突破1.1集合的概念（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训（人教A版2019必修第一册）

突破1.1 集合的概念一、知识结构网络二、知识点梳理【知识点一、集合的概念】1．集合与元素一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．2．元素与集合的关系如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．3．集合中元素的特征（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．4．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．【知识点二、常用的数集及其记法】1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．【知识点三、集合的表示方法】1．列举法把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．2．描述法用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．3．Venn图的概念我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．三、题型分析重难点1 集合的概念判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．【名师点睛】集合中元素的三个特性：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变．判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准．例1．（1）（2020·江苏高一课时练习）能够组成集合的是（ ）A．与2非常数接近的全体实数B．很著名的科学家的全体C．某教室内的全体桌子D．与无理数π相差很小的数【答案】C【分析】由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可【详解】解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合；B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合；C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合.故选：C. (2)．（2020·江苏高一课时练习）下列判断正确的个数为（ ）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用集合的定义和特点逐一判断即可.【详解】在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；在（2）中，若，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．故选：C【变式训练1-1】、（2020·全国高一单元测试）下列各组对象中不能形成集合的是（ ）A．连江中全体老师 B．优秀艺术家C．目前获得诺贝尔奖的公民 D．高中英语的必修课本【答案】B【分析】根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】根据题意选项A、C、D所述对象均满足集合的三要素：确定性、互异性和无序性，可构成集合；而选项B中所述对象不满足确定性，因为什么样的艺术家才算“优秀”，无法确切界定不能形成集合，故B中对象不能形成集合；故选：B.【点睛】本题主要考查集合的概念，属于基础题型.【变式训练1-2】、（多选题）（2020·山东高一期中）下列每组对象，能构成集合的是（ ）A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数 D．清华大学2020年入学的全体学生【答案】BD【分析】根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可【详解】解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，故选：BD重难点2 元素与集合的关系元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．常用数集的记法例2．（1）（2020·上海高一专题练习）用符号“”或“”填空（1）______， ______， ______（2）___________Q（3）________【答案】 【分析】（1）是自然数，不是自然数，是自然数，分别可得元素与集合的关系；（2）是有理数，不是有理数，分别可得元素与集合的关系；（3）可化简为的形式，可得元素与集合的关系．【详解】（1）是自然数，则；不是自然数，则；是自然数，则；（2）是有理数，则；不是有理数，则；（3）故答案为：（1），，；（2），；（3）． （2）．（多选题）（2020·江苏盐城中学）下列表述正确的是（ ）A． B． C．-3 D．【答案】BD【分析】根据常见数集的符号表示逐一判断即可.【详解】表示整数集，故A不正确、C不正确；表示自然数集，故B正确；表示有理数集，故D正确.故选：BD【变式训练2-1】、（2021·肃宁县第一中学高二月考）下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据题意依次判断即可.【详解】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a=，则-∉N， ∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A【变式训练2-2】、（2020·云南弥勒市一中）已知集合，，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，分别令解出检验即可.【详解】集合，，令得；令得；令得；又，故集合故选：B．【点睛】本题考查由元素与集合的关系求解具体集合，属于基础题【变式训练2-3】、（2021·全国高一专题练习）已知集合，且，则_________．【答案】-3【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果．【详解】解：集合，，，且，或，解得，或，当时，，，，不合题意，当时，，，，符合题意．综上，．故答案为：.重难点3 集合的表示方法对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．