2020版高考一轮复习物理通用版讲义：第五章第4节功能关系能量守恒定律

第4节　功能关系　能量守恒定律

一、功能关系

1.功能关系

(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。

(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。

2．几种常见的功能关系

3．两个特殊的功能关系

(1)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即Ffx相对＝Q。

(2)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W克安＝E电。

二、能量守恒定律

1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失。它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。

2．表达式：ΔE减＝ΔE增。

自然界中虽然能量守恒，但很多能源利用之后不可再重新利用，即能源品质降低，所以要节约能源。

[基础自测]

一、判断题

(1)力对物体做了多少功，物体就具有多少能。(×)

(2)能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少。(×)

(3)在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。(√)

(4)既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源。(×)

(5)节约可利用能源的目的是为了减少污染排放。(×)

(6)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。(√)

(7)一个物体的能量增加，必定有别的物体的能量减少。(√)

二、选择题

1．上端固定的一根细线下面悬挂一摆球，摆球在空气中摆动，摆动的幅度越来越小。对此现象下列说法正确的是(　　)

A．摆球机械能守恒

B．总能量守恒，摆球的机械能正在减少，减少的机械能转化为内能

C．能量正在消失

D．只有动能和重力势能的相互转化

解析：选B　由于空气阻力的作用，摆球的机械能减少，机械能不守恒，减少的机械能转化为内能，内能增加，能量总和不变，B正确。

2．(2016·四川高考)韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功100 J。韩晓鹏在此过程中(　　)

A．动能增加了1 900 J

B．动能增加了2 000 J

C．重力势能减小了1 900 J

D．重力势能减小了2 000 J

解析：选C　根据动能定理得韩晓鹏动能的变化ΔE＝WG＋Wf＝1 900 J－100 J＝1 800 J＞0，故其动能增加了1 800 J，选项A、B错误；根据重力做功与重力势能变化的关系WG＝－ΔEp，所以ΔEp＝－WG＝－1 900 J＜0，故韩晓鹏的重力势能减小了1 900 J，选项C正确，选项D错误。

3．[鲁科版必修2 P44 T5改编]

质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x。则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(　　)

A.mv02－μmg(s＋x)　　　　 B.mv02－μmgx

C．μmgs   D．μmg(s＋x)

解析：选A　由能量守恒定律可知，物体的初动能mv02一部分用于克服弹簧弹力做功，另一部分用于克服摩擦力做功，故物体克服弹簧弹力所做的功为mv02－μmg(s＋x)，故选项A正确。

高考对本节内容的考查，主要集中在功和能的对应关系，特别是合力做功、重力做功、弹力做功与其所对应的能量转化关系，以及对能量守恒定律的理解并能应用该规律解决实际问题，考查的形式有选择题，也有计算题，难度中等。

考点一　功能关系的理解和应用[基础自修类]

[题点全练]

1．[功与机械能变化的关系]

一个系统的机械能增大，究其原因，下列推测正确的是(　　)

A．可能是重力对系统做了功

B．一定是合外力对系统做了功

C．一定是系统克服合外力做了功

D．可能是摩擦力对系统做了功

解析：选D　只有重力做功，系统的机械能守恒，A错误；除重力、弹力之外的力做正功时，系统机械能增加，做负功则减少，故B、C错误；如果摩擦力对系统做正功，则系统机械能增加，故D正确。

2．[弹簧弹力、摩擦力做功时的功能关系]

轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示。弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴。现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示。物块运动至x＝0.4 m 处时速度为零。则此时弹簧的弹性势能为(g取10 m/s2)(　　)

A．3.1 J　　　　　　　　　 B．3.5 J

C．1.8 J   D．2.0 J

解析：选A　物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F x图像面积表示功，结合题图可知物块运动至x＝0.4 m处时，F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由功能关系可知，W－Wf＝Ep，此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1 J，选项A正确。

3．[重力、摩擦力做功时的功能关系]

(多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度大小为g。此物体在斜面上能够上升的最大高度为h。则在这个过程中物体(　　)

A．重力势能增加了mgh   B．机械能损失了mgh

C．动能损失了mgh   D．克服摩擦力做功mgh

解析：选AB　加速度大小a＝g＝，解得摩擦力Ff＝mg，物体在斜面上能够上升的最大高度为h，所以重力势能增加了mgh，故A项正确；机械能损失了Ffx＝mg·2h＝mgh，故B项正确；动能损失量为克服合外力做功的大小ΔEk＝F合外力·x＝mg·2h＝mgh，故C项错误；克服摩擦力做功mgh，故D项错误。

[名师微点]

1．对功能关系的理解

(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。

(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。

2．功能关系的应用

(1)物体动能增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功。

(2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功。

(3)机械能增加与减少要看重力之外的力对物体做正功还是做负功。

考点二　摩擦力做功与能量的关系[师生共研类]

1．两种摩擦力做功的比较

2．三步求解相对滑动物体的能量问题

[典例]　如图所示，一质量为m＝1.5 kg的滑块从倾角为θ＝37°的斜面上自静止开始下滑，滑行距离s＝10 m后进入半径为R＝9 m的光滑圆弧AB，其圆心角为θ，然后水平滑上与平台等高的小车。已知小车质量为M＝3.5 kg，滑块与斜面及小车表面间的动摩擦因数μ＝0.35，地面光滑且小车足够长，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：

(1)滑块在斜面上滑行的时间t1；

(2)滑块脱离圆弧末端B点前，轨道对滑块支持力的大小；

(3)当小车开始匀速运动时，滑块在车上滑行的距离s1。

[解析]　(1)设滑块在斜面上滑行的加速度为a，由牛顿第二定律，有

mgsin θ－μmgcos θ＝ma，又s＝at12

联立以上两式，代入数据解得a＝3.2 m/s2，t1＝2.5 s。

(2)滑块在圆弧AB上运动过程，由机械能守恒定律，有

mvA2＋mgR(1－cos θ)＝mvB2，其中vA＝at1

由牛顿第二定律，有FB－mg＝m

联立以上各式，代入数据解得轨道对滑块的支持力

FB≈31.7 N。

(3)滑块在小车上滑行时的加速度大小：a1＝μg＝3.5 m/s2

小车的加速度大小：a2＝＝1.5 m/s2

小车与滑块达到共同速度时小车开始匀速运动，满足vB－a1t2＝a2t2

由(2)可知滑块刚滑上小车的速度vB＝10 m/s，代入上式得t2＝2 s，所以最终同速时的速度v＝vB－a1t2＝3 m/s

由功能关系可得：μmg·s1＝mvB2－(m＋M)v2

解得：s1＝10 m。

[答案]　(1)2.5 s　(2)31.7 N　(3)10 m

[延伸思考]

(1)滑块在斜面上下滑时产生的摩擦热是多少焦？

(2)滑块在小车上滑行时滑块与小车组成的系统产生的摩擦热是多少焦？

(3)小车足够长有什么物理意义？

(4)要使滑块能从小车的右端滑出去，小车的长度应满足什么条件？

提示：(1)滑块在斜面上下滑时产生的摩擦热Q1＝μmgcos θ·s＝42 J。

(2)滑块在小车上滑行时滑块与小车组成的系统产生的摩擦热Q2＝μmg·s1＝mvB2－(m＋M)v2＝52.5 J。

(3)小车足够长，说明滑块最终没有从小车右端滑出，地面光滑时，滑块与小车最终以相同的速度匀速前进。

(4)要使滑块能从小车的右端滑出去，小车的长度l应满足：l<s1＝10 m。

[题点全练]

1．[摩擦力做功与动能、机械能变化的关系]

(多选)如图，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为Ff，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。此过程中，下列结论正确的是(　　)

A．小物块到达小车最右端时具有的动能为(F－Ff)(L＋x)

B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ffx

C．小物块克服摩擦力所做的功为Ff(L＋x)

D．小物块和小车增加的机械能为Fx

解析：选ABC　由动能定理可得小物块到达小车最右端时的动能Ek物＝W合＝(F－Ff)(L＋x)，A正确；小车的动能Ek车＝Ffx，B正确；小物块克服摩擦力所做的功Wf＝Ff(L＋x)，C正确；小物块和小车增加的机械能为F(L＋x)－FfL，D错误。

2．[摩擦力做功与v­t图像的综合]

如图甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝2 kg的另一物体B(可看成质点)以水平速度v0＝2 m/s滑上原来静止的长木板A的上表面。由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示。下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)

A．木板A获得的动能为2 J

B．系统损失的机械能为4 J

C．木板A的最小长度为2 m

D．A、B间的动摩擦因数为0.1

解析：选D　由题给图像可知，A、B的加速度大小都为1 m/s2，根据牛顿第二定律知二者质量相等，木板获得的动能为1 J，选项A错误；系统损失的机械能ΔE＝mv02－·2m·v2＝2 J，选项B错误；由v ­t图像可求出二者相对位移为1 m，选项C错误；分析B的受力，根据牛顿第二定律，可求出μ＝0.1，选项D正确。

3．[传送带问题中摩擦力做功与摩擦热的问题]

