数学八年级上册15.2 分式的运算综合与测试优质教案

这是一份数学八年级上册15.2 分式的运算综合与测试优质教案，共20页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第14讲


讲























分式的运算












































概 述














【教学建议】


分式的乘除在有关分式的运算中占有非常重要的地位，是有关分式运算的基础.分式的乘除法是分数乘除法的延伸和拓展，它们的本质相同，可以类比分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则.分式的乘法法则是除法法则的基础，分式的除法必须转化为分式的乘法运算.


学生在小学时已经学习过同分母分数加减及异分母分数加减的运算法则，并且经历过用字母表示现实情境中数量关系的过程。由此类比分式的加减法，可以猜想分式的加减运算法则。在相关知识的学习过程中，学生经历过一些从实际问题建模的思想，因此本节课从实际问题入手，能够引起学生的有意记忆；同时，还与整式运算、分解因式等有密切联系，因此可以加强知识之间的纵向联系。





【知识导图】

















教学过程








一、导入








【教学建议】


导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。


导入的方法很多，仅举两种方法：


情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；


温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。


提供一个教学设计供讲师参考：


复习预习


上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？


探索、交流——观察下列算式：


×=, ×=,


÷=×=, ÷=×=


观察上面运算，可知：


两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；


两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.


对比分数的乘除法猜猜








二、知识讲解








考点1 分式的乘法法则








【教学建议】通过前面的引导，得到分式乘法法则，注意区别在字母部分。





分式的乘法法则


与分数的乘法法则类似，我们得到分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．


符号表示： ．


说明：


分式与分式相乘时，若分子和分母都是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘。


（2）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变，当然能约分的要约分。








考点2 分式的除法法则








与分数的除法法则类似，我们得到分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．


符号表示： ．


说明：


当分式的分子与分母都是单项式时，运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。


（2）当分子与分母都是多项式时：运算步骤是：


①把各个分式的分子与分母分解因式；


②把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘；


③约分，得到计算结果.








考点3 分式的乘方法则








分式的乘方


几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。法则：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分别乘方。


符号表示：（为正整数）。


说明：


（1）分式的乘方，必须把分式加上括号。


（2）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分。


3. （1）同底数幂的除法法则： (a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).


同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：


（2）一般地，我们规定： （a≠0，n是正整数）


这就是说，任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.


（3）（a,b为实数且ab≠0，m是正整数）








考点4 同分母分式的加减法








同分母分式的加减法则


同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；


符号表示： ．


说明：


同分母分式相加减时应注意：


①当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误。


②分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式。








考点5 单调区间的定义








异分母分式的加减法则


异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．


说明：


异分母分式相加减时应注意：


①把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等；


②通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘“什么”，分子也必须随之乘“什么”；分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。


符号表示：








三 、例题精析








类型一 分式乘除








例题1








计算：1）·; （2）·.


【解析】将算式对照乘法运算法则，进行运算；


（1）·===;


（2）·==.





【总结与反思】强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.学生在此部分学习时，因式分解正确是主要的前提，依据法则进行，计算步骤要求清晰，准确。








例题2








【教学建议】提醒学生除法法则，注意乘除换算，把握倒数特征及符号特征.


计算：（1）3xy2÷;（2）÷


【解析】将算式对照分式的除法运算法则，进行运算


（1）÷=·==x2;


（2）÷=×=


==





【总结与反思】当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.





类型二 分式的乘方





例题1








计算：（1） ; (2)





【解析】（1）原式=


（2）原式= =





【总结与反思】是分式乘方的运用，可直接运用公式。运算顺序是先乘方，然后是乘除。要注意运算时的符号。注意在解题时正确地利用幂的乘方及符号 。





类型三 同分母相加减





例题1








计算：（1）；（2）





【解析】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减


（1） ＝


＝ ＝


（2）＝


＝ ＝＝4





【总结与反思】 同分母分式相加减，依照法则进行，把握分解计算及符号特征。





类型四 异分母相加减





例题1








计算：.(2)


【解析】


(1)＝＝


＝＝＝＝


(2)





【总结与反思】 (1)这里两个加项的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母.


