2020版高考一轮复习物理通用版讲义：第五章实验六验证机械能守恒定律

实验六　验证机械能守恒定律

一、实验目的

1．掌握验证机械能守恒定律的方法。

2．会用计算法或图像法处理实验数据。

二、实验原理

通过实验求出重物做自由落体运动时重力势能的减少量、相应过程动能的增加量，若二者相等，即可验证机械能守恒定律。实验装置如图所示。

三、实验器材

铁架台(带铁夹)，打点计时器，重物(带纸带夹子)，纸带数条，复写纸片，导线，毫米刻度尺。除了上述器材外，还必须有学生电源(交流4～6 V)。

四、实验步骤

1．把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与学生电源连接好。

2．把纸带的一端在重物上用夹子固定好，另一端穿过打点计时器限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在打点计时器附近。

3．接通电源，松开纸带，让重物自由下落。

4．重复几次，得到3～5条打好点的纸带。

5．在打好点的纸带中挑选第一、二两点间的距离接近2 mm，且点迹清晰的一条纸带，在起始点标上0，以后各点依次标1、2、3、…，用刻度尺测出对应下落高度h1、h2、h3、…。

五、数据处理

1．求瞬时速度

由公式vn＝可以计算出重物下落h1、h2、h3、…的高度时对应的瞬时速度v1、v2、v3、…。

2．验证守恒

方法一：利用起始点和第n点计算，代入ghn和vn2，如果在实验误差允许的范围内，ghn＝vn2，则验证了机械能守恒定律。

方法二：任取两点A、B测出hAB，算出ghAB和的值，如果在实验误差允许的范围内，ghAB＝vB2－vA2，则验证了机械能守恒定律。

方法三：图像法，从纸带上选取多个点，测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2­h图线。若在误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。

六、误差分析

1．测量长度时会存在偶然误差，所以测长度时要多测几次，取平均值即可减小此误差。

2．由于本实验中有纸带与限位孔间的摩擦力(主要因素)和空气阻力(次要因素)的影响，这是系统误差，它使增加的动能少于减小的重力势能，要减小影响，采用增加重物质量的办法，因为当重物的重力远大于阻力时，可忽略阻力的影响。

3．为了减小相对误差，选取的计数点最好离第一个点远一些。

4．若第一、第二两点间的距离小于2 mm，则这两点间的时间间隔不到0.02 s或阻力过大。

七、注意事项

1．打点计时器安装时，必须使两纸带限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。

2．实验时，需保持提纸带的手不动，待接通电源、让打点计时器工作正常后才松开纸带让重物下落，以保证第一个点是一个清晰的小点。

3．选用纸带时应尽量挑第一、二点间距接近2 mm的纸带。

4．测量下落高度时，都必须从起始点算起，不能搞错，为了减小测量值h的相对误差，选取的各个计数点要离起始点远一些，纸带也不宜过长，有效长度可在60～80 cm之间。

5．因不需要知道动能和势能的具体数值，所以不需要测量重物的质量。

[基础考法]

考法(一)　实验原理与操作

1．在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，电源的频率为50 Hz，依次打出的点为0,1,2,3,4，…，n。则：

    (1)如用第2点到第6点之间的纸带来验证，必须直接测量的物理量为______________________、______________________、______________________，必须计算出的物理量为______________________、______________________，验证的表达式为______________________。

(2)下列实验步骤操作合理的排列顺序是________(填写步骤前面的字母)。

A．将打点计时器竖直安装在铁架台上

B．接通电源，再松开纸带，让重物自由下落

C．取下纸带，更换新纸带(或将纸带翻个面)重新做实验

D．将重物固定在纸带的一端，让纸带穿过打点计时器，用手提着纸带

E．选择一条纸带，用刻度尺测出物体下落的高度h1，h2，h3，…，hn，计算出对应的瞬时速度v1，v2，v3，…，vn

F．分别算出mvn2和mghn，在实验误差范围内看是否相等

解析：(1)要验证从第2点到第6点之间的纸带对应重物的运动过程中机械能守恒，应测出第2点到第6点的距离h26，要计算第2点和第6点的速度v2和v6，必须测出第1点到第3点之间的距离h13和第5点到第7点之间的距离h57，机械能守恒的表达式为mgh26＝mv62－mv22。

(2)实验操作顺序为ADBCEF。

答案：(1)第2点到第6点之间的距离h26

第1点到第3点之间的距离h13

第5点到第7点之间的距离h57

第2点的瞬时速度v2　第6点的瞬时速度v6

mgh26＝mv62－mv22

(2)ADBCEF

2.用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。实验所用的电源为学生电源，输出电压有6 V的交流电和直流电两种。重物从高处由静止开始下落，重物拖着纸带通过打点计时器打出一系列的点，对纸带上的点进行测量，即可验证机械能守恒定律。

(1)下面列举了该实验的几个操作步骤：

A．按照图示的装置安装器材；

B．将打点计时器接到电源的直流输出端上；

C．用天平测出重物的质量；

D．释放纸带，同时接通电源开关打出一条纸带；

E．测量打出的纸带上某些点之间的距离；

F．根据测量的结果计算重物下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能。

其中没有必要进行或者操作不恰当的步骤是________。(将其选项对应的字母填在横线处)

(2)在验证机械能守恒定律的实验中，若以v2为纵轴、以h为横轴，根据实验数据绘出v2­h的图像应是________________，才能验证机械能守恒定律。v2­h图像的斜率等于____________的数值。

解析：(1)打点计时器应接到电源的交流输出端上，故B错误；验证机械能是否守恒只需验证mgh＝mv2，即gh＝v2，m可约去，故不需要用天平测重物的质量，故C没有必要进行；开始记录时，应先给打点计时器通电打点，然后再释放重物，让它带着纸带一同落下，如果先放开纸带让重物下落，再接通打点计时器的电源，由于重物运动较快，不利于数据的采集和处理，会使实验产生较大的误差，故D错误。

(2)利用v2­h图线处理数据，物体自由下落过程中机械能守恒，mgh＝mv2，即v2＝gh，若以v2为纵轴、以h为横轴，画出的图线应是过原点的倾斜直线，由以上易知v2­h图线的斜率就等于重力加速度g的数值。

答案：(1)BCD　(2)过原点的倾斜直线　重力加速度g

考法(二)　数据处理与误差分析

3．某同学用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，通过实验数据分析，发现本实验存在较大的误差，为此改用如图乙所示的实验装置：通过电磁铁控制的小铁球从A点自由下落，下落过程中经过光电门B时，通过与之相连的毫秒计时器(图中未画出)记录挡光时间t，用毫米刻度尺测出A、B之间的距离h，用游标卡尺测得小铁球的直径d(d≪h)，重力加速度为g。则小铁球经过光电门时的瞬时速度v＝________。如果d、t、h、g满足关系式t2＝________，就可验证机械能守恒定律。比较两个方案，  改进后的方案相比原方案最主要的优点是__________________________________________________________。

解析：用平均速度代替小铁球经过光电门时的瞬时速度，即v＝，若小铁球机械能守恒，则有mv2＝mgh，可得t2＝。比较两个方案，改进后的方案相比原方案最主要的优点是消除了纸带与打点计时器之间的摩擦力影响。

答案：　　消除了纸带与打点计时器之间的摩擦力影响

4．(2016·全国卷Ⅰ)某同学用图(a)所示的实验装置验证机械能守恒定律，其中打点计时器的电源为交流电源，可以使用的频率有20 Hz、30 Hz和40 Hz。打出纸带的一部分如图(b)所示。

该同学在实验中没有记录交流电的频率f，需要用实验数据和其他题给条件进行推算。

(1)若从打出的纸带可判定重物匀加速下落，利用f和图(b)中给出的物理量可以写出：在打点计时器打出B点时，重物下落的速度大小为________，打出C点时重物下落的速度大小为________，重物下落的加速度大小为________。

(2)已测得s1＝8.89 cm，s2＝9.50 cm，s3＝10.10 cm；当地重力加速度大小为9.80 m/s2，实验中重物受到的平均阻力大小约为其重力的1%。由此推算出f为________Hz。

解析：(1)重物匀加速下落时，根据匀变速直线运动的规律得vB＝＝f(s1＋s2)，vC＝＝f(s2＋s3)，由s3－s1＝2aT2得a＝。

(2)根据牛顿第二定律，有mg－kmg＝ma，根据以上各式，化简得f＝，代入数据可得f≈40 Hz。

答案：(1)f(s1＋s2)　f(s2＋s3)　f2(s3－s1)

(2)40

5．如图甲所示是用“落体法”验证机械能守恒定律的实验装置。(g取9.80 m/s2)

(1)选出一条清晰的纸带如图乙所示，其中O点为打点计时器打下的第一个点，A、B、C为三个计数点，打点计时器通以频率为50 Hz的交变电流。用分度值为1 mm的刻度尺测得OA＝12.41 cm，OB＝18.90 cm，OC＝27.06 cm，在计数点A和B、B和C之间还各有一个点，重锤的质量为1.00 kg。甲同学根据以上数据算出：当打点计时器打到B点时重锤的重力势能比开始下落时减少了________J；此时重锤的速度vB＝________ m/s，此时重锤的动能比开始下落时增加了________ J。(结果均保留三位有效数字)

(2)某同学利用他自己实验时打出的纸带，测量出了各计数点到打点计时器打下的第一个点的距离h，算出了各计数点对应的速度v，然后以h为横轴、以v2为纵轴作出了如图丙所示的图线，图线的斜率近似等于________。

A．19.6　　　　B．9.8　　　　C．4.90

图线未过原点O的原因是________________________________________________。

解析：(1)当打点计时器打到B点时，重锤的重力势能减小量ΔEp＝mg·OB＝1.00×9.80×18.90×10－2 J≈1.85 J；打B点时重锤的速度vB＝＝ m/s≈1.831 m/s，此时重锤的动能增加量ΔEk＝mvB2＝×1.00×1.8312 J≈1.68 J。

(2)由机械能守恒定律有mv2＝mgh，可得v2＝gh，由此可知图线的斜率近似等于重力加速度g，故B正确。由图线可知，h＝0时，重锤的速度不等于零，原因是该同学做实验时先释放了纸带，然后才合上打点计时器的开关。

答案：(1)1.85　1.83　1.68　(2)B　先释放了纸带，后合上打点计时器的开关

[例1]　用如图甲所示的实验装置验证m1、m2组成的系统机械能守恒。m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带通过打点计时器，打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。如图乙所示是实验中获取的一条纸带；0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点(图中未标出)，计数点间的距离已标注，打点计时器所接电源频率为50 Hz。已知m1＝50 g、m2＝150 g，则(计算结果均保留两位有效数字)

(1)在纸带上打下计数点5时的速度v5＝________m/s。

(2)在打下第“0”点到打下第“5”点的过程中系统动能的增量ΔEk＝________J，系统势能的减少量ΔEp＝________J。(取当地的重力加速度g＝10 m/s2)

(3)若某同学作出v2h图像如图丙所示，则当地的重力加速度g＝________ m/s2。

[三步稳解题]

1．分析实验目的：验证系统机械能守恒。

2．确定实验原理：对m1、m2组成的系统，在m1上升，m2下降的过程中，系统只有重力做功，机械能守恒。

3．制定数据处理方案：由纸带求出打计数点5时的速度v5和m2下降的高度h5，则系统重力势能的减少量ΔEp＝m2gh5－m1gh5，系统动能的增加量ΔEk＝(m2＋m1)v52，比较ΔEp和ΔEk的大小，得出实验结论。

[解析]　(1)在纸带上打下计数点5时的速度

v5＝＝ m/s＝2.4 m/s。

(2)在打下第“0”点到打下第“5”点的过程中系统动能的增量ΔEk＝(m1＋m2)v52＝×0.2×2.42 J≈0.58 J，系统势能的减少量ΔEp＝(m2－m1)gh5＝0.1×10×(38.40＋21.60)×10－2 J＝0.60 J。

(3)由能量关系可知(m1＋m2)v2＝(m2－m1)gh，

即v2＝h，由题图丙可知＝，

解得g＝9.7 m/s2。

[答案]　(1)2.4　(2)0.58　0.60　(3)9.7

[例2]　某研究性学习小组利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置如图甲所示。在气垫导轨上相隔一定距离的两处安装两个光电传感器A、B，滑块P上固定一遮光条，若光线被遮光条遮挡，光电传感器会输出高电压，两光电传感器采集数据后与计算机相连。滑块在细线的牵引下向左加速运动，遮光条经过光电传感器A、B时，通过计算机可以得到如图乙所示的电压U随时间t变化的图像。

  (1)实验前，接通气源，将滑块(不挂钩码)置于气垫导轨  上，轻推滑块，当图乙中的Δt1________Δt2(选填“>”“＝”或“<”)时，说明气垫导轨已经水平。

