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    人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时学案及答案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时学案及答案,共11页。

    2.3 二次函数与一元二次方程、不等式


    第1课时 一元二次不等式及其解法








    (1)已知三个方程:x2-4x+3=0;x2-4x+4=0;x2-4x+5=0.


    (2)已知三个函数y1=x2-4x+3,y2=x2-4x+4,y3=x2-4x+5及三个函数对应的图象.





    问题:(1)中三个方程的解分别为x1=1,x2=3;x1=x2=2;无解,(2)中三个函数与x轴交点横坐标分别为1,3;2;无交点.由图象观察可知在(2)中三个函数中,x分别取何值函数值为正、负?


    提示:对于y1=x2-4x+3,当x<1或x>3时,y1=x2-4x+3>0,当1<x<3时,y1=x2-4x+3<0;对于y2=x2-4x+4,当x≠2时,y2=x2-4x+4>0;对于y3=x2-4x+5,当x∈R时,y3=x2-4x+5>0.





    1.一元二次不等式的概念


    只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.


    2.一元二次不等式的一般形式


    (1)ax2+bx+c>0(a≠0).


    (2)ax2+bx+c<0(a≠0).


    思考1:不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗?


    提示:此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义可知不是一元二次不等式.


    3.一元二次不等式的解与解集


    使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.


    思考2:类比“方程x2=1的解集是{1,-1},解集中的每一个元素均可使等式成立”.不等式x2>1的解集及其含义是什么?


    提示:不等式x2>1的解集为{x|x<-1或x>1},该集合中每一个元素都是不等式的解,即不等式的每一个解均使不等式成立.


    4.三个“二次”的关系


    思考3:若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则实数a应满足什么条件?


    提示:结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,,1+4a<0,))解得a∈∅,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)mx2-5x<0是一元二次不等式.( )


    (2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解.( )


    (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1

    (4)不等式x2-2x+3>0的解集为R.( )


    [提示] (1)错误.当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,是一元二次不等式.


    (2)错误.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.


    (3)错误.当a>0时,ax2+bx+c<0的解集为{x|x1

    (4)正确.因为Δ=(-2)2-12<0,所以不等式x2-2x+3>0的解集为R.


    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√


    2.不等式3x2-2x+1>0的解集为( )


    A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(-1<x<\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)<x<1))))


    C.∅ D.R


    D [因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R.]


    3.不等式3+5x-2x2≤0的解集为( )


    A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>3或x<-\f(1,2)))))


    B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)≤x≤3))))


    C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥3或x≤-\f(1,2)))))


    D.R


    C [3+5x-2x2≤0⇒2x2-5x-3≥0⇒(x-3)(2x+1)≥0⇒x≥3或x≤-eq \f(1,2).]


    4.若eq \r(x2+x-12)有意义,则实数x的取值范围为________.


    x≥3或x≤-4 [要使eq \r(x2+x-12)有意义,则x2+x-12≥0,∴(x-3)(x+4)≥0,∴x≥3或x≤-4.]








    【例1】 解下列不等式:


    (1)2x2+7x+3>0;


    (2)-4x2+18x-eq \f(81,4)≥0;


    (3)-2x2+3x-2<0.


    [解] (1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-eq \f(1,2).又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>-\f(1,2)或x<-3)))).


    (2)原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(9,2)))eq \s\up12(2)≤0,所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(9,4))))).


    (3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.





    解不含参数的一元二次不等式的一般步骤,


    1化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.


    2判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.


    3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.


    4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.


    5写解集.根据图象写出不等式的解集.





    eq \([跟进训练])


    1.解下列不等式


    (1)2x2-3x-2>0;


    (2)x2-4x+4>0;


    (3)-x2+2x-3<0;


    (4)-3x2+5x-2>0.


    [解] (1)∵Δ>0,方程2x2-3x-2=0的根是x1=-eq \f(1,2),x2=2,


    ∴不等式2x2-3x-2>0的解集为


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<-\f(1,2)或x>2)))).


    (2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,


    ∴不等式x2-4x+4>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠2)).


    (3)原不等式可化为x2-2x+3>0,


    由于Δ<0,方程x2-2x+3=0无解,


    ∴不等式-x2+2x-3<0的解集为R.


    (4)原不等式可化为3x2-5x+2<0,


    由于Δ>0,方程3x2-5x+2=0的两根为x1=eq \f(2,3),x2=1,


    ∴不等式-3x2+5x-2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)




    【例2】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.


    [思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a=0,a<0,a>0三类进行讨论?②当a≠0时,是否还要比较两根的大小?


    [解] 当a=0时,原不等式可化为x>1.


    当a≠0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0.


    当a<0时,不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,a)))(x-1)>0,


    ∵eq \f(1,a)<1,∴x1.


    当a>0时,原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,a)))(x-1)<0.


    若eq \f(1,a)<1,即a>1,则eq \f(1,a)

    若eq \f(1,a)=1,即a=1,则x∈∅;


    若eq \f(1,a)>1,即0

    综上所述,当a<0时,原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)))或x>1));当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当01时,原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)




    解含参数的一元二次不等式的一般步骤





    提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.





    eq \([跟进训练])


    2.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).


    [解] 原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,


    化简为(x+1)(ax-2)≥0.


    ∵a<0,∴(x+1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(2,a)))≤0.


    当-2

    当a=-2时,x=-1;


    当a<-2时,-1≤x≤eq \f(2,a).


