2020-2021学年5 二次函数与一元二次方程导学案

 用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础）

【学习目标】

1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；

2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；

3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．

【要点梳理】

要点一、二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：

　要点诠释：
　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.

　  (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题

抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．

抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．

抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．

   当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；

   当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；

   当方程组无解时两函数图象没有交点．

   总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．

要点诠释：

求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．

要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
　　用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线  与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点诠释：
　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.

要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式

当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．

∴ 

即  （△＞0）

要点四、抛物线与不等式的关系

二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：

注：a＜0的情况请同学们自己完成．

要点诠释：

抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

【典型例题】

类型一、二次函数图象与坐标轴交点

1．已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-1<m<2，试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方.
【答案与解析】

∵-1<m<2.
　　   ∴m-2<0，抛物线开口向下，
　　   又m+1>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方.
　　   Δ=4m2-4(m-2)(m+1)
　　　   =4m2-4(m2-m-2)
　　　   =4m+8
　　　   =4(m+1)+4>0.
　　   ∴抛物线与x轴有两个不同的交点.
【总结升华】此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点(用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点).
举一反三：

【变式】二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围。

【答案】据题意，列    

类型二、利用图象法求一元二次方程的解

2．用图象法求一元二次方程的近似解(精确到0.1)．

【答案与解析】

解法1：，即对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，-2)．

    列表如下：

描点连线，画出图象在对称轴右边的部分，利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，即得函数图象如图所示．由图象知，当x≈-0.4或x≈2.4时，y＝0．因此方程的解的近似值为-0.4或2.4．

解法2：将方程变形得．在同一坐标系中画出函数与y＝2x+1的图象如图所示．抛物线与直线y＝2x+1交于A、B，过A、B分别作x轴的垂线，垂足横坐标分别约为-0.4或2.4，所以方程的近似解为x1≈-0.4，x2≈2.4．

【总结升华】本题的第一种解法是先求出对称轴及顶点坐标，利用其对称性作出整个函数的图象，从而观察得方程的近似解．第二种解法是把其转化为两个函数图象的交点，由于函数与y＝2x+1的图象简单易作，这种解法很有新意，同学们要注意从不同的角度去分析，培养多向思维的能力．可画出函数的图象，观察其与x轴的交点坐标，也可转化为求直线y＝2x+1与抛物线的交点的横坐标．

类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用

3．（2020•通州区二模）已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．

（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；

（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．

【答案与解析】

 解：（1）①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2；

②当m≠0时，方程为一元二次方程，

△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）

=m2+2m+1

=（m+1）2≥0，故方程有两个实数根；

故无论m为何值，方程恒有实数根．

（2）∵二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，

∴=2，

整理得，3m2﹣2m﹣1=0，

解得m1=1（舍去），m2=﹣．

则函数解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x﹣．

【总结升华】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉根的判别式及二次函数与x轴的交点间的距离公式是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020•杭州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n=0没有实数根，则抛物线y=x2﹣x﹣n的顶点在（　　）

　 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

【答案】A.

提示：∵抛物线y=x2﹣x﹣n的对称轴x=﹣=，

∴可知抛物线的顶点在y轴的右侧，

又∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n=0没有实数根，

∴开口向上的y=x2﹣x﹣n与x轴没有交点，

∴抛物线y=x2﹣x﹣n的顶点在第一象限．

故选A．

4．已知：如图所示，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．

(1)求二次函数的解析式；

(2)求四边形BDEC的面积S．

【答案与解析】

(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入得解之

所以抛物线的解析式为．

(2)设C(，)，则有  解得

∴  C(4，3)．

由图可知：．

又由抛物线的对称轴为可知E(2，0)．

∴.

【总结升华】由图象知，抛物线经过点B(0，1)，D(1，0)．将B、D两点坐标代入抛物线的解析式中求出b、c的值．再联立方程组求出点C的坐标．由抛物线对称性求出点E的坐标．由，求出面积S．