注意到=,所以最简公分母是；(2)整式的分母为1.











四 、课堂运用











基础








下列各式中，正确的是（ ）．


A． B．


C． D．


用科学记数法表示 为 .


计算：





计算：





答案与解析


1.【答案】C


【解析】分式性质应用，注意符号，答案为C.





2. 【答案】


【解析】科学记数法表示小数，注意数位及符号。





3. 【答案】原式=


【解析】分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.


4. 【答案】


=


=


=


=


【解析】这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.














巩固








计算：= ．





化简的结果是（ ）


A. B. C. D.





计算：





先化简，再求值：，其中





答案与解析


1.【答案】3


【解析】同分母相加减，分母不变，分子相加减，再约分。





2.【答案】A


【解析】先通分，再约分化简，得答案为A.





3. 【答案】原式＝ = =





【解析】（1)将算式对照分式的乘除法法则进行运算


（2）运算时注意符号，注意化简约分





4.【答案】化简得：，代入得原式的值为





【解析】化简求值，先化简，再求值。注意通分，因式分解，约分。











拔高








已知两个分式：，，其中，则A与B 的关系是（ ）


A、相等 B、互为倒数 C、互为相反数 D、A大于B





先化简，再求值： ，其中





3.用两种方法计算：（－）·.








答案与解析


1.【答案】C


【解析】化简，与A互为相反数。





2.【答案】先化简代入，得原式的值为。


【解析】化简求值，先化简，再求值。注意通分，因式分解，约分。





3.【答案】解方法一：（按运算顺序，先计算括号里的算式）


（－）·


=（－）·


=·


==2x+8.


方法二：（利用乘法分配律）.


（－）·


=－





【解析】 本题可用分配律简便计算。








五 、课堂小结








1．分式的乘除法的法则


2．分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.


3. 学会类比的数学方法


六 、课后作业

















基础








计算的结果是（ ）


A． B． C． D．





计算的结果是。





已知：a=3, , 求的值．





已知．求的值





答案与解析


1.【答案】B


【解析】乘方与乘除的混合运算，注意运算顺序及运算法则。





2.【答案】0


【解析】化简





3.【答案】先化简，再代入a=3, ，得原式的值是1.


【解析】化简求值，先化简，再求值。注意通分，因式分解，约分。





4.【答案】先化简，再有得a=-1,b=-2,代入上式求原式的值为-1.


【解析】化简求值，先化简，再求值。注意绝对值与平方的非负性应用，还要把握通分，因式分解，约分。





巩固











计算：





已知，求的值.





先化简，再求值：，其中满足





答案与解析





1.【答案】


【解析】注意整数指数幂的计算法则与幂的运算一致。





2.【答案】由得.


化简,代入，则原式的值为.


【解析】化简求值，已知与所求均需化简，此题方法不惟一。也可将所求分式，分子、分母同除以xy，再整体代入求值，化简即可。





3.【答案】先化简：，由得x=-2,则原式的值为5.





【解析】化简求值，先化简，再求值。注意通分，因式分解，约分。再由已知的等式得x的值，代入化简式中，求得原式的值。











拔高











计算：（1）


（2）








（1）已知, 求的值．


（2）已知，求的值


（3）若，则 _________.





先化简, 再选择一个适当的x值代入并求值．








答案与解析


1.【答案】（1）；


（2）


【解析】整数指数幂的有关运算，注意运算法则。





2.【答案】（1）由，得=2；


（2）将两边同除以x，得，同（1）得=14


（3）同（2）讲两边同除以x，得，得从而





【解析】分式与配方的结合题目，属于常考题型，把握题目特征。





3.【答案】先化简，x的值不唯一，比如x=2,原式的值为1.


【解析】化简求值，先化简再求值，注意分子、分母因式分解，再通分，计算。此处的陷阱为x不是任意选择，需要保证式子及运算过程中，均有意义。





七 、教学反思




















适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
教学目标
1、让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。


2、使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算


3、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。


4、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。


5、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力
教学重点
分式的乘除法、乘方运算；同分母、异分母分式的加减法
教学难点
分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。


分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。