人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第2课时学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第2课时学案及答案，共8页。

第2课时 补集








某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.


问题：没有获得金奖的学生构成的集合是什么？


提示：没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.





1．全集


(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．


(2)记法：全集通常记作U.


思考1：全集一定是实数集R吗？


提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.


2．补集


思考2：全集的补集是什么？空集的补集是什么？


提示：全集的补集是∅，空集的补集是全集．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)全集一定含有任何元素．( )


(2)集合∁RA＝∁QA.( )


(3)一个集合的补集一定含有元素．( )


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A＝( )


A．{0} B．{1}


C．∅ D．{0,1}


D [∵U＝{0,1,2}，∁UA＝{2}，


∴A＝{0,1}，故选D.]


3．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则U等于( )


A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}


C．{6} D．∅


A [∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，


∴U＝M∪∁UM＝{0,2,4,6}，故选A.]


4．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)＝________，(∁UA)∩(∁UB)＝________.


{2,4} {6} [∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，∴∁UA＝{1,3,6,7}，∁UB＝{2,4,6}．


∴A∩(∁UB)＝{2,4,5}∩{2,4,6}＝{2,4}，


(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,6,7}∩{2,4,6}＝{6}．]


5．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________.


{x|x≤1} [∵A＝{x|x>1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．]








【例1】 (1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；


(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.


(1){2,3,5,7} (2){x|x<－3或x＝5} [(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．


又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．


法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．





由图可知B＝{2,3,5,7}．


(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．





由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．]





求集合的补集的方法


1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.


2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.


3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.





eq \([跟进训练])


1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁AB等于( )


A．{2,4} B．{0,1,3,5}


C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}


(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝______.


(1)C (2){x|0

故选C.


(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0







【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

[解] 把集合A，B在数轴上表示如下：





由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2

因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，


所以(∁RA)∩B＝{x|2




解决集合交、并、补运算的技巧


1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.


2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.





eq \([跟进训练])


2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.


[解] 法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．





由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．


法二(定义法)：(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}．


又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，


∴B＝{2,3,5,8}．


∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，


∴A＝{1,3,9}.


[探究问题]


1．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∩B＝∅，则集合A，B存在怎样的关系？


提示：B⊆A.


2．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？


提示：A⊆B.


【例3】 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2

[思路点拨] 法一：eq \x(由A求∁UA)eq \(―――――→,\s\up7(结合数轴),\s\d14(∁UA∩B＝∅))


eq \x(建立m的不等关系)


法二：eq \x(∁UA∩B＝∅)eq \(――――→,\s\up7(等价转化))eq \x(B⊆A)


[解] 法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．


因为B＝{x|－2




所以－m≤－2，即m≥2，


所以m的取值范围是{m|m≥2}．


法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，


又B＝{x|－2




得－m≤－2，即m≥2.





1．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？


[解] 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.


2．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？


[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，


∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．


又(∁UB)∪A＝R，


所以－m≤－2，解得m≥2.





由集合的补集求解参数的方法


1如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.


2如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.











1．理解2个概念——全集、补集


(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．


(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．


2．掌握1个策略——正难则反


补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.


3．牢记3个性质——全集与补集的性质


由全集与补集的概念及Venn图，我们可以得到如下性质：


(1)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅.


(2)若A⊆B，则∁UA⊇∁UB；反之，若∁UA⊇∁UB，则A⊆B，这可利用∁U(∁UA)＝A得到．


(3)若A＝B，则∁UA＝∁UB；反之，若∁UA＝∁UB，则A＝B.





1．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( )


A．{1,2,4} B．{2,3,4}


C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}


D [∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，


∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．]


2．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于( )


A．{x|－2

C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}


C [因为S＝{x|x>－2}，


所以∁RS＝{x|x≤－2}．


而T＝{x|－4≤x≤1}，


所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]


3．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.


－3 [∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，


∴m＝－3.]


4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，则实数a的值为________．


2 [由已知，得－1∈U，且－1∉P，


因此eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a2＝－1，,a2－a－2＝0，))


解得a＝2.


当a＝2时，U＝{2,0，－1}，


P＝{2,0}，∁UP＝{－1}，满足题意．


因此实数a的值为2.]


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)


2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)


3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)
1.通过补集的运算培养数学运算素养．


2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
补集的运算
集合交、并、补集的综合运算
与补集有关的参数值的求解