  (2)用游标卡尺测遮光条宽度d，测量结果如图丙所示，则d＝________ mm。

  (3)滑块P用细线跨过气垫导轨左端的定滑轮与钩码Q相连，钩码Q的质量为m。将滑块P由图甲所示位置释放，通过计算机得到的图像如图乙所示，若Δt1、Δt2和d  已知，要验证滑块和钩码组成的系统机械能是否守恒，还应测出____________________(写出物理量的名称及符号)。

  (4)若上述物理量间满足关系式____________________，则表明在上述过程中，滑块和钩码组成的系统机械能守恒。

[三步稳解题]

1．分析实验目的：验证滑块和钩码组成的系统机械能守恒。

2．确定实验原理：滑块与气垫导轨的摩擦不计，滑块和钩码组成的系统，只有钩码重力做功，系统机械能守恒。

3.制定数据处理方案：

由图丙读出遮光条的宽度d，由图乙读出遮光条通过光电门A、B的时间Δt1、Δt2，可求出滑块经过光电门A、B的速度vA＝、vB＝，测量出滑块(含遮光条)和钩码的质量M、m及两光电门间距L，则可由mgL＝(m＋M)2－(m＋M)2来验证系统机械能是否守恒。

[解析]　(1)实验前，接通气源，将滑块(不挂钩码)置于气垫导轨上，轻推滑块，当题图乙中的Δt1＝Δt2时，说明滑块已经匀速运动，说明气垫导轨已经水平。

(2)用游标卡尺测遮光条宽度d，则d＝5.0 mm。

(3)滑块经过两个光电门的速度分别为：和，钩码重力势能的减少量为mgL，要验证的关系是mgL＝(m＋M)2－(m＋M)2，故还应测出滑块(含遮光条)的质量M和两光电门间距离L。

(4)若上述物理量间满足关系式mgL＝(m＋M)2－(m＋M)2，则表明在上述过程中，滑块和钩码组成的系统机械能守恒。

[答案]　(1)＝　(2)5.0

(3)滑块(含遮光条)的质量M和两光电门间距离L

(4)mgL＝(m＋M)2－(m＋M)2

[创新领悟]

[创新考法]

1.某同学利用竖直上抛小球的频闪照片验证机械能守恒定律。频闪仪每隔0.05 s闪光一次，如图所标数据为实际距离，该同学通过计算得到不同时刻的速度如下表。(当地重力加速度取9.8 m/s2，小球质量m＝0.2 kg，结果保留三位有效数字)

(1)由频闪照片上的数据计算t5时刻小球的速度v5＝________ m/s。

(2)从t2到t5时间内，重力势能增加量ΔEp＝____ J，动能减少量ΔEk＝____ J。

(3)在误差允许的范围内，若ΔEp与ΔEk近似相等，即可验证机械能守恒定律。由上述计算得ΔEp________ΔEk(选填“>”“<”或“＝”)，造成这种结果的主要原因是__________________________________________________________。

解析：(1)v5＝×10－2 m/s＝3.48 m/s。

(2)重力势能的增加量ΔEp＝mgΔh，代入数据可得ΔEp≈1.24 J，动能减少量为ΔEk＝mv22－mv52，代入数据可得ΔEk≈1.28 J。

(3)由计算可得ΔEp<ΔEk，主要是由于存在空气阻力。

答案：(1)3.48　(2)1.24　1.28　(3)<　存在空气阻力

2．如图甲所示，一位同学利用光电计时器等器材做“验证机械能守恒定律”的实验。有一直径为d、质量为m的金属小球由A处由静止释放，下落过程中能通过A处正下方、固定于B处的光电门，测得A、B间的距离为H(H≫d)，光电计时器记录下小球通过光电门的时间为t，当地的重力加速度为g。则：

(1)如图乙所示，用游标卡尺测得小球的直径d＝______cm。

(2)多次改变高度H，重复上述实验，作出随H的变化图像如图丙所示，当图中已知量t0、H0和重力加速度g及小球的直径d满足以下表达式：________________时，可判断小球下落过程中机械能守恒。

