2020版高考一轮复习物理通用版讲义：第五章第3节机械能守恒定律及其应用

第3节　机械能守恒定律及其应用

一、重力做功与重力势能

1．重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。

2．重力势能

(1)表达式：Ep＝mgh。[注1]

(2)重力势能的特点：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。

3．重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。

二、弹性势能

1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。

2．弹力做功与弹性势能变化的关系[注2]：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大。即W＝－ΔEp。

三、机械能守恒定律

1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。[注3]

2．表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。

【注解释疑】

[注1] h为物体相对于参考面的高度，有正、负之分。

[注2] 与重力做功和重力势能变化类似。

[注3] 机械能中的势能包括重力势能和弹性势能。

[深化理解]

(1)重力势能是由物体和地球组成的系统所共有，但一般常叙述为物体的重力势能。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

(3)单物体机械能守恒的条件是只有重力做功，而多物体(即系统)机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功，但这并不等于只受重力和弹力作用。

[基础自测]

一、判断题

(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。(√)

(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(×)

(3)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(√)

(4)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。(√)

(5)弹力做正功弹性势能一定增加。(×)

(6)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(×)

(7)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(√)

二、选择题

1．[教科版必修2 P67 T3改编]关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)

A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定

B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大

C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了

D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功

解析：选D　物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面时，重力势能不同，选项A错误；物体在零势能面以上，与零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，与零势能面的距离越大，重力势能越小，选项B错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，选项C错误；重力做的功度量了重力势能的变化，选项D正确。

2．(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是(　　)

A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能

B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变

C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能

D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关

解析：选AB　任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能，而具有弹性势能的物体，也一定发生了弹性形变，故A、B均正确；物体若发生了非弹性形变，就不具有弹性势能，C错误；弹性势能的大小与弹簧的劲度系数和形变量大小均有关，D错误。

3．在大型游乐场里，小明乘坐如图所示匀速转动的摩天轮，正在向最高点运动。对此过程，下列说法正确的是(　　)

A．小明的重力势能保持不变

B．小明的动能保持不变

C．小明的机械能守恒

D．小明的机械能减少

解析：选B　摩天轮在转动的过程中，小明的高度不断发生变化，小明的重力势能也在发生变化，故A错误；由于摩天轮匀速转动，所以小明的动能保持不变，故B正确；小明所具有的机械能等于他的动能与重力势能之和，由于其动能不变，而重力势能随着其高度的变化而变化，所以小明的机械能也在不断变化，当其上升时，机械能增加，故C、D错误。

4．[粤教版必修2 P70讨论与交流改编]在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出。不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小(　　)

A．一样大　　　　　　　 B．水平抛出的最大

C．斜向上抛出的最大   D．斜向下抛出的最大

解析：选A　不计空气阻力的抛体运动，机械能守恒。故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面时，物体速度的大小相等。故只有选项A正确。

高考对本节内容的考查，主要集中在重力势能、弹性势能概念的理解，机械能守恒的判断及机械能守恒定律三种表达式的应用等，题型多为选择题，难度中等。而机械能守恒定律与平抛运动及圆周运动知识相结合，常以综合性计算题的形式呈现，难度中等偏上。

考点一　机械能守恒的理解与判断[基础自修类]

[题点全练]

1．[单个物体机械能守恒的判断]

关于机械能是否守恒，下列说法正确的是(　　)

A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒

B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒

C．做变速运动的物体机械能可能守恒

D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒

解析：选C　做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A、B错误；做变速运动的物体机械能可能守恒，如平面内的匀速圆周运动，故C正确；合外力做功不为零，机械能可能守恒，D错误。

2．[系统机械能守恒的分析与判断]

如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是(　　)

A．物体的重力势能减少，动能不变

B．斜面体的机械能不变

C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功

D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒 

解析：选D　物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A错误；物体在下滑过程中，斜面体做加速运动，其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面体向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面体组成的系统，只有物体的重力做功，机械能守恒，D正确。

3．[含有弹簧的系统机械能守恒的分析与判断]

(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下。不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．小球的机械能守恒

B．小球的机械能减少

C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变

D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒

解析：选BD　小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。

[名师微点]

1．对机械能守恒条件的理解

(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。

(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。

(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程，小球机械能减少。

2．机械能是否守恒的三种判断方法

(1)利用做功及守恒条件判断。

(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。

(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。

考点二　单个物体的机械能守恒[师生共研类]

