2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章　第7讲　函数的图象

第7讲　函数的图象

1.利用描点法作函数图象的流程

2．变换法作图

(1)平移变换

提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝－f(x)；

②y＝f(x)y＝f(－x)；

③y＝f(x)y＝－f(－x)；

④y＝ax(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．

(3)翻折变换

①y＝f(x)y＝|f(x)|；

②y＝f(x)y＝f(|x|)．

(4)伸缩变换

①y＝

y＝f(ax)；

②y＝f(x)y＝af(x)．

1.概念辨析

(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(x)与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)

(2)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　)

(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(π＋x)＋f(π－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(π，0)中心对称．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

2.小题热身

(1)设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)

答案　C

解析　因为(x－a)2≥0，所以当x＞b时，y＞0，当x＜b时，y≤0，对照四个选项，C中的图象符合题意．

(2)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到(　　)

A.函数y＝f(－x－1)的图象

B.函数y＝f(－x＋1)的图象

C.函数y＝f(－x)－1的图象

D.函数y＝f(－x)＋1的图象

答案　B

解析　函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(－(x－1))，即y＝f(－x＋1)的图象．

(3)把函数y＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________．

答案　y＝ln

解析　函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是f＝ln ，即y＝ln .

(4)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．

答案　(－1,1]

解析　作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：

其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，由图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.

题型 一　函数图象的画法　

作出下列函数的图象：

(1)y＝；(2)y＝|x＋1|；

(3)y＝|log2x－1|；(4)y＝x2－2|x|－1.

解　(1)易知函数的定义域为{x|x≠－1，x∈R}．

y＝＝－1＋，因此由函数y＝的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝的图象，如图1所示．

(2)先作出y＝x，x∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y＝|x＋1|的图象，如图2所示．

(3)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y＝|log2x－1|的图象，如图3所示．

(4)y＝的图象如图4所示．

条件探究　将本例(4)改为y＝|x2－2x－1|，其图象怎样画？

解　y＝画图如图所示.

函数图象的画法

(1)直接法：当函数的表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．如举例说明(4)．

(3)图象变换法：若函数的图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．如举例说明(1)、(2)、(3)．

作出下列函数的图象：

(1)y＝＋1；

(2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]；

(3)y＝10|lg x|.

解　(1)函数图象如图1所示．

(2)函数图象如图2所示．

(3)y＝10|lg x|＝其图象如图3所示.

题型 二　函数图象的辨识

1.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

答案　D

解析　∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.又f＝＝>1，f(π)＝>0，排除B，C.故选D.

2.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)

答案　B

解析　解法一：由y＝f(x)的图象知，

f(x)＝

当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，

所以f(2－x)＝

故y＝－f(2－x)＝

图象应为B.

解法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；

当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.

观察各选项，可知应选B.

函数图象辨识的策略

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性，如举例说明1.

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象，如举例说明1.

1.函数f(x)＝sin(πx)e－的图象可能是(　　)

答案　A

解析　由f＝e－＞0，排除D；由f(－x)＝－f(x)，可知f(x)是奇函数，可排除C；由f＝sine－＝－e－＞－e0＝－1.可排除B.故选A.

2．如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于点E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为(　　)

答案　D

解析　直线l在AD圆弧段时，面积y的变化率逐渐增大，l在DC段时，y随x的变化率不变；l在CB段时，y随x的变化率逐渐变小，故选D.

题型 三　函数图象的应用　

角度1　研究函数的性质

1.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则下列说法：

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；

④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.

其中所有正确说法的序号是________．

答案　①②④

解析　由已知条件，得f(x＋2)＝f(x)，

故y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；

当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，

f(x)＝f(－x)＝1＋x，

函数y＝f(x)的图象如图所示，

当3<x<4时，－1<x－4<0，

f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确，③不正确.

