2020版高考物理新设计一轮复习江苏专版讲义：第五章第3节机械能守恒定律及其应用

第3节机械能守恒定律及其应用

(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。(√)

(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。(√)

(3)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(×)

(4)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(√)

(5)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。(√)

(6)弹力做正功弹性势能一定增加。(×)

(7)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(×)

(8)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(√)

(9)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(√)

突破点(一)　机械能守恒的理解与判断

1．对机械能守恒条件的理解

(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。

(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。

(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。

2．机械能是否守恒的三种判断方法

(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。

(2)利用守恒条件判断。

(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。

[题点全练]

1．(2018·苏州模拟)以下情形中，物体的机械能一定守恒的是(　　)

A．下落的物体受到空气阻力的作用

B．物体以一定初速度在粗糙的水平面上滑动

C．一物体匀速上升

D．物体沿光滑斜面自由下滑

解析：选D　物体下落的过程中受到空气阻力的作用，且阻力做负功，故物体的机械能不守恒，A错误；物体以一定初速度在粗糙的水平面上滑动时势能不变，动能减小，机械能不守恒，B错误；物体匀速上升过程动能不变，势能增大，机械能不守恒，C错误；物体沿光滑斜面自由下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，故D正确。

2．[多选]如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒

B．乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，B机械能守恒

C．丙图中，斜面光滑，物体在推力F作用下沿斜面向下运动的过程中，物体机械能守恒

D．丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒

解析：选BD　甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体和弹簧构成的系统机械能守恒，物体A的机械能不守恒，故A错误；乙图中，物体B在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体B受重力、拉力、支持力和滑动摩擦力，拉力和滑动摩擦力的合力为零，故合力的功等于重力的功，故物体B的机械能守恒，故B正确；丙图中，物体受重力、支持力

和推力，由于推力做功，故物体机械能不守恒，故C错误；丁图中，物体受重力和支持力，由于支持力不做功，只有重力做功，故物体机械能守恒，故D正确。

3．[多选]如图，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短。若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由a→b→c的运动过程中，下列说法正确的是(　　)

A．小球和弹簧总机械能守恒

B．小球的重力势能随时间均匀减少

C．小球在b点时动能最大

D．到c点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量

解析：选AD　分析小球从a到c的运动过程，只有重力和弹簧的弹力做功，符合机械能守恒的条件，因此，系统的机械能守恒，所以A项正确。因为小球下落的位移不是随时间均匀增大的，所以B项错误。小球从b点接触弹簧，弹力逐渐增大，开始小于重力，到bc间某位置等于重力，后大于重力，因此，小球从b到c先做加速运动，后做减速运动，到c点速度减为零，弹簧压缩到最短，到b点的动能不是最大，根据小球和弹簧总机械能守恒可得到c点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，所以C选项错误，D正确。

突破点(二)　单个物体的机械能守恒

1．机械能守恒的三种表达式对比

2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路

(1)选取研究对象——物体。

(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。

(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。

(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。

[典例]　光滑水平面AB与一光滑半圆形轨道在B点相连，轨道位于竖直面内，其半径为R。一个可视为质点、质量为m的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧(物块与弹簧不拴接)，然后放手，物块在弹力作用下获得一向右的速度。当物块经B点进入半圆形轨道的瞬间，物块对轨道的压力为其重力的9倍，之后向上运动经C点再落回到水平面，重力加速度为g。求：

(1)弹簧弹力对物块做的功；

(2)物块离开C点后，再落回到水平面上时距B点的距离；

(3)再次左推物块压紧弹簧，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则弹簧弹性势能的取值范围为多少？

[审题指导]

第一步：抓关键点

第二步：找突破口

(1)应用平抛规律，求物块落地点距B点的距离时，应先求出滑块运动到C点的速度vC。

(2)要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则物块可能在圆轨道的上升高度不超过半圆轨道的中点或通过C点。