1．机械能守恒的三种表达式对比

2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路

(1)选取研究对象——物体。

(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。

(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。

(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。

[典例]　如图，MN为半径R＝0.4 m、固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同但质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，小钢珠每次都在M点离开弹簧枪。某次发射的小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，水平飞出后落到OP上的Q点。不计空气阻力，取g＝10 m/s2。求：

(1)小钢珠经过N点时速度的大小vN；

(2)小钢珠离开弹簧枪时的动能Ek；

(3)小钢珠的落点Q与圆心O的距离s。

[解析]　(1)小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，则有mg＝m

解得vN＝2 m/s。

(2)小钢珠在光滑圆弧轨道上运动，由机械能守恒定律得

mvN2－Ek＝－mgR

解得Ek＝0.06 J。

(3)小钢珠从N点水平飞出后，做平抛运动，

R＝gt2，s＝vNt，

解得s＝ m。

[答案]　(1)2 m/s　(2)0.06 J　(3) m

[延伸思考]

(1)发射小钢珠落点在Q点的弹簧枪具有的弹性势能是多大？

(2)落在Q点的小钢珠在落地前瞬间具有的动能是多大？

提示：(1)弹簧枪具有的弹性势能在发射小钢珠时转化为小钢珠的动能，因此，弹簧枪具有的弹性势能为Ep＝Ek＝0.06 J。

(2)由于小钢珠在运动过程中只有重力做功，小钢珠机械能守恒，故小钢珠落地时具有的动能与小钢珠在M点的动能大小相同，也为Ek＝0.06 J。

[题点全练]

1．[单物体单过程机械能守恒]

如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为(　　)

A．3mg　　　　　　　　 B．4mg

C．5mg   D．6mg

解析：选D　设小球在最低点时速度为v1，在最高点时速度为v2，根据牛顿第二定律有，在最低点：N1－mg＝m，在最高点：N2＋mg＝m；从最高点到最低点，根据机械能守恒有mg·2R＝mv12－mv22，联立可得：N1－N2＝6 mg，故选项D正确。

2．[单物体多过程机械能守恒]

某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，使质量m＝0.1 kg的小球从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F。改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，取g＝10 m/s2。

(1)求圆轨道的半径R；

(2)若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心O等高，求θ的值。

解析：(1)小球经过D点时，满足竖直方向的合力提供圆周运动的向心力，即：F＋mg＝m

从A到D的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝mv2

联立解得：F＝H－5mg

由题中给出的F­H图像知斜率

k＝ N/m＝10 N/m

即＝10 N/m

所以可得R＝0.2 m。

(2)小球离开D点做平抛运动，根据几何关系知，小球落地点越低平抛的射程越小，即题设中小球落地点位置最低对应小球离开D点时的速度最小。

根据临界条件知，小球能通过D点时的最小速度为v＝

小球在斜面上的落点与圆心等高，故可知小球平抛时下落的距离为R

所以小球平抛的射程

s＝vt＝v ＝·＝R

由几何关系可知，角θ＝45°。

答案：(1)0.2 m　(2)45°

考点三　多个物体的机械能守恒[多维探究类]

多物体机械能守恒问题的分析方法

考法(一)　轻绳连接的物体系统

[例1]　如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2。若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为(　　)

A.＝　　　　　　 　 B.＝

C.＝   D.＝

[解析]　圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcos θ＝，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3 m时，根据机械能守恒可得mgh＝MghA＋mv2＋MvA2，其中hA＝－l，联立可得＝，故A正确。

[答案]　A

[题型技法]

考法(二)　轻杆连接的物体系统

[例2]　(多选)如图所示在一个固定的十字架上(横竖两杆连结点为O点)，小球A套在竖直杆上，小球B套在水平杆上，A、B两球通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，并竖直静止。由于微小扰动，B球从O点开始由静止沿水平杆向右运动。A、B两球的质量均为m，不计一切摩擦，小球A、B视为质点。在A球下滑到O点的过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．在A球下滑到O点之前轻杆对B球一直做正功

B．小球A的机械能先减小后增大

C．A球运动到O点时的速度为

D．B球的速度最大时，B球对水平杆的压力大小为2mg

[解析]　当A球到达O点时，B球的速度为零，故B球的速度先增大后减小，动能先增大后减小，由动能定理可知，轻杆对B球先做正功，后做负功，故选项A错误；A、B两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，而B球的机械能先增大后减小，所以小球A的机械能先减小后增大，所以选项B正确；因A球到达O点时，B球的速度为零，由系统机械能守恒可得：mgL＝mvA2，计算得出vA＝，所以选项C正确；当A球的机械能最小时，B球的机械能最大，则B球的动能最大，速度最大，此时B球的加速度为零，轻杆对B球水平方向无作用力，故B球对水平杆的压力大小为mg，选项D错误。

[答案]　BC

[题型技法]

考法(三)　轻弹簧连接的物体系统

[例3]　如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端固定在挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg 的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放。取重力加速度g＝10 m/s2。求：

(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；

(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；

(3)物体A的最大速度的大小。

[解析]　(1)弹簧恢复原长时，

对B：mg－T＝ma

对A：T－mgsin 30°＝ma

代入数据可求得：T＝30 N。

(2)初态弹簧压缩量x1＝＝10 cm

当A速度最大时有mg＝kx2＋mgsin 30°

弹簧伸长量x2＝＝10 cm

所以A沿斜面向上运动x1＋x2＝20 cm时获得最大速度。

(3)因x1＝x2，故弹簧弹性势能的改变量ΔEp＝0

由机械能守恒定律有

mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝×2mv2

解得v＝1 m/s。

[答案]　(1)30 N　(2)20 cm　(3)1 m/s

[题型技法]

[题点全练]

1．[轻绳连接的物体系统]

如图所示，不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于水平地面上；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。现将b球释放，则b球着地瞬间a球的速度大小为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.    D．2

解析：选A　在b球落地前，a、b两球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：3mgh＝mgh＋(3m＋m)v2，解得：v＝，故A正确。

2.[轻杆连接的物体系统]

(多选)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，A球的质量为m，B球的质量为2m，此杆可绕穿过O点的水平轴无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置由静止释放，则在杆从释放到转过90°的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．A球的机械能增加

B．杆对A球始终不做功

C．B球重力势能的减少量等于B球动能的增加量

D．A球和B球的总机械能守恒

解析：选AD　A球由静止向上运动，重力势能增大，动能也增大，所以机械能增大，杆一定对A球做了功，A项正确，B项错误；由于无摩擦力做功，系统只有重力做功，A球和B球的总机械能守恒，A球机械能增加，B球的机械能一定减少，故D项正确，C项错误。

3．[轻弹簧连接的物体系统]

(多选)如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30°，质量分别为M、m的两个物体A、B通过细绳及轻弹簧连接于光滑定滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板。开始时用手按住物体A，此时A与挡板的距离为s，B静止于地面上，滑轮两侧的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态。已知M＝2m，空气阻力不计。松开手后，关于A、B两物体的运动(整个过程弹簧形变不超过其弹性限度)，下列说法正确的是(　　)

A．A和B组成的系统机械能守恒

B．当A的速度最大时，B与地面间的作用力为零

C．若A恰好能到达挡板处，则此时B的速度为零

D．若A恰好能到达挡板处，则此过程中重力对A做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体B的机械能增加量之和

解析：选BD　对于A、B、弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，但对于A和B组成的系统机械能不守恒，故A错误；A的重力沿斜面向下的分力为Mgsin θ＝mg，物体A先做加速运动，当受力平衡时A的速度最大，此时B所受的拉力为T＝mg，B恰好与地面间的作用力为零，故B正确；从B开始运动直到A到达挡板处的过程中，细绳弹力的大小一直大于B的重力，故B一直做加速运动，故C错误；A恰好能到达挡板处，由机械能守恒定律可知此过程中重力对A做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体B的机械能增加量之和，故D正确。

“专项研究”拓视野——非质点类机械能守恒问题

像“液柱”“链条”“过山车”类物体，在其运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了。

(一)“液柱”类问题

1．(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中(　　)

A．水柱的重力做正功

B．大气压力对水柱做负功

C．水柱的机械能守恒

D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2

解析：选ACD　把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降，重力所做正功：WG＝ρgS＝ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确。

(二)“链条”类问题

2．如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B点的距离为L－a。现自由释放链条，则：

(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；

(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？

解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。

(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，

高度减少量h＝sin α＝sin α

该部分的质量为m′＝(L－a)

由机械能守恒定律可得：(L－a)gh＝mv2，

解得：v＝ 。

答案：(1)守恒　理由见解析

(2)

(三)“过山车”类问题

3．如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L＞2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。

解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，

圆形轨道上那部分列车的质量M′＝·2πR

由机械能守恒定律可得：Mv02＝Mv2＋M′gR

又因圆形轨道顶部车厢应满足：mg＝m，

可求得：v0＝ 。

答案：