角度2　解不等式

2.(2019·昆明检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是(　　)

A.(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B.[－4，－2]∪[0，＋∞)

C.(－∞，－4]∪[－2，＋∞)

D.(－∞，－4]∪[0，＋∞)

答案　C

解析　依题意，画出函数g(x)的大致图象如图，则xg(x)≤0⇔或由图可得xg(x)≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．

3.不等式3sinx－logx<0的整数解的个数为(　　)

A.2  B．3 

C．4  D．5

答案　A

解析　不等式3sinx－logx<0可化为3sinx<logx，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象如下图所示：

结合图象可知，3sinx<logx的整数解为3和7，共2个.

角度3　求取值范围

4.设函数f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是(　　)

A.(16,32)  B．(18,34)

C.(17,35)  D．(6,7)

答案　B

解析　画出函数f(x)的图象如图所示．

不妨令a＜b＜c，则1－2a＝2b－1，

则2a＋2b＝2.

结合图象可得4＜c＜5，故16＜2c＜32.

所以18＜2a＋2b＋2c＜34.故选B.

5.若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，求a的取值范围．

解　不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.

令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，

当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；

当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示，

当x≥2时，f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，

解得a≤，所以a的取值范围是.

1.利用图象研究函数性质问题的思路

对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究：

2.利用函数的图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．如举例说明3.

3.利用函数图象解答求取值范围问题

(1)借助函数图象．由参数满足的等量关系分析出参数满足的其他等量关系或不等关系，如举例说明4.

(2)解不等式恒成立问题，通常在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解．如举例说明5.

1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)

答案　C

解析　函数f(x)＝x|x|－2x的定义域是R，且f(－x)＝－x|－x|－2(－x)＝－x|x|＋2x＝－f(x)，

所以函数f(x)是奇函数，

f(x)＝x|x|－2x

＝

如图所示．

函数f(x)的单调递减区间是(－1,1)．

2．若a＝2x，b＝，c＝logx，则“a>b>c”是“x>1”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由图可知，“x>1”⇒“a>b>c”，但“a>b>c”  “x>1”，即“a>b>c”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.

3．(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(1，)  D．(1,2)

答案　C

解析　依题意，f(x)＝|x2－1|，作出f(x)的图象如图所示．

因为0＜a＜b且f(a)＝f(b)，设直线y＝1与函数f(x)图象的最右边的交点是A，函数f(x)图象与x轴正半轴的交点是B，所以要使得在(0，＋∞)上存在两个数a，b，使得它们的函数值f(a)＝f(b)，则a∈(0，xA)，b∈(0，xA)，又b＞a，所以b∈(xB，xA)，易得xB＝1，当y＝1时，|x2－1|＝1，x＝±.所以xA＝，b∈(1，)．

对应学生用书P034

考点分析　高考中函数图象问题的考查主要有函数图象的识别、变换及应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，所以熟练掌握高中所学的几种基本初等函数的图象是解决问题的前提．

1．特殊点法

[典例1]　函数y＝lg 的大致图象为(　　)

答案　D

解析　函数y＝lg 的定义域为{x|x≠－1}，由此排除A，C.当x＝9时，y＝lg ＝－1＜0，由此排除B.故选D.

2．性质检验法

[典例2]　(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　　)

答案　B

解析　∵y＝f(x)＝，x∈[－6,6]，

∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数，排除C.

当x＝4时，y＝＝∈(7,8)，排除A，D.故选B.

3．导数法

[典例3]　若函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝x＋sinx

B．f(x)＝

C．f(x)＝xcosx

D．f(x)＝x··

答案　C

解析　由图象知函数为奇函数，排除D；又f＝0，排除A；又当0<x<时，′＝＜0，所以f(x)在上为减函数，排除B.故选C.

4．图象变换法

[典例4]　函数f(x)＝则y＝f(1－x)的图象是(　　)

答案　C

解析　因为f(x)＝

所以f(1－x)＝

＝故选C.

方法指导　1.用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．

2．已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．

3．判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．

4．有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．

　组　基础关

1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是(　　)

答案　A

解析　由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是匀速增长，所以只有A满足．故选A.