例3．（1）（2021·上海高一专题练习）用描述法表示下列集合：（1）{0，2，4，6，8}；（2）{3，9，27，81，…}；（3）；（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合；（5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合.【答案】（1）{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}；（2）{x|x＝3n，n∈N*}；（3）；（4）{x|x＝5n＋2，n∈Z}；（5）{(x，y)| 1≤x≤，≤y≤1且xy≥0}.【分析】（1）集合表示不大于8的非负偶数，（2）集合为3的n次幂，n从1开始的整数，（3）集合的分子为奇数，可表示为2n 1，分母为偶数，可以表示为2n，（4）根据被除数=商×除数+余数，（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，【详解】（1）观察看出集合为不大于8的非负偶数，所以用描述法表示为{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}；（2）集合为3的n次幂，n从1开始的整数，则用描述法表示为{x|x＝3n，n∈N*}；（3）该集合的分子为奇数，可表示为2n 1，分母为偶数，可以表示为2n，且n为自然数，所以集合用描述法表示为；（4）根据被除数=商×除数+余数，则x=5n+2，所以集合用描述法表示为{x|x＝5n＋2，n∈Z}；（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，同时注意象限，则用描述法可表示为{(x，y)| 1≤x≤，≤y≤1且xy≥0}.（2）．（2021·上海高一专题练习）用列举法表示下列集合：（1）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；（2）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；（3）由所有正整数构成的集合．【答案】（1）{0，2}；（2）{(0，1)}；（3）{1，2，3，…}.【分析】（1）解方程x2＝2x，用列举法表示集合即可；（2）将x＝0代入y＝2x＋1，即可得出交点，根据点集的定义得出结果；（3）用列举法依次写出即可.【详解】（1）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．（2）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．（3）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．【变式训练3-1】、（2020·运城市景胜中学高一开学考试）根据要求写出下列集合.（1）已知，用列举法表示集合.（2）已知集合，用列举法表示集合A．（3）已知方程组，分别用描述法、列举法表示该集合.（4）已知集合B={(x，y)|2x+y-5=0，x∈N，y∈N}，用列举法表示该集合.（5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.【答案】（1）{2}；（2）{2，4，8，16}；（3）{(x，y)|x=1，y=2}，{(1，2)}；（4）{(0，5)，(1，3)，(2，1)}；（5）{(x，y)|xy=0}.【分析】分别求出各集合的元素或元素特点，即可表示出.【详解】（1），，解得，的解为，用列举法表示集合为；（2），则可取的值有1，2，4，8，16，的可能值有7，6，4，0，，，，，；（3）方程组的解为，用描述法表示该集合为，列举法表示该集合为；（4）当时，；当时，；当时，，用列举法表示该集合为；（5）坐标轴上的点满足或，即，则该集合可表示为.【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.【变式训练3-2】、（2020·利辛县阚疃金石中学高一期中）把集合用列举法表示出来_______________.【答案】【分析】根据x为自然数及x的范围，即可列出x的所有取值，即可得答案.【详解】因为且，所以x的所有取值为4,5,6，故答案为：【变式训练3-3】、（2021·全国高一专题练习）已知集合，用列举法表示集合，则__________.【答案】【分析】根据集合的描述法即可求解.【详解】,故答案为：【变式训练3-4】、（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【分析】（1）集合有无限个元素，利用描述法求解；（2）集合中元素较少，利用列举法求解；（3）集合有无限个元素，利用描述法求解；（4）集合中元素较少，利用列举法求解；【详解】（1）用描述法表示为{x|2且a≠0；（3）a≥.【分析】（1）分a=0和a≠0两种情况讨论即可，（2）由A中有两个元素可知方程为二次方程，且判别式大于零，从而可求出的范围，（3）A中至少有一个元素包括（1）、（2）的情况，所以的范围是（1）（2）所求的的范围的并集【详解】解:（1）①当a=0时，方程3x4=0的根为x=. 故A={}.②当a≠0时，由Δ=(3)24a·(4)=0，得a=，此时方程的两个相等的根为x1=x2=.综上，当a=0时，集合A中的元素为；当a= 时，集合A中的元素为.（2）集合A中有两个元素，即方程ax23x4=0有两个不相等的实根.所以解得a>且a≠0.（3）集合A中有一个元素或两个元素.当集合A中有两个元素时，由（2）得a>且a≠0；当集合A中有一个元素时，由（1）得a=0或a=.综上，当A中至少有一个元素时，a满足的条件是a≥.【变式训练5-2】、（2021·全国高一专题练习）已知集合．（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定的取值范围.【详解】解：（1）若中只有一个元素，则当时，原方程变为，此时符合题意，当时，方程为二元一次方程，，即，故当或时，原方程只有一个解；（2）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，由得综合（1）当时中至少有一个元素；（3）中至多有一个元素，即中有一个或没有元素当，即时原方程无实数解，结合（1）知当或时中至多有一个元素.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系. 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR