2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章　第4讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为

(1)定点：如下表所示．

(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．

(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．

3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤

1.概念辨析

(1)将函数y＝3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)

(2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)

(3)将函数y＝2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝2sin的图象．(　　)

(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.小题热身

(1)函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A.2，，  B．2，，

C.2，，  D．2，，－

答案　A

解析　函数y＝2sin的振幅是2，周期T＝＝π，频率f＝＝，初相是，故选A.

(2)用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________，________，__________，________，________.

答案　　　　　

解析　列表：

五个点依次是，，，，.

(3)将函数f(x)＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则g＝________.

答案　

解析　函数f(x)＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后得函数y＝－cos2＝－cos，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)＝－cos，所以g＝－cos＝sin＝.

(4)(2019·长春模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．

答案　f(x)＝sin

解析　由图象可知A＝，＝－＝，所以＝π，ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又f＝－，所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin.

题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

1.(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)

A.－2  B．－ 

C.  D．2

答案　C

解析　因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.

由题意得g(x)＝Asin，且g(x)的最小正周期为2π，

所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，

所以g＝Asin＝A＝，所以A＝2.

所以f(x)＝2sin2x，所以f＝.故选C.

2.要得到函数y＝sin的图象，需要将函数y＝cos的图象(　　)

A.向左平移个单位长度  B．向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度  D．向右平移个单位长度

答案　A

解析　因为y＝cos＝sin

＝sin，

y＝sin＝sin，

所以需要将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度.

3.已知函数y＝cos.

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；

(3)说明y＝cos的图象可由y＝cosx的图象经过怎样的变换而得到．

解　(1)函数y＝cos的振幅为1，周期T＝＝π，初相是－.

(2)列表：

描点，连线．

(3)解法一：把y＝cosx的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象；

再把y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象．

解法二：将y＝cosx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos2x的图象；

再将y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象.

1.五点法作图

用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．如举例说明3.

2.掌握三角函数的图象变换的两种方法

(1)平移变换

(2)伸缩变换

3.注意三角函数图象变换中的三个问题

(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．如举例说明2；

(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；

(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asinx到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．如举例说明2.

1.(2019·广州模拟)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)

A.sin  B．sin

C.sin  D．sin

答案　B

解析　由题意知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得到函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin.

2.(2019·青岛模拟)将函数f(x)＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为(　　)

A.x＝－  B．x＝

C.x＝  D．x＝

答案　A

解析　当函数f(x)＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f1(x)＝2sin，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)可以表示为g(x)＝2sin＝2sin.

则函数g(x)的图象的对称轴方程可表示为4x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z.则g(x)的图象离原点最近的对称轴方程，即g(x)的图象离y轴最近的对称轴方程为x＝－.

题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

1．(2020·郑州市第一中学高三摸底考试)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则函数f(x)的对称中心可以为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　由图可知A＝＝2，b＝＝1，

T＝2×＝π，

所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，

因为点在函数f(x)的图象上．

所以3＝2sin＋1，即sin＝1.

所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，

又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝2sin＋1，

令2x＋＝kπ(k∈Z)，

得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－.

所以函数f(x)的对称中心可以为.

2.(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且函数f(x)的图象过点P，则函数f(x)＝(　　)

A.sin  B．sin

C.sin  D．sin

答案　A

解析　由题意得 ＝2，解得ω＝，所以函数f(x)＝sin，又因为函数f(x)的图象过点P，所以sin(π＋φ)＝－，即－sinφ＝－，sinφ＝，又因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.如举例说明1；

(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝.如举例说明1；

(3)求φ的常用方法

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．如举例说明1.

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

1．(2019·四川绵阳诊断)如图是函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象，则f(3x0)＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

答案　D

解析　∵f(x)＝cos(πx＋φ)的图象过点，

∴＝cosφ，结合0<φ<，可得φ＝.∴由图象可得cos＝，πx0＋＝2π－，解得x0＝.

∴f(3x0)＝f(5)＝cos＝－.

2.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f等于________．

答案　

解析　观察图象可知＝－，所以＝，ω＝2，所以f(x)＝Atan(2x＋φ)．

又因为函数图象过点，

所以0＝Atan，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，

所以φ＝kπ－(k∈Z)．又因为|φ|<，

所以φ＝.又图象过点(0,1)，

所以A＝1.综上知，f(x)＝tan，

故f＝tan＝.

题型三　三角函数图象性质的应用　

角度1　三角函数模型的应用

1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A.5  B．6

C．8  D．10

答案　C

解析　由图象可知，ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8.

角度2　函数零点(方程根)问题

2.(2019·哈尔滨六中模拟)设函数f(x)＝sin，x∈，若方程f(x)＝a恰好有三个根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由题意x∈，则2x＋∈，画出函数的大致图象，如图所示，

由图得，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，由2x＋＝得x＝，由2x＋＝得x＝，

由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x＝对称，点(x2,0)与点(x3,0)关于直线x＝对称，∴x1＋x2＝，π≤x3<，则≤x1＋x2＋x3<，即x1＋x2＋x3的取值范围是，故选B.

角度3　三角函数图象性质的综合

3.(2019·泉州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与函数y＝f(x)的图象交于M，N两点，且点M在y轴上，则下列说法中正确的是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期是2π

B.函数f(x)的图象关于点成中心对称

C.函数f(x)在上单调递增

D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后图象关于原点成中心对称

答案　B

解析　设圆心C(a,0)，由函数y＝f(x)的图象可知M，N两点关于点C对称，所以＝a，即a＝，由图象可得＝－，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，故A错误；函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心之间的差为＝的整数倍，由题图知点是函数f(x)的图象的一个对称中心．由－＝知，B正确；因为函数f(x)的周期为π，所以f(x)在的单调性与在的单调性相同．由题图可知，函数f(x)在上先减后增，故C错误；由题图可知，函数f(x)的图象向右平移＋·k(k∈N)个单位长度后图象关于原点成中心对称，故D错误.

(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面

①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．如举例说明1；

②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．

(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路

①把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)；

②画出一个周期上的函数图象；

③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．如举例说明2.

(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题．

1．(2019·玉溪模拟)函数f(x)＝log4x的图象与函数g(x)＝sinπx的图象的交点个数是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

答案　B

解析　如图，在同一坐标系中画出函数f(x)＝log4x，函数g(x)＝sinπx的图象，当x>4时，f(x)>1，与g(x)≤1不再有交点，结合图象可知，交点个数为3.

2．一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　)

A．h(t)＝－8sint＋10

B．h(t)＝－cost＋10

C．h(t)＝－8sint＋8

D．h(t)＝－8cost＋10

答案　D

解析　设h(t)＝Acosωt＋B，因为12 min旋转一周，

所以＝12，所以ω＝，

由于最大值与最小值分别为18,2.

所以解得A＝－8，B＝10.

所以h(t)＝－8cost＋10.

3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图，则(　　)

A．函数f(x)的对称轴方程为x＝4kπ＋(k∈Z)

B．函数f(x)的递减区间为(k∈Z)

C．函数f(x)的递增区间为[8k＋1,8k＋5](k∈Z)

D．f(x)≥1的解集为(k∈Z)

答案　D

解析　由题图知，A＝2，函数f(x)的最小正周期T＝4×(3－1)＝8，故ω＝＝，所以f(x)＝2sin，因为点(1,2)在图象上，所以2sin＝2，因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝2sin，由x＋＝kπ＋(k∈Z)得x＝4k＋1(k∈Z)，即函数f(x)的对称轴方程为x＝4k＋1(k∈Z)，所以A错误；由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得8k＋1≤x≤8k＋5(k∈Z)，即函数f(x)的单调减区间为[8k＋1,8k＋5](k∈Z)，所以B，C错误；由2sin≥1，得sin≥，所以2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得8k－≤x≤8k＋(k∈Z)，即不等式f(x)≥1的解集为(k∈Z)，故选D.

　组　基础关

1．(2019·绵阳模拟)将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)

A．g(x)＝cos2x  B．g(x)＝－cos2x

C．g(x)＝sin2x  D．g(x)＝sin

答案　A

解析　将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．即g(x)＝sin＝cos2x.

2.若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω等于(　　)

A．5  B．4

C．3  D．2

答案　B

解析　由图象可知，函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期T＝2＝，所以＝，所以ω＝4.

3．(2019·山西五校联考)设k∈R，则函数f(x)＝sin＋k的部分图象不可能为(　　)

答案　D

解析　当k＝0时，f(x)＝sin＝，其图象为A；当k＝2时，f(x)＝sin＋2，其图象为B；当k＝－1时，f(x)＝sin－1，其图象为C；由D的图象可知f(x)max＝2，则2＝1＋k⇒k＝1.此时，f(x)＝sin＋1的图象关于直线x＝对称，这与图象不符，故选D.

4．(2020·广东汕头摸底)若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.取k＝0，得|φ|的最小值为.