    综上所述,


    当-2

    当a=-2时,解集为{x|x=-1};


    当a<-2时,解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(-1≤x≤\f(2,a))))).





    [探究问题]


    1.利用函数y=x2-2x-3的图象说明当y>0,y<0,y=0时x的取值集合分别是什么?这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系?


    提示:y=x2-2x-3的图象如图所示.





    函数y=x2-2x-3的值满足y>0时自变量x组成的集合,亦即二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<-1或x>3};同理,满足y<0时x的取值集合为{x|-1

    方程ax2+bx+c=0(a≠0)和不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一种特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y=0时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)就转化为方程,当y>0或y<0时,就转化为一元二次不等式.


    2.方程x2-2x-3=0与不等式x2-2x-3>0的解集分别是什么?观察结果你发现什么问题?这又说明什么?


    提示:方程x2-2x-3=0的解集为{-1,3}.


    不等式x2-2x-3>0的解集为{x|x<-1或x>3},观察发现不等式x2-2x-3>0解集的端点值恰好是方程x2-2x-3=0的根.


    3.设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2},{x|x1

    提示:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2},{x|x1

    【例3】 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2

    [思路点拨]





    [解] 法一:由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20,即x2-eq \f(5,6)x+eq \f(1,6)>0,解得xeq \f(1,2),所以不等式cx2+bx+a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,3)或x>\f(1,2))))).


    法二:由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2




    1.(变结论)本例中的条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.


    [解] 由根与系数的关系知eq \f(b,a)=-5,eq \f(c,a)=6且a<0.


    ∴c<0,eq \f(b,c)=-eq \f(5,6),故不等式cx2-bx+a>0,


    即x2-eq \f(b,c)x+eq \f(a,c)<0,即x2+eq \f(5,6)x+eq \f(1,6)<0.


    解之得eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)

    2.(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2

    [解] 由ax2+bx+c≥0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)≤x≤2))))知a<0.又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)))×2=eq \f(c,a)<0,则c>0.


    又-eq \f(1,3),2为方程ax2+bx+c=0的两个根,


    ∴-eq \f(b,a)=eq \f(5,3),∴eq \f(b,a)=-eq \f(5,3).


    又eq \f(c,a)=-eq \f(2,3),∴b=-eq \f(5,3)a,c=-eq \f(2,3)a,


    ∴不等式cx2+bx+a<0变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3)a))x2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(5,3)a))x+a<0,


    即2ax2+5ax-3a>0.


    又∵a<0,∴2x2+5x-3<0,


    所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(-3<x<\f(1,2))))).





    已知以a,b,c为参数的不等式如ax2+bx+c>0的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:


    1根据解集来判断二次项系数的符号;


    2根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;


    3约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.











    1.掌握1个知识点——一元二次不等式的解法


    (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:


    ①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0);


    ②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;


    ③由图象得出不等式的解集.


    (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.


    当m

    若(x-m)(x-n)<0,则可得{x|m<x<n}.


    有口诀如下:大于取两边,小于取中间.


    2.突破1个重难点——含参数的一元二次不等式的解法


    在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑


    (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.


    (2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).


    (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2.


    3.规避1个易误点


    当二次项系数小于0时,需两边同乘-1,化为正的.





    1.不等式x2-2x-5>2x的解集是________.


    {x|x>5或x<-1} [由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0,因为x2-4x-5=0的两根为-1,5,


    故x2-4x-5>0的解集为{x|x<-1或x>5}.]


    2.不等式-x2+6x-10>0的解集为________.


    ∅ [原不等式可化为x2-6x+10<0,


    ∵Δ=36-40=-4<0,


    ∴方程x2-6x+10=0无实根,


    ∴原不等式的解集为∅.]


    3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,a)))<0的解集为________.


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\f(1,a))))) [因为a<-1,所以a(x-a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,a)))<0⇔(x-a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,a)))>0.又a<-1,所以eq \f(1,a)>a,所以x>eq \f(1,a)或x

    4.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<-2或x>-\f(1,2))))),则ax2-bx+c>0的解集为________.


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)

    故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=-\f(b,a),,-2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=\f(c,a),))


    解得a=c,b=eq \f(5,2)a.


    所以不等式ax2-bx+c>0,


    即为2x2-5x+2<0,


    解得eq \f(1,2)0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)

    5.解下列不等式:


    (1)x(7-x)≥12;


    (2)x2>2(x-1).


    [解] (1)原不等式可化为x2-7x+12≤0,因为方程x2-7x+12=0的两根为x1=3,x2=4,


    所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}.


    (2)原不等式可以化为x2-2x+2>0,


    因为判别式Δ=4-8=-4<0,方程x2-2x+2=0无实根,而抛物线y=x2-2x+2的图象开口向上,


    所以原不等式的解集为R.


    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.掌握一元二次不等式的解法.(重点)


    2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.(难点)
    通过一元二次不等式的学习,培养数学运算素养.
    设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac
    判别式
    Δ>0
    Δ=0
    Δ<0
    解不等式y>0或y<0的步骤
    求方程y=0的解
    有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)
    有两个相等的实数根x1=x2=-eq \f(b,2a)
    没有实数根
    画函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
    解不等式y>0或y<0的步骤
    得等的集不式解
    y>0
    {x|x<x1_或x>x2}
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠-\f(b,2a)))))
    R
    y<0
    {x|x1<x<x2}


    一元二次不等式的解法
    含参数的一元二次不等式的解法
    三个“二次”的关系
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