2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二章第七节对数与对数函数

第七节对数与对数函数

1．对数
概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式．其中常用对数：log10N⇔lg N；自然对数：logeN⇔ln N
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN❶
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
运算

loga(M·N)＝logaM＋logaN
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)
2．对数函数的图象与性质
函数
y＝logax(a＞0，且a≠1)

a＞1
0＜a＜1


图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
性质

定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变
化规律
当x＝1时，y＝0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0

谨记运算法则有关口诀
积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.
①对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．
②在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．
③函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称.
[熟记常用结论]
1．换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)
(2)log2x2＝2log2x.(　　)
(3)当x＞1时，logax＞0.(　　)
(4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
二、选填题
1．函数y＝lg|x|(　　)
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
解析：选B　y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
2．已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

解析：选B　函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.
3．函数y＝的定义域为______．
解析：要使函数有意义，须满足
解得＜x≤1.
答案：
4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．
答案：(2,2)
5．计算：log23·log34＋()log34＝________.
解析：log23·log34＋()＝·＋3＝2＋3log32＝2＋2＝4.
答案：4


[题组练透]
1．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________．
解析：由已知得a2m＋n＝a2loga2＋loga3＝aloga4＋loga3＝aloga12＝12.
答案：12
2．已知log189＝a,18b＝5，则log3645＝________(用关于a，b的式子表示)．
解析：因为18b＝5，所以log185＝b，又log189＝a，于是log3645＝＝＝＝.
答案：
3．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2)；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5
＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝
＝＝－.
(3)原式＝log32·log43＋log32·log83＋log92·log43＋log92·log83
＝·＋·＋·＋·
＝＋＋＋＝.
[名师微点]
对数运算的一般思路
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
(2)将同底对数的和、差、倍合并；
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.

[典例精析]
[例1]　(2019·合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　)

[解析]　令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．
[答案]　A
[例2]　当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C．(1，) D．(，2)
[解析]　易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，
解得a＞，∴＜a＜1，故选B.
[答案]　B
　　
1．(变条件)将例2中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，a的取值范围为__________．
解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．
由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.
答案：
2．(变条件)若例2变为：已知不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为__________．
解析：由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．
当a＞1时，显然不成立；

当0＜a＜1时，如图所示，
要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，
所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1.
即实数a的取值范围是.
答案：
3．(变条件)若例2变为：当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________．
解析：若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，
由图象知 ＜loga，
所以解得＜a＜1.
即实数a的取值范围是.
答案：
[解题技法]
(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

[过关训练]
1．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

解析：选B　若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象大致如图所示．故选B.
2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2＜0 B．x1x2＝0
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
解析：选D　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．

显然x1＜0，x2＜0.
不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，
所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，
此时10x1＜10x2，
即lg(－x1)＜－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)＜0，
所以0＜x1x2＜1，故选D.

[考法全析]
考法(一)　比较对数值的大小
[例1]　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c　　　　　　　 B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
[解析]　因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.
[答案]　A
考法(二)　解简单的对数不等式
[例2]　设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[解析]　由题意得
或
解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.
[答案]　C
考法(三)　对数函数的综合应用
[例3]　若函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.
二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f(x)＝log (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需
解得≤m＜2.
[答案]　C

[规律探求]
看个性
考法(一)是利用对数函数的单调性比较对数值的大小．常有以下题型及求法：

考法(二)是直接考查对数函数的单调性，解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值．
考法(三)考查与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问题有以下三个步骤：
(1)求出函数的定义域；
(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
找共性
无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性，变换不同的角度来应用．考法(一)与考法(二)是对数函数单调性的直接应用，利用单调性来比较大小、解不等式；考法(三)是对数函数单调性的迁移应用，根据单调性来求参数的范围，所以弄清对数函数的单调性是解题的关键，并注意有时需对底数字母参数进行讨论

[过关训练]
1．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解析：选A　∵a＞0，∴2a＞1，∴loga＞1，∴0＜a＜.
∵b＞0，∴0＜b＜1，∴0＜logb＜1，∴＜b＜1.
∵c＞0，∴c＞0，∴log2c＞0，∴c＞1.
∴0＜a＜＜b＜1＜c，故选A.
2．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
解析：选B　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，
∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
3．若函数f(x)＝loga(x2－2x＋a)(a＞0，且a≠1)有最小值，则实数a的值等于________．
解析：令g(x)＝x2－2x＋a，则f(x)＝loga[g(x)]．
①若a＞1，由于函数f(x)有最小值，
则g(x)应有最小值 ，
而g(x)＝x2－2x＋a＝(x－)2＋a－6，
当x＝时，取最小值a－6，
因此有解得a＝9.
②若0＜a＜1，由于函数f(x)有最小值，
则g(x)应有最大值，
而g(x)不存在最大值，不符合题意．综上，实数a＝9.
答案：9
4．(2019·西安模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当a＞1时，f(x)＞1等价于8－ax＞a在[1,2]上恒成立．
即a＜min＝，∴1＜a＜.
当0＜a＜1时，f(x)＞1等价于0＜8－ax＜a在[1,2]上恒成立，即a＞max且a＜min.
解得a＞4且a＜4，故不存在．
综上可知，a的取值范围为.
答案：