2．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝ex＋1  B．f(x)＝ex－1

C．f(x)＝e－x＋1  D．f(x)＝e－x－1

答案　D

解析　与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是函数y＝e－x的图象，此函数图象向左平移1个单位得到函数f(x)的图象，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

3．(2019·郑州模拟)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)＝的图象大致是(　　)

答案　D

解析　由f(－x)＝＝，易得f(x)为非奇非偶函数，排除A，B.当x→＋∞时，f(x)＝→0，排除C，故选D.

4．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是(　　)

A．(－1,0)  B．[－1,0)

C．(－2,0)  D．[－2,0)

答案　A

解析　由对数函数y＝log2(－x)，得－x>0，即x<0，根据y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象，且log2(－x)<x＋1，得x>－1，则满足条件的x∈(－1,0)．

5．函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)

A．f(x)＝x2(x2－π2)

B．f(x)＝xcosx＋π

C．f(x)＝xsinx

D．f(x)＝x2＋cosx－1

答案　C

解析　当x∈(0，π)时，f(x)＞0，排除A；由图知f(x)是偶函数，而f(x)＝xcosx＋π是非奇非偶函数，排除B；又f(π)＝0，而D中f(π)＞0，排除D.故选C.

6．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)

A．－  B．－ 

C．－1  D．－2

答案　C

解析　由函数f(x)的图象可知解得a＝2，b＝5，所以f(x)＝所以f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.

7．若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是(　　)

A．x＝1  B．x＝－1 

C．x＝2  D．x＝－2

答案　A

解析　因为y＝f(2x＋1)＝f，所以将函数y＝f(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可以得到函数y＝f(2x)的图象，将函数y＝f(2x)的图象向左平移个单位，可以得到y＝f(2x＋1)＝f的图象．因为函数y＝f(2x＋1)是偶函数，所以函数y＝f(2x＋1)的图象的对称轴方程为x＝0.所以函数y＝f(2x)的图象的对称轴方程为x＝，函数y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝1.故选A.

8．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(　　)

A．4  B．5 

C．6  D．7

答案　C

解析　y＝10－x是减函数，y＝x＋2是增函数，y＝2x是增函数，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝10－x，y＝x＋2，y＝2x的图象，如图1.

y＝x＋2与y＝2x的交点是A，B，y＝x＋2与y＝10－x的交点为C(4,6)，则函数f(x)的图象如图2，C为最高点，所以f(x)的最大值为6.

9．函数f(x)＝的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________.

答案　2

解析　因为f(x)＝＝1＋，所以f(x)的图象关于点(0,1)对称．

因为直线y＝kx＋1的图象过点(0,1)，所以两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以＝1，所以y1＋y2＝2.

10．若直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．

答案　

解析　y＝x2－|x|＋a

＝

作出函数图象如图所示．

此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－<1<a，所以1<a<.

　组　能力关

1．(2019·南昌模拟)已知函数f(x)＝－ln (1－x)，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，则g(3)＝(　　)

A．－ln 2  B．ln 2 

C．0  D．－ln 3

答案　A

解析　因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(3)＝f(－1)＝－ln [1－(－1)]＝－ln 2.

2．(2020·福州模拟)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列五个结论：

①f(5)＝0；

②f(x)在[1,2]上是减函数；

③函数f(x)没有最小值；

④函数f(x)在x＝0处取得最大值；

⑤f(x)的图象关于直线x＝1对称．

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①②③  B．①②④ 

C．①③⑤  D．③④⑤

答案　B

解析　因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数．由题意知，函数y＝f(x)(x∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．

3．函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________．

答案　∪

解析　当x∈时，y＝cosx>0，

当x∈时，y＝cosx<0.

结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，

当1<x<时，<0.

又函数y＝为偶函数，

所以在[－4,0]上，<0的解集为，

所以不等式<0的解集为∪.

4．已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是________．

答案　

解析　由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象至少有3个公共点．函数y＝f(x)，x∈[0,6]的图象如图所示，由图知k的取值范围是.