期中）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点位于点的左侧），点的坐标为，与轴交于点．

（1）求的值与的面积；

（2）在抛物线上是否存在一点，使．若存在请求出坐标，若不存在请说明理由．

【分析】（1）由，令，即，可求出、坐标，结合点的坐标为，解出，进而求出的面积；

（2）根据题意得点的纵坐标为，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得的坐标．

【解析】（1），

令，则，

，

令，即

解得，，

由图象知：，

，，

点的坐标为，

，，

，

；

（2），

，

．

点的纵坐标为，

把代入得，解得或（与点重合，舍去）；

把代入得，解得或，

点的坐标为或，或，．

23．（2021•工业园区校级模拟）已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当时，二次函数的最小值为，求的值．

【分析】（1）点与点关于直线对称，则点的坐标为，则，即可求解；

（2）分①、②、③三种情况，分别表示出二次函数在最小值求解即可．

【解析】（1）点与点关于直线对称，

点的坐标为，

则，

即抛物线的表达式为；

顶点坐标为；

（2）①当时，即，

则函数的最小值为，

解得（正值舍去）；

②当时，即，

则函数的最小值为，

解得：（舍去）；

③当时，

则函数的最小值为，解得（负值舍去）．

综上，的值为或．

24．（2020•杭州模拟）已知抛物线是常数）经过点．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）抛物线与轴另一交点为点，与轴交于点，平行于轴的直线与抛物线交于点，，，，与直线交于点，．

①求直线的解析式．

②若，结合函数的图象，求的取值范围．

【分析】（1）把代入其凷得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；

（2）①解方程得，再确定，然后利用待定系数法求直线的解析式；

②如图，利用对称性得到，则，所以，利用函数图象得到，从而得到．

【解析】（1）把代入得，解得，

抛物线解析式为，

，

抛物线的顶点坐标为；

（2）①当时，，解得，，则，

当时，，则，

设直线的解析式为，

把，代入得，解得，

直线的解析式为；

②如图，，

，

，

，即，

，

时，，解得，

，

．