[解析]　(1)设弹簧弹力对物块做的功为W，

由动能定理得W＝mvB2

在B点由牛顿第二定律得：9mg－mg＝m

解得W＝4mgR。

(2)设物块经C点落回到水平面上时距B点的距离为s，用时为t，由平抛规律知

s＝vCt

2R＝gt2

以水平面AB为重力势能参考面，从B到C由机械能守恒定律

mvB2＝mvC2＋2mgR

联立解得，s＝4R。

(3)假设弹簧弹性势能为Ep，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则物块可能在圆轨道的上升高度不超过半圆轨道的中点，则Ep≤mgR

若物块刚好通过C点，则在C点时mg＝m，

从B到C：mvB′2＝mvC′2＋2mgR

则Ep≥mvB′2

联立解得：Ep≥mgR。

综上所述，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则弹簧弹性势能的取值范围为

Ep≤mgR或Ep≥mgR。

[答案]　(1)4mgR　(2)4R

(3)Ep≥mgR或Ep≤mgR

[方法规律]

(1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。

(2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。

[集训冲关]

1.[多选]甲、乙两球的质量相等，悬线一长一短，将两球由图示位置的同一水平面无初速度释放，不计阻力。则对两小球过最低点时的状态描述正确的是(　　)

A．两球的角速度大小相等

B．两球的加速度大小相等

C．甲球的动能与乙球的动能相等

D．相对同一参考面，两球的机械能相等

解析：选BD　根据机械能守恒定律：mv2＝mgL，由于悬线的长度不等，则甲、乙两球过最低点时动能不等，故C错误；角速度：ω＝＝ ，悬线的长度不相等，则两球的角

速度不相等，故A错误；在最低点，根据牛顿第二定律得：ma＝m，向心加速度为：a＝＝2g，加速度相等，故B正确；甲、乙两球在运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，初始位置的机械能相等，所以在最低点，两球的机械能相等，故D正确。

2.如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑固定轨道，AB是半径为R＝15 m的圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央。一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍。取g＝10 m/s2。

(1)求H的大小。

(2)试讨论小球能否到达O点，并说明理由。

(3)求小球再次落到轨道上的速度大小。

解析：(1)设小球通过D点的速度为v，则有：

m＝F＝mg

小球从H高处落下直到沿光滑轨道运动到D点的过程中，机械能守恒，有mg＝mv2，

可得高度H＝R＝10 m。

(2)设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为vm，有m＝mg

小球至少应从Hm高处落下，mgHm＝mvm2

解得Hm＝，由H＞Hm，小球可以通过BDO轨道的O点。

(3)小球由H高处落下通过O点的速度为

v0＝

小球通过O点后做平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，有x＝v0t

y＝gt2

且x2＋y2＝R2

联立解得t＝1 s(另解舍弃)

落到轨道上的速度大小v＝≈17.3 m/s。

答案：(1)10 m　(2)能，理由见解析　(3)17.3 m/s

突破点(三)　多个物体的机械能守恒

[典例]　物体A的质量为mA，圆环B的质量为mB，通过绳子跨过定滑轮连结在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，如图所示，长度l＝4 m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，取g＝10 m/s2。求：

(1)若mA∶mB＝5∶2，则圆环能下降的最大距离hm。

(2)若圆环下降h2＝3 m时的速度大小为4 m/s，则两个物体的质量应满足怎样的关系？

(3)若mA＝mB，请定性说明圆环下降过程中速度大小变化的情况及其理由。

[解析]　(1)设圆环所能下降的最大距离为hm，由机械能守恒定律得mBghm＝mAghA

hm2＋l2＝(l＋hA)2

代入数据得hm2－hm＝0

解得hm＝ m≈3.8 m。

(2)由机械能守恒

mBgh2＝mAghA′＋mBvB2＋mAvA2

vA＝vBcos θ＝vB＝4× m/s＝2.4 m/s

h22＋l2＝(l＋hA′)2，解得hA′＝1 m

解得两个物体的质量关系：＝≈1.71。

(3)当mA＝mB，且l确定时，根据几何关系可知圆环下降的高度大于A上升的高度，则在圆环下降过程中，系统的重力势能一直在减少，根据系统的机械能守恒可知系统的动能一直在增加，所以圆环在下降过程中速度一直增大。

