2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二章第六节指数与指数函数

第六节指数与指数函数

1．根式的性质

(1)()n＝a(a使有意义)．

(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝❶

2．分数指数幂的意义

(1)a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

3．有理数指数幂的运算性质

(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

4．指数函数的图象和性质❷

化简时，一定要注意区分n是奇数还是偶数．

1．图象问题

(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.

(2)y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称．

(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．

2．函数性质的注意点

讨论指数函数的性质时，要注意分底数a＞1和0＜a＜1两种情况.

[熟记常用结论]

指数函数的图象与底数大小的比较：如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.

规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)＝－4.(　　)

(2)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)

(3)函数y＝a(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(4)若am＞an(a＞0，a≠1)，则m＞n.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、选填题

1．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)

A．－9　　　　　　　　　 B．7

C．－10  D．9

解析：选B　原式＝2－1＝23－1＝7.故选B.

2．函数f(x)＝3x＋1的值域为(　　)

A．(－1，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(0,1)  D．[1，＋∞)

解析：选B　∵3x＞0，∴3x＋1＞1，

即函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．

3．化简的结果是________．

解析：由题意知，x＜0，

∴＝＝＝－.

答案：－

4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．

解析：令x－2＝0，则x＝2，

此时f(x)＝1－3＝－2，

故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．

答案：(2，－2)

5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．

解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，

∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.

答案：(2,3)

[题组练透]

化简下列各式：

(1)0＋2－2×－(0.01)0.5；

(2)a·b－2·(－3ab－1)÷(4a·b－3)；

(3).

解：(1)原式＝1＋×－

＝1＋×－＝1＋－

＝.

(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)

＝－ab－3÷(ab)

＝－a·b

＝－·＝－.

(3)原式＝＝a·b＝.

[名师微点]

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[典例精析]

(1)函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)

(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为__________．

[解析]　(1)函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D.

(2)作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．

[答案]　(1)D　(2)(0,1)

1．(变条件)将本例(2)改为若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．

答案：(－∞，0]

2．(变条件)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.

答案：[－1,1]

3．(变条件)将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为__________．

解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．

当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；

当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜.

综上可知，a的取值范围是.

答案：

[解题技法]

有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

[过关训练]

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A　由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C.

2．已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)

A．a＜0，b＜0，c＜0　　　　 B．a＜0，b＞0，c＞0

C．2－a＜2c  D．1＜2a＋2c＜2

解析：选D　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0,0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.故选D.

[考法全析]

考法(一)　比较指数式的大小

[例1]　已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)

A．f(b)＜f(a)＜f(c)　　 B．f(c)＜f(b)＜f(a)

C．f(c)＜f(a)＜f(b)  D．f(b)＜f(c)＜f(a)

[解析]　易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，则a＞b＞c，所以f(c)＜f(b)＜f(a)．

[答案]　B

考法(二)　解简单的指数方程或不等式

[例2]　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

(2)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________．

[解析]　(1)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为.

(2)若a＜0，则f(a)＜1⇔a－7＜1⇔a＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0；

若a≥0，则f(a)＜1⇔＜1，解得a＜1，故0≤a＜1.

综合可得－3＜a＜1.

[答案]　(1)　(2)(－3,1)

考法(三)　指数函数性质的综合应用

[例3]　已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，＋∞)，

应使y＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)．

故a的值为0.

[规律探求]

[过关训练]

1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c  B．a＜c＜b

C．b＜a＜c  D．b＜c＜a

解析：选C　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.

2．(2019·福州模拟)设函数f(x)＝则满足f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是________________________________________________________________________．

解析：由题意x＞0时，f(x)单调递增，故f(x)＞f(0)＝0，而x≤0时，x＝0，

故若f(x2－2)＞f(x)，则x2－2＞x，且x2－2＞0，

解得x＞2或x＜－.

答案：(－∞，－)∪(2，＋∞)

一、题点全面练

1．设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　)

A．a　　　　　　　　　 B．a

C．a  D．a

解析：选C　由题意＝a＝a.故选C.

2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是(　　)

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1,0＜b＜1

D．0＜a＜1，b＜0

解析：选D　法一：由题图可知0＜a＜1，当x＝0时，a－b∈(0,1)，故－b＞0，得b＜0.故选D.

法二：由图可知0＜a＜1，f(x)的图象可由函数y＝ax的图象向左平移得到，故－b＞0，则b＜0.故选D.

3．化简÷×的结果是(　　)

A．a  B．b

C．ab  D．ab2

解析：选A　原式＝÷×a

＝··a

＝a·a·a＝a.

