初中北师大版9 弧长及扇形的面积教案及反思

这是一份初中北师大版9 弧长及扇形的面积教案及反思，共22页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第17讲


讲














弧长及扇形的面积


























概述





【教学建议】


本节课的内容是圆中常见的计算：弧长及扇形的面积，也是中考数学中的常考内容。在教学中要让学生知道弧长及面积公式如何推导而来的，会处理一些较复杂图形中的一些相关运算问题。


学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难：


1. 对两个扇形面积公式的理解。


2. 复杂图形中不规则图形面积的计算问题。





【知识导图】











教学过程








一、导入





【教学建议】


弧长及扇形的面积，是中考数学中的常考内容。一般以选择或填空题的形式出现，弧长的计算一般较简单，而有关面积的计算，一般比较复杂，多在复杂图形中考察非规则图形面积的计算问题。教师在平时的教学中要注意渗透非规则图形如何转化成规则图形的问题，帮助学生总结一些比较经典的模型。





二、知识讲解








知识点1 弧长








n°的圆心角所对的弧长L=[来





知识点2 扇形面积





1.扇形的概念：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。


2.圆心角为n°的扇形面积是S扇形==





三、例题精析








例题1





【题干】在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（ ）．


A． B． C． D．





【答案】D


【解析】根据弧长公式即可求得。





例题2





【题干】如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（ ）





A．B．C．D．


【答案】C


【解析】∵∠A=60°，∠B=100°，


∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，


∵DE=DC，


∴∠C=∠DEC=20°，


∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，


∴S扇形DBE==π．


故选：C．





例题3





【题干】如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）





A．B．C．2πD．


【答案】D


【解析】解：连接OD，


∵∠ABD=30°，


∴∠AOD=2∠ABD=60°，


∴∠BOD=120°，


∴的长==，


故选：D．











例题4





【题干】如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）





A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣





【答案】C


【解析】解：连接OB和AC交于点D，如图所示：





∵圆的半径为2，


∴OB=OA=OC=2，


又四边形OABC是菱形，


∴OB⊥AC，OD=OB=1，


在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，


∵sin∠COD==，


∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，


∴S菱形ABCO=OB×AC=×2×2=2，


S扇形AOC==，


则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=π﹣2，


故选：C．








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习。





基础





1.已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（ ）


A．B．C．D．





【答案】A


【解析】由题意得，×2πR×l=8π，


则R=，故选：A．





2.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）





A．2πB．C．D．





【答案】D


【解析】如图，连接CO，


∵∠BAC=50°，AO=CO=3，


∴∠ACO=50°，


∴∠AOC=80°，


∴劣弧AC的长为=，


故选：D．








3.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）





A． 2B．C．πm2D．2πm2





【答案】A


【解析】解：


连接AC，


∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，


∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，


∵AB2+BC2=22，


∴AB=BC=m，


∴阴影部分的面积是=（m2），


故选：A．








巩固





1.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）





A．B．2πC．3πD．6π


【答案】C


【解析】∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，


∴∠C=120°，


∴图中阴影部分的面积是： =3π，故选：C．





2.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）





A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm2








【答案】A


【解析】设底面圆的半径为R，


则πR2=25π，解得R=5，


圆锥的母线长==，


所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；


圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，


所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m2．


故选：A．





3.如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）





A．12π+18B．12π+36C．6D．6





【答案】C


【解析】如图，连接OD，AD，


∵点C为OA的中点，


∴OC=OA=OD，


∵CD⊥OA，


∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，


∴△ADO为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，


∴CD=，6，


∴S扇形AOD==24π，


∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）


=﹣﹣（24π﹣×6×6）


=18+6π．


故选：C．








拔高





1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）





A．4π﹣4B．4π﹣8C．8π﹣4D．8π﹣8





【答案】A


【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积﹣△ABD的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A．





2.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）





A．B．C．2D．2





【答案】D


【解析】过A作AD⊥BC于D，


∵△ABC是等边三角形，


∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，


∵AD⊥BC，


∴BD=CD=1，AD=BD=，


∴△ABC的面积为=，


S扇形BAC==π，


∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，


故选：D．





3.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2．








【答案】见解析


【解析】∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，


∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，


∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，


∴∠B′OB=120°，


∵AB=2cm，


∴OB=1cm，OC′=，


∴B′C′=，


∴S扇形B′OB==π，


S扇形C′OC==，


∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π；


故答案为：π．














课堂小结





1.弧长公式


2.扇形面积公式


3.利用扇形面积公式求不规则图形的面积








拓展延伸








基础





1. 若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）


A．60πB．65πC．78πD．120π





【答案】B


【解析】由题意可得：圆锥的底面半径为5，母线长为： =13，


该圆锥的侧面积为：π×5×13=65π．


故选：B．





2. 如图，正方形ABCD内接于O，AB=2，则的长是（ ）





A．πB．πC．2πD．π





【答案】A


【解析】解：连接OA、OB，


∵正方形ABCD内接于O，


∴AB=BC=DC=AD，


∴===，


∴∠AOB=×360°=90°，


在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，


解得：AO=2，


∴的长为=π，


故选：A．





3.已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ）


A．4πB．8πC．12πD．16π


【答案】C


【解析】该扇形的面积==12π．故选：C．





巩固





1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．


【答案】见解析


【解析】连接OE、AE，


∵AB是⊙O的直径，


∴∠AEB=90°，


∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，


∴AE=AB=2，BE==2，


∵OA=OB=OE，


∴∠B=∠OEB=30°，


∴∠BOE=120°，


∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE，


=﹣×，


=﹣，


=﹣，


故答案为：﹣．








2.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）








【答案】8﹣2π


【解析】S阴=S△ABD﹣S扇形BAE=×4×4﹣=8﹣2π，


故答案为8﹣2π．





3.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．








【答案】6﹣π


【解析】∵矩形ABCD，∴AD=2，


∴S阴影=S矩形﹣S四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，


故答案为：6﹣π








拔高





1.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2= ．








【答案】：2


【解析】连OA





由已知，M为AF中点，则OM⊥AF


∵六边形ABCDEF为正六边形


∴∠AOM=30°


设AM=a


∴AB=AO=2a，OM=


∵正六边形中心角为60°


∴∠MON=120°


∴扇形MON的弧长为： a


则r1=a


同理：扇形DEF的弧长为：


则r2=


r1：r2=


故答案为：：2








2.如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是 ．





【答案】


【解析】直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），


以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，


OA2==4，点A2的坐标为（4，0），


这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）


以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），


则的长是=．


故答案为：．





3.如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则的值为 ．








【答案】


【解析】∵2πr1=、2πr2=，


∴r1=、r2=，


∴====，


故答案为：．














教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.弧长公式


2.扇形面积公式


3.利用扇形面积公式求不规则图形的面积
教学目标
1.掌握弧长的求解方法


2.掌握扇形的面积公式及应用
教学重点
能熟练掌握弧长及扇形的面积的求解方法
教学难点
能熟练掌握弧长及扇形的面积的求解方法