2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章　第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换

第2课时　简单的三角恒等变换

　　　　　　三角函数式的化简(师生共研)

化简：(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝        ；

(2)·＝        ．

【解析】　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)

＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)

＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．

(2)原式＝·

＝·

＝·＝.

【答案】　(1)sin(α＋γ)　(2)

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(2)三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

1．(2020·长沙模拟)化简：＝        ．

解析：＝＝

＝4sin α.

答案：4sin α

2．化简：.

解：原式＝

＝

＝

＝cos 2x.

　　　　　　三角函数式的求值(多维探究)

角度一　给角求值

计算＝        ．

【解析】　

＝

＝＝

＝＝2.

【答案】　2

角度二　给值求值

已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

【解】　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.

因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝，

因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，

因此tan(α＋β)＝－2.

因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.

角度三　给值求角

(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为        ．

【解析】　法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.

又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.

因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，

所以sin(2α－β)＝×－×＝.

因为α为锐角，所以0＜2α＜π.

又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，

又β为锐角，所以－＜2α－β＜，

又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.

法二：同法一得，cos β＝，sin α＝.

因为α，β为锐角，所以α－β∈.

所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.

所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，

故cos(α－β)＝＝＝.

又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．

所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝×－×＝.

所以2α－β＝.

【答案】　

三角函数求值的3种情况

1．计算：＝(　　)

A.　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.

2．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝(　　)

A．－   B.

C．－  D．

解析：选D.tan＝＝，所以tan α＝－，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝，故选D.

3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos(α＋β)＝        ，α＋β＝        ．

解析：因为α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos  β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝，α＋β＝.

答案：　

[基础题组练]

1．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.  D．

解析：选A.cos2＝

＝＝，又sin 2α＝，

所以原式＝＝，故选A.

2.＝(　　)

A.   B.

C.  D．1

解析：选A.＝

＝＝＝.

3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)

A．－   B.

C.  D．

解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.

4．已知cos＝－，则sin－cos α＝(　　)

A．±  B．－

C.  D．±

解析：选D.sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝sin，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cos α＝±，故选D.

5．若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)

A.   B.

C．－  D．－

解析：选C.由题意知＝sin 2θ，

所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，

则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，

因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍)．

6．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝        ．

解析：法一：因为cos 2θ＝，

所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，

因为cos2θ＝，sin2θ＝，

所以sin4θ＋cos4θ＝.

法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ

＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.

答案：

7．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝        ．

解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.所以tan 2α＝＝.

答案：

8．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于        ．

解析：tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)

＝·cos 10°

＝·

＝＝＝－1.

答案：－1

9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．

解：由cos β＝，β∈，

得sin β＝，tan β＝2.

所以tan(α＋β)＝

＝＝1.

因为α∈，β∈，

所以<α＋β<，

所以α＋β＝.

10．已知sin＝，α∈.求：

(1)cos α的值；

(2)sin的值．

解：(1)sin＝，

即sin αcos＋cos αsin＝，

化简得sin α＋cos α＝，①

又sin2α＋cos2α＝1，②

由①②解得cos α＝－或cos α＝，

因为α∈.所以cos α＝－.

(2)因为α∈，cos α＝－，

所以sin α＝，

则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，

所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－.

[综合题组练]

1．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝        ．

解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.

答案：

2．(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是        ．

解析：＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝.

答案：

3．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？

解：连接OB，设∠AOB＝θ，

则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.

因为A，D关于原点O对称，

所以AD＝2OA＝40cos θ.

设矩形ABCD的面积为S，则

S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ

＝400sin 2θ.因为θ∈，

所以当sin 2θ＝1，

即θ＝时，Smax＝400(m2)．

此时AO＝DO＝10(m)．

故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

4．(综合型)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.

(1)求A的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．

解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.

(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，

得sin α＝，又α∈，

所以cos α＝.

由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，

得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝－.