5．(2019·枣庄二模)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数y＝g(x)的说法错误的是(　　)

A．最小正周期为π

B．图象关于直线x＝对称

C．图象关于点对称

D．初相为

答案　C

解析　易求得g(x)＝2sin，其最小正周期为π，初相为，即A，D正确；而g＝2sin＝2，故函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，即B正确，C错误，故选C.

6．(2020·湖北襄阳摸底)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由题意知g(x)＝sin(2x＋θ－2φ)，由f(0)＝sinθ＝，－<θ<，知θ＝.由g(0)＝sin(θ－2φ)＝sin＝，得－2φ＝＋2kπ(k∈Z)或－2φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－－kπ(k∈Z)，当k＝－1时，φ＝.故选B.

7．(2019·湖南省长郡中学模拟)函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象如图所示，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则(　　)

A．f(x)在上是减函数

B．f(x)在上是减函数

C．f(x)在上是增函数

D．f(x)在上是增函数

答案　C

解析　由题图可知A＝2，b－a＝＝.因为f(x1)＝f(x2)，所以sin＝1.所以2·＋φ＝，所以x1＋x2＝－φ.又f(x1＋x2)＝，所以sin[2(x1＋x2)＋φ]＝，所以π－2φ＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或π－2φ＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为|φ|≤，所以φ＝.所以f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)在上是增函数．

8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f的值是________．

答案　－

解析　由题中图象可知A＝，＝－＝，

即T＝π，又知T＝，∴ω＝2，

即函数f(x)＝sin(2x＋φ)．

由题意知f＝－，即sin＝－，

∴sin＝－1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，

∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．

∴f(x)＝sin＝sin.

∴f＝sin＝－.

9．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．

若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asinωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为________ m.

答案　4

解析　从题表可以看出最大值和最小值分别为7,3，周期为T＝12，即且ω＝＝，解得

所以y＝2sint＋5，所以当t＝11时，y＝2sin＋5＝5－1＝4.

10．已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是________．

答案　[2,3)

解析　2sin＋1－a＝0化为sin＝，令t＝x＋，由x∈得，t＝x＋∈，画出函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝，当≤<1，即2≤a<3时，函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝有两个公共点，原方程有两个根．

　组　能力关

1．(2019·石嘴山模拟)将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)为偶函数，则函数y＝f(x)在的值域为(　　)

A．[－1,2]  B．[－1,1]

C．[，2]  D．[－，]

答案　A

解析　由已知得g(x)＝f＝2sin＝2sin，因为函数y＝g(x)为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，由x∈得，2x＋∈，所以－≤sin≤1.所以函数y＝f(x)在的值域为[－1,2]．

2．若函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式以及S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)的值分别为(　　)

A．f(x)＝sin＋1，S＝2020

B．f(x)＝cos＋1，S＝2020

C．f(x)＝sin＋1，S＝2020.5

D．f(x)＝cos＋1，S＝2020.5

答案　A

解析　根据已知图象，设f(x)＝Asinωx＋1(ω>0，A>0)，由T＝4，得＝4，所以ω＝.

因为A＝＝＝，所以f(x)＝sin＋1.又函数f(x)的周期为4，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4，所以S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝505×4＝2020.

3．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述正确的是________．

①R＝6，ω＝，φ＝－；

②当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；

③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；

④当t＝20时，|PA|＝6.

答案　①②④

解析　由点A(3，－3)，可得R＝6，

由旋转一周用时60秒，可得T＝＝60，则ω＝，由点A(3，－3)，可得∠AOx＝，则φ＝－，故①正确；

由①知，f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，即当t－＝时，点P的坐标为(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；

当t∈[10,25]时，t－∈，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；

当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝，所以|PA|＝6，故④正确．

4．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．

(1)求ω的值，并求出函数f(x)的增区间；

(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．

解　(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，

所以－＋＝kπ(k∈Z)，所以ω＝－3k＋(k∈Z)，

因为0<ω<1，所以当k＝0时，可得ω＝.

所以f(x)＝2sin.

令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的增区间为(k∈Z)．

(2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]．

列表如下：

作出函数的部分图象如图所示：

　组　素养关

1．已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．

解　(1)f(x)＝cos＋2sinsin＝cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin＝cos2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cosx的图象．

作函数g(x)＝cosx在区间上的图象，及直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是.

2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，求实数m的取值范围．

解　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，∴Asinφ－＝1，即Asinφ＝.

∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称，

∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<，∴φ＝，

∴A·sin＝，∴A＝，

∴f(x)＝sin－.

当x∈时，2x＋∈，

∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－－＝－2.

令m2－3m≥－2，解得m≥2或m≤1.