如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以图示速度v匀速运动。物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体运动一段距离能保持与传送带相对静止。对于物体从静止释放到相对传送带静止这一过程，下列说法正确的是(　　)

A．电动机多做的功为mv2

B．摩擦力对物体做的功为mv2

C．传送带克服摩擦力做的功为mv2

D．物体与传送带因摩擦产生的热量为mv2

解析：选D　电动机多做的功转化成了物体的动能和内能，物体从静止释放到相对传送带静止过程中获得的动能为mv2，所以电动机多做的功一定大于mv2，所以A错误；物体从静止释放到相对传送带静止过程中只有摩擦力对物体做功，由动能定理可知，摩擦力对物体做的功等于物体动能的变化，即为mv2，所以B错误；物体做匀加速直线运动的末速度为v，故此过程中物体的平均速度为，传送带的速度为v，则此过程传送带的位移为物体位移的2倍，因为摩擦力对物体做功为mv2，故传送带克服摩擦力做的功为mv2，故C错误；传送带克服摩擦力做的功为mv2，物体获得的动能为mv2，根据能量守恒定律知，物体与传送带因摩擦产生的热量为mv2，故D正确。

考点三　能量守恒定律的应用[基础自修类]

[题点全练]

1．[能量守恒定律的应用]

如图，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球。一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向夹角为60°时，拉力的功率为(　　)

A．mgLω　　　　　　　 B.mgLω

C.mgLω   D.mgLω

解析：选C　由能的转化与守恒可知：拉力的功率等于克服重力的功率，PF＝PG＝mgvy＝mgvcos 60°＝mgωL，故选C。

2．[能量守恒定律、功能关系的应用]

(多选)如图所示，轻质弹簧上端固定，下端系一物体。物体在A处时，弹簧处于原长状态。现用手托住物体使它从A处缓慢下降，到达B处时，手和物体自然分开。此过程中，物体克服手的支持力所做的功为W。不考虑空气阻力。关于此过程，下列说法正确的有(　　)

A．物体重力势能减小量一定大于W

B．弹簧弹性势能增加量一定小于W

C．物体与弹簧组成的系统机械能增加量为W

D．若将物体从A处由静止释放，则物体到达B处时的动能为W

解析：选AD　根据能量守恒定律可知，在此过程中减少的重力势能mgh＝ΔEp＋W，所以物体重力势能减小量一定大于W，不能确定弹簧弹性势能增加量与W的大小关系，故A正确，B错误；支持力对物体做负功，所以物体与弹簧组成的系统机械能减少W，所以C错误；若将物体从A处由静止释放，从A到B的过程，根据动能定理：Ek＝mgh－ΔEp＝W，所以D正确。

3．[功能原理的应用]

(2017·全国卷Ⅰ)一质量为8.00×104 kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60×105 m处以7.50×103 m/s的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100 m/s 时下落到地面。取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8 m/s2。(结果保留两位有效数字)

(1)分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；

(2)求飞船从离地面高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。

解析：(1)飞船着地前瞬间的机械能为

Ek0＝mv02 ①

式中，m和v0分别是飞船的质量和着地前瞬间的速率。由①式和题给数据得

Ek0＝4.0×108 J ②

设地面附近的重力加速度大小为g。飞船进入大气层时的机械能为

Eh＝mvh2＋mgh ③

式中，vh是飞船在高度1.60×105 m处的速度大小。

由③式和题给数据得

Eh＝2.4×1012 J。 ④

(2)飞船在高度h′＝600 m处的机械能为

Eh′＝m2＋mgh′ ⑤

由功能关系得

W＝Eh′－Ek0 ⑥

式中，W是飞船从高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功。

由②⑤⑥式和题给数据得

W＝9.7×108 J。

答案：(1)4.0×108 J　2.4×1012 J　(2)9.7×108 J

[名师微点]

1．对能量守恒定律的两点理解

(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

2．能量转化问题的解题思路

(1)当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。

(2)解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。

“STS问题”巧迁移——与生产、生活相联系的能量守恒问题

(一)列车车厢间的摩擦缓冲装置

1．如图是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图。图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦。在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中(　　)

A．缓冲器的机械能守恒

B．摩擦力做功消耗机械能

C．垫板的动能全部转化为内能

D．弹簧的弹性势能全部转化为动能

解析：选B　列车车厢之间的摩擦缓冲装置在车厢相互撞击过程中有摩擦力，弹簧弹力做功有动能、弹性势能的相互转化，也有摩擦热的产生，能量转移或转化过程中满足能量守恒定律。在车厢相互撞击使弹簧压缩过程中，由于要克服摩擦力做功，且缓冲器所受合外力做功不为零，因此机械能不守恒，A项错误；克服摩擦力做功消耗机械能，B项正确；撞击以后垫板和车厢有相同的速度，因此动能并不为零，C项错误；压缩弹簧过程弹簧的弹性势能增加，并没有减小，D项错误。