4．设x＞0，且1＜bx＜ax，则(　　)

A．0＜b＜a＜1  B．0＜a＜b＜1

C．1＜b＜a  D．1＜a＜b

解析：选C　因为1＜bx，所以b0＜bx，

因为x＞0，所以b＞1，

因为bx＜ax，所以x＞1，

因为x＞0，所以＞1，所以a＞b，所以1＜b＜a.故选C.

5．已知a＝()，b＝2，c＝9，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．b＜a＜c  B．a＜b＜c

C．b＜c＜a  D．c＜a＜b

解析：选A　a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3，

由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，得a＜c，

由函数y＝2x在R上为增函数，得a＞b，

综上得c＞a＞b.故选A.

6．函数f(x)＝ax＋b－1(其中0＜a＜1，且0＜b＜1)的图象一定不经过(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选C　由0＜a＜1可得函数y＝ax的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b＜1，所以－1＜b－1＜0，

所以0＜1－b＜1，

y＝ax的图象向下平移1－b个单位即可得到y＝ax＋b－1的图象，

所以y＝ax＋b－1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.

7．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)

A．偶函数，在[0，＋∞)单调递增

B．偶函数，在[0，＋∞)单调递减

C．奇函数，且单调递增

D．奇函数，且单调递减

解析：选C　易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x＜0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x＞0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.

8．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点有(　　)

A．3个  B．2个

C．1个  D．0个

解析：选C　因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，

y＝x＝2，

在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝x的大致图象，

由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.

9．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)

解析：选A　因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，

所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，

当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，

所以a＝2，b＝1，

此时g(x)＝2|x＋1|＝

此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．

结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.

10．函数f(x)＝的单调递减区间为________．

解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，

∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．

答案：(－∞，1]

11．不等式＜恒成立，则a的取值范围是________．

解析：由指数函数的性质知y＝x是减函数，

因为＜恒成立，

所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立，

所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立，

所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)＜0，

即(a－2)(a－2＋4)＜0，

即(a－2)(a＋2)＜0，

故有－2＜a＜2，即a的取值范围是(－2,2)．

答案：(－2,2)

12．已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．

解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，

∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．

对于定义域内任意x，有

f(－x)＝(－x)3

＝(－x)3

＝(－x)3

＝x3＝f(x)，

∴函数f(x)是偶函数．

(2)由(1)知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0，

则x3＞0，

即＋＞0，

即＞0，则ax＞1.

又∵x＞0，∴a＞1.

∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)

A．K的最大值为0  B．K的最小值为0

C．K的最大值为1  D．K的最小值为1

解析：选D　根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．

令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，

∴K≥1，故选D.

2．已知实数a，b满足＞a＞b＞，则(　　)

A．b＜2  B．b＞2

C．a＜  D．a＞

解析：选B　由＞a，得a＞1，由a＞b，得2a＞b，故2a＜b，由b＞，得b＞4，得b＜4.由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜2，故1＜a＜2,2＜b＜4.

对于选项A、B，由于b2－4(b－a)＝(b－2)2＋4(a－1)＞0恒成立，故A错误，B正确；对于选项C，D，a2－(b－a)＝2－，由于1＜a＜2,2＜b＜4，故该式的符号不确定，故C、D错误．故选B.

3．设a＞0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．

解：令t＝ax(a＞0，且a≠1)，

则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t＞0)．

①当0＜a＜1，x∈[－1,1]时，t＝ax∈，

此时f(t)在上为增函数．

所以f(t)max＝f＝2－2＝14.

所以2＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.

②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，

此时f(t)在上是增函数．

所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，

解得a＝3或a＝－5(舍去)．

综上得a＝或3.

(二)交汇专练——融会巧迁移

4．[与基本不等式交汇]设f(x)＝ex,0＜a＜b，若p＝f，q＝f，r＝，则下列关系式中正确的是(　　)

A．q＝r＜p  B．p＝r＜q

C．q＝r＞p  D．p＝r＞q

解析：选C　∵0＜a＜b，∴＞，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，∴f＞f()，即q＞p.又r＝＝＝e＝q，故q＝r＞p.故选C.

5．[与一元二次函数交汇]函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．

解析：令t＝x，

因为x∈[－3,2]，所以t∈，

故y＝t2－t＋1＝2＋.

当t＝时，ymin＝；

当t＝8时，ymax＝57.

故所求函数的值域为.

答案：

6．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．

解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，

所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.

从而有f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．

因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k.

即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，

从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.

故k的取值范围为.