(3)实验中发现动能增加量ΔEk总是稍小于重力势能减少量ΔEp，增加下落高度后，则ΔEp－ΔEk将________(选填“增大”“减小”或“不变”)。

解析：(1)由题图乙可知，主尺刻度为7 mm；游标尺上对齐的刻度为5。故读数为：(7＋5×0.05) mm＝7.25 mm＝0.725 cm。

(2)若减小的重力势能等于增加的动能时，可以认为机械能守恒，则有：mgH＝mv2，即：2gH0＝2

解得：＝H0。

(3)由于该过程中有阻力做功，且高度越高，阻力做功越多；故增加下落高度后，ΔEp－ΔEk将增大。

答案：(1)0.725　(2)＝H0　(3)增大

3.某同学利用如图所示装置来验证机械能守恒定律。A、B是质量均为m的小物块，C是质量为M的重物，A、B间由轻弹簧相连，A、C间由轻质细绳相连。在物块B下放置一压力传感器，重物C下放置一速度传感器，压力传感器与速度传感器相连。整个实验中弹簧均处于弹性限度内，重力加速度大小为g。实验操作如下：

a．开始时，系统在一外力作用下保持静止，细绳拉直但张力为零。现释放C，使其向下运动，当压力传感器示数为零时，速度传感器测出C的速度为v。

b．在实验中保持A、B质量不变，改变C的质量M，多次重复步骤a。

回答下列问题：

(1)该实验中，M和m大小关系必须满足M________m(选填“小于”“等于”或“大于”)。

(2)为便于研究速度v与质量M的关系，每次测C的速度时，C已下降的高度应________(选填“相同”或“不同”)。

(3)根据所测数据，为更直观地验证机械能守恒定律，应作出________(选填“v2­M”“v2­”或“v2­”)图线。

(4)根据(3)中的图线，若图线在纵轴上的截距为b，则弹簧的劲度系数为________(用题给的已知量表示)。

解析：(1)实验过程中需要测定压力传感器示数为零时，C向下运动的速度v，所以必须满足M>m。

(2)因刚开始时弹簧被压缩，弹力大小为mg，而压力传感器示数为零时，弹簧被拉伸，弹力大小仍为mg，弹簧的形变量x＝＋＝，不论C的质量如何，测C的速度时，C已下降的高度相同，为。

(3)由题意可知弹性势能在始、末状态相同，为此只需验证(m＋M)v2＝(M－m)gx，化简得v2＝－4mgx·＋2gx，所以应作v2­图线。

(4)由题意知b＝2gx，而x＝，联立得k＝。

答案：(1)大于　(2)相同　(3)v2­　(4)

4.某同学用如图所示的装置验证机械能守恒定律。一根细线系住钢球，悬挂在铁架台上，钢球静止于A点。光电门固定在A的正下方，在钢球底部竖直地粘住一片宽度为d的遮光条。将钢球拉至不同位置由静止释放，遮光条经过光电门的挡光时间t可由计时器测出，取v＝作为钢球经过A点时的速度。记录钢球每次下落的高度h和计时器示数t，计算并比较钢球在释放点和A点之间的势能变化大小ΔEp与动能变化大小ΔEk，就能验证机械能是否守恒。

(1)用ΔEp＝mgh计算钢球重力势能变化的大小，式中钢球下落高度h应测量释放时的钢球球心到________之间的竖直距离。

A．钢球在A点时的顶端

B．钢球在A点时的球心

C．钢球在A点时的底端

(2)用ΔEk＝mv2计算钢球动能变化的大小。用刻度尺测量遮光条宽度，示数如图所示，其读数为______cm。某次测量中，计时器的示数为0.010 0 s。则钢球的速度为v＝________m/s。

(3)下表为该同学的实验结果：

他发现表中的ΔEp与ΔEk之间存在差异，认为这是由于空气阻力造成的。你是否同意他的观点？请说明理由。

(4)请你提出一条减小上述差异的改进建议。

解析：(1)高度变化要比较钢球球心的高度变化。

(2)毫米刻度尺读数时要估读到毫米下一位，读数为1.50 cm，由v＝代入数据可得v＝1.50 m/s。

(3)从表中数据可知ΔEk＞ΔEp，若有空气阻力，则应为ΔEk＜ΔEp，所以不同意他的观点。

(4)实验中遮光条经过光电门时的速度大于钢球经过A点时的速度，因此由ΔEk＝mv2计算得到的ΔEk偏大，要减小ΔEp与ΔEk的差异可考虑将遮光条的速度折算为钢球的速度。

答案：(1)B　(2)1.50(1.49～1.51均可)　1.50(1.49～1.51均可)　(3)不同意，因为空气阻力会造成ΔEk小于ΔEp，但表中ΔEk大于ΔEp。　(4)分别测出光电门和球心到悬点的长度L和l，计算ΔEk时，将v折算成钢球的速度v′＝v。