(二)儿童乐园中的蹦床运动

2．在儿童乐园的蹦床项目中，小孩在两根弹性绳和蹦床的协助下实现上下弹跳。如图所示，某次蹦床活动中小孩静止时处于O点，当其弹跳到最高点A后下落可将蹦床压到最低点B。小孩可看成质点，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)

 A．从A运动到O，小孩重力势能减少量大于动能增加量

B．从O运动到B，小孩动能减少量等于蹦床弹性势能增加量

C．从A运动到B，小孩机械能减少量小于蹦床弹性势能增加量

D．若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床弹性势能减少量

解析：选A　从A运动到O，小孩重力势能减少量等于动能增加量与弹性绳的弹性势能的增加量之和，选项A正确；从O运动到B，小孩动能和重力势能的减少量等于弹性绳和蹦床的弹性势能的增加量，选项B错误；从A运动到B，小孩机械能减少量大于蹦床弹性势能增加量，选项C错误；若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床和弹性绳弹性势能减少量之和，选项D错误。

(三)带有储能装置的汽车

3．(多选)某汽车研发机构在汽车的车轮上安装了小型发电机，将减速时的部分动能转化并储存在蓄电池中，以达到节能的目的。某次测试中，汽车以额定功率行驶一段距离后关闭发动机，测出了汽车动能Ek与位移x的关系图像如图所示，其中①是关闭储能装置时的关系图线，②是开启储能装置时的关系图线。已知汽车的质量为1 000 kg，设汽车运动过程中所受地面阻力恒定，空气阻力不计。根据图像所给的信息可求出(　　)

A．汽车行驶过程中所受地面的阻力为1 000  N

B．汽车的额定功率为80 kW

C．汽车加速运动的时间为22.5 s

D．汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为5×105 J

解析：选BD　由图线①求所受阻力，由ΔEkm＝FfΔx，得Ff＝ N＝2 000 N，A错误；由Ekm＝mvm2可得，vm＝40 m/s，所以P＝Ffvm＝80 kW，B正确；加速阶段，Pt－Ffx＝ΔEk，得t＝16.25 s，C错误；根据能量守恒定律，并由图线②可得，ΔE＝Ekm－Ffx′＝8×105 J－2×103×150 J＝5×105 J，D正确。

(四)工地上运送建筑材料的传送带

4．(多选)如图所示为某建筑工地所用的水平放置的运输带，在电动机的带动下运输带始终以恒定的速度v0＝1 m/s顺时针传动。建筑工人将质量为m＝2 kg的建筑材料静止地放到运输带的最左端，同时建筑工人以v0＝1 m/s的速度向右匀速运动。已知建筑材料与运输带之间的动摩擦因数为μ＝0.1，运输带的长度为L＝2 m，重力加速度大小为g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)

A．建筑工人比建筑材料早到右端0.5 s

B．建筑材料在运输带上一直做匀加速直线运动

C．因运输建筑材料电动机多消耗的能量为1 J

D．运输带对建筑材料做的功为1  J

解析：选AD　建筑工人匀速运动到右端，所需时间t1＝＝2 s，假设建筑材料先加速再匀速运动，加速时的加速度大小为a＝μg＝1 m/s2，加速的时间为t2＝＝1 s，加速运动的位移为x1＝t2＝0.5 m<L，假设成立，因此建筑材料先加速运动再匀速运动，匀速运动的时间为t3＝＝1.5 s，因此建筑工人比建筑材料早到达右端的时间为Δt＝t3＋t2－t1＝0.5 s，A正确，B错误；建筑材料与运输带在加速阶段摩擦生热，该过程中运输带的位移为x2＝v0t2＝1 m，则因摩擦而生成的热量为Q＝μmg(x2－x1)＝1 J，由动能定理可知，运输带对建筑材料做的功为W＝mv02＝1 J，则因运输建筑材料电动机多消耗的能量为2 J，C错误，D正确。

与生产、生活相联系的能量守恒问题往往具有试题情景新颖，所叙述的内容可能平时很少涉及，但问题的实质仍是能量转化与守恒定律的应用。对于该类问题，可通过认真读题，确定所研究的物理过程的初、末状态，分析在状态变化过程中哪些形式的能量减少了，又有哪些形式的能量增加了，然后根据ΔE减＝ΔE增列式求解。