高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时导学案，共7页。

第2课时 集合的表示








(1)不等式2x－1＞3的解集；


(2)不超过30的所有非负偶数的集合；


(3)方程2x2＋1＝9的所有实数根组成的集合；


(4)所有的菱形；


(5)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝2,2x＋3y＝27))的解集．


问题：以上问题所对应的集合，能否利用数学符号简单的把它们表示出来呢？


提示：能．





1．列举法


把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．


2．描述法


一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．


思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？


(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？


提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.


(2){x|x<5，x∈R}．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．( )


(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．( )


(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )


(4)集合{x|x＞3，且x∈N}与集合{x∈N|x＞3}表示同一个集合．


( )


(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1,0,1}．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×


2．(1)由方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为________；


(2)不等式4x－5＜3的解集为________．


(1){－3,3}或{x|x2－9＝0} (2){x|x＜2} [(1)由x2－9＝0得x＝±3，所以方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为{－3,3}．也可用描述法表示为{x|x2－9＝0}．


(2)由4x－5＜3得x＜2.


所以不等式4x－5＜3的解集为{x|x＜2}．]


3．集合{2,4,6,8,10,12}可用描述法表示为________．


{x|x＝2n，n∈N＋，且n≤6} [2,4,6,8,10,12均为偶数，故该集合可用描述法表示为{x|x＝2n，n∈N＋，且n≤6.}]


4．集合A＝{x∈Z|－5＜2x－1＜5}可用列举法表示为________．


{－1,0,1,2} [由－5＜2x－1＜5，得－2＜x＜3，又∵x∈Z，∴x＝－1,0,1,2.]





【例1】 用列举法表示下列给定的集合：


(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；


(2)小于8的质数组成的集合B；


(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；


(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.


[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．


(2)小于8的质数有2,3,5,7，


所以B＝{2,3,5,7}．


(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，eq \f(3,2)，


所以C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))).


(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋3，,y＝－2x＋6，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4.))


所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，


所以D＝{(1,4)}．





用列举法表示集合的3个步骤


1求出集合的元素；


2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；


3用花括号括起来.


提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{2，3，5，－1}.





eq \([跟进训练])


1．用列举法表示下列集合：


(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；


(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；


(3)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝8，,x－y＝1))的解组成的集合B；


(4)15的正约数组成的集合N.


[解] (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，－1,0,1,2}．


(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，


∴M＝{2,3}．


(3)解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝8，,x－y＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，))∴B＝{(3,2)}．


(4)15的正约数有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}．





【例2】 用描述法表示下列集合：


(1)比1大又比10小的实数组成的集合；


(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；


(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．


[解] (1){x∈R|1

(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．


(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．





描述法表示集合的2个步骤








eq \([跟进训练])


2.(1)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；





(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合．


[解] (1)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(0≤x≤\f(3,2)，0≤y≤1)))).


(2)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．





[探究问题]


下面三个集合：


①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．


(1)它们各自的含义是什么？


(2)它们是不是相同的集合？


提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；


集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；


集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．


(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．


【例3】 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．


[思路点拨] eq \x(A中只有一个元素)eq \(――――→,\s\up7(等价转化))


eq \x(方程kx2－8x＋16＝0只有一解)eq \(――――→,\s\up7(分类讨论))eq \x(求实数k的值)


[解] (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；


(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．


综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．





1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．


[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,Δ＝64－64k>0，))即k<1且k≠0.


所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}．


2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．


[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．


①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；


②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.


综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．





1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．


2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．











1．掌握2种方法——列举法和描述法


表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．


2．规避1个易错点——点集与数集的区别


处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．





1．已知集合A＝{x|－1＜x＜eq \r(3)，x∈Z}，则一定有( )


A．－1∈A B.eq \f(1,2)∈A


C．0∈A D．1∉A


C [因为－1＜0＜eq \r(3)，且0∈Z，所以0∈A.]


2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )


A．{x|－3

B．{x|－3

C．{x|－3

D．{x|－3

D [由题意可知，满足题设条件的只有选项D，故选D.]


3．下列集合中表示同一集合的是( )


A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}


B．M＝{2,3}，N＝{3,2}


C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}


D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}


B [选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集，集合N是由点(2,3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．]


4．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )


A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}


C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}


D [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－3，,y＝－2x，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2，))


∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]


5．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A.


[解] ∵4∈A，∴16－12＋a＝0，


∴a＝－4，


∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)


2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．


2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.
用列举法表示集合
用描述法表示集合
集合表示方法的综合应用