一、题点全面练
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x　　　　　　　　　 B.
C．logx D．2x－2
解析：选A　由题意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，
∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.
∴f(x)＝log2x.
2．如果logx＜logy＜0，那么(　　)
A．y＜x＜1 B．x＜y＜1
C．1＜x＜y D．1＜y＜x
解析：选D　∵logx＜logy＜log1，∴x＞y＞1.
3．(2019·新乡一模)若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．b＞c＞a
解析：选D　由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，故a＝32＝9；由log3(log4b)＝1，可得log4b＝3，故b＝43＝64；由log4(log2c)＝1，可得log2c＝4，故c＝24＝16.∴b＞c＞a.故选D.
4．(2019·郑州模拟)设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＜a＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．a＜b＜c
解析：选B　a＝log50.5＞log50.2＝－1，b＝log20.3＜log20.5＝－1，c＝log0.32＞log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴＜，即c＜a，故b＜c＜a.故选B.
5．(2019·长春模拟)已知对数函数f(x)＝logax是增函数，则函数f(|x|＋1)的图象大致是(　　)

解析：选B　由函数f(x)＝logax是增函数知，a＞1.f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)＝由对数函数图象知选B.
6．(2018·肇庆二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则(　　)
A．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是增函数
B．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数
C．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是减函数
D．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是减函数
解析：选D　由得x∈(－10,10)，故函数f(x)的定义域为(－10,10)，关于原点对称．由于f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0,10)上递减，y＝lg x在(0,10)上递增，故函数f(x)在(0,10)上递减．
7．(2018·郑州月考)已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________．
解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.
又A＞0，故A＝＝7.
答案：7
8．已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.
解析：因为f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.
答案：9
9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1＜f(1)＜1，求实数a的取值范围．
解：(1)当x＜0时，－x＞0，
由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴当x＜0时，f(x)＝loga(－x＋1)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜loga2＜1，
∴loga＜loga2＜logaa.
①当a＞1时，原不等式等价于解得a＞2；
②当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得0＜a＜.
综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a＞0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax＞0恒成立．
∴3－2a＞0，∴a＜.
又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a＜，
∴实数a的取值范围为(0,1)∪.
(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，
∴y＝logat在[1,2]上为增函数，∴a＞1，
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，其图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则即解得1≤a＜2，即a∈[1,2)，故选A.
2．(2019·湛江模拟)已知loga＜1，那么a的取值范围是________．
解析：∵loga＜1＝logaa，故当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，0＜a＜；当a＞1时，y＝logax为增函数，a＞，∴a＞1.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
3．函数f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间为________．
解析：设t＝x2－4，因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与指数函数、幂函数的交汇]已知x1＝log2，x2＝2，x3满足x3＝log3x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2



解析：选A　由题意可知x3是函数y＝x与y＝log3x的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y＝x与y＝log3x的图象，如图所示，由图象可知x3＞1，而x1＝log2＜0,0＜x2＝2＜1，所以x3＞x2＞x1.故选A.
5．[与数列的交汇]已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
解析：∵log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，
∴log2an＋1－log2an＝1，即log2＝1，∴＝2.
∴数列{an}是公比q＝2的等比数列，
则a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋a3＋…＋a10)q100＝2100，
∴log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.
答案：100
(三)素养专练——学会更学通
6．[逻辑推理]设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系不可能是(　　)
A.＜＜ B.＝＝
C.＜＜ D.＜＜
解析：选D　设log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，
可得x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1.
∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.
①若0＜k＜1，则函数f(x)＝xk－1单调递减，
∴＞＞；
②若k＝1，则函数f(x)＝xk－1＝1，∴＝＝；
③若k＞1，则函数f(x)＝xk－1单调递增，
∴＜＜.
∴，，的大小关系不可能是D.
7．[直观想象]已知点A(1,0)，点B在曲线G：y＝ln x上，若线段AB与曲线M：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选B　设B(x0，ln x0)，x0＞0，线段AB的中点为C，则C，又点C在曲线M上，故＝，即ln x0＝.此方程根的个数可以看作函数y＝ln x与y＝的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．故选B.

8．[逻辑推理]若方程2log2x－log2(x－1)＝m＋1有两个不同的解，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知即x＞1，方程化简为log2＝m＋1，故＝2m＋1，即x2－2m＋1x＋2m＋1＝0，当x＞1时，此方程有两个不同的解，所以得m＞1.
答案：(1，＋∞)