[答案]　(1)3.8 m　(2)mA∶mB＝1.71　(3)速度一直增大，当mA＝mB，且l确定时，根据几何关系可知圆环下降的高度大于A上升的高度，则在圆环下降过程中，系统的重力势能一直在减少，根据系统的机械能守恒可知系统的动能一直在增加，所以圆环在下降过程中速度一直增大。

[易错提醒]

(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。

(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。

[集训冲关]

1．(2019·泰州模拟)如图是在玩“跳跳鼠”的儿童，该玩具弹簧上端连接脚踏板，下端连接跳杆，儿童在脚踏板上用力向下压缩弹簧，然后弹簧将人向上弹起，最终弹簧将跳杆带离地面。下列说法正确的是(　　)

A．从人被弹簧弹起到弹簧第一次恢复原长，人一直向上加速运动

B．无论下压弹簧的压缩量多大，弹簧都能将跳杆带离地面

C．人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人和“跳跳鼠”组成的系统机械能增加

D．人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人和“跳跳鼠”组成的系统机械能守恒

解析：选C　从人被弹簧弹起到弹簧第一次恢复原长，人先向上做加速运动，当人的重力与弹力相等时，速度最大，由于惯性人向上做减速运动，故A错误；当下压弹簧的压缩量较小时，弹簧的拉伸量也较小，小于跳杆的重力时，跳杆不能离开地面，故B错误；人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人的体能转化为系统的机械能，所以人和“跳跳鼠”组成的系统机械能增加，故C正确，D错误。

2.[多选](2018·济南二模)如图所示，长为3l的轻质细杆一端可绕O点自由转动，杆上距O点l和3l处分别固定质量均为m的小球A、B。现将细杆拉至水平，并由静止释放，忽略一切摩擦及空气阻力，则当杆由水平转到竖直位置过程中(　　)

A．此过程A球机械能守恒，B球机械能守恒

B．此过程A球机械能减少，B球机械能增加

C．当杆达到竖直位置时，球B的速度大小为2

D．当杆达到竖直位置时，OA段杆对球的拉力大小为mg

解析：选BD　整个过程中，A、B球所组成的系统的机械能守恒，得：mgl＋3mgl＝mvA2＋mvB2，由于两者的角速度相等，所以有：vB＝3vA，联立解得：vA＝2 ，所以B球速度大小为vB＝6 ，故C错误；A球的重力势能的减少量为：ΔEp＝mgl，A球的动能的增量为：ΔEk＝mvA2＝mgl＜ΔEp，所以A球的重力势能的减少量大于动能的增量，A球的机械能减少，A球机械能的变化量等于B球的机械能的变化量，所以B球机械能增加，故A错误，B正确；当杆达到竖直位置时，对B球有：TAB－mg＝m，得：TAB＝mg，对A球有：TOA－TAB－mg＝m，得：TOA＝mg，故D正确。

非质点类机械能守恒问题

像“液柱”、“链条”、“过山车”类物体，在其运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了。

(一)“液柱”类问题

1.如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　)

A. 　　　　　　 　B.

C.    D.

解析：选A　当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝ ，故A正确。

(二)“链条”类问题

2．如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：

(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；

(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？

解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。

(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，

高度减少量h＝sin α＝sin α

该部分的质量为m′＝(L－a)

由机械能守恒定律可得：(L－a)gh＝mv2，

可解得：v＝ 。

答案：(1)守恒　理由见解析　(2)

(三)“过山车”类问题

3．如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L＞2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。

解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，

轨道上那部分列车的质量M′＝·2πR

由机械能守恒定律可得：Mv02＝Mv2＋M′gR

又因圆形轨道顶部车厢应满足：mg＝m，

可求得：v0＝ 。

答案：

(1)物体虽然不能看作质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。

(2)在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。

(3)非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为mv2。