2020浙江高考数学二轮讲义：专题六第3讲　独立重复试验模型及二项分布

第3讲　独立重复试验模型及二项分布

相互独立事件

[核心提炼]

相互独立事件

(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．

(3)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

[典型例题]

(1)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)小明喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游玩经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通过的概率分别为，，(这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响)，则小明在开启一个新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为________，设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X的数学期望为________．

(2)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．

①求至少有一种新产品研发成功的概率；

②若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

【解】　(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.

又P(X＝2)＝(1－)××＋×(1－)×＋××(1－)＝，

P(X＝0)＝××＝，

P(X＝1)＝××＋××＋××＝，

P(X＝3)＝××＝.

所以，随机变量X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

故填和.

(2)记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．

①记H＝{至少有一种新产品研发成功}，

则＝，

于是P()＝P()P()＝×＝，

故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.

②设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X＝0)＝P()＝×＝，

P(X＝100)＝P(F)＝×＝，

P(X＝120)＝P(E)＝×＝，

P(X＝220)＝P(EF)＝×＝，

故所求X的分布列为

数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.

(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．

(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．

(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．

与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：　

[对点训练]

1．天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为P，若至少一个地方降雨的概率为0.44，则P的值为(　　)

A．0.1　　　　B．0.2　　　　C．0.3　　　　D．0.4

解析：选C.设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则至少一个地方降雨的事件C＝(AB)∪(B)∪(A )．

所以P(C)＝P(AB)＋P(B)＋P(A )

＝0.2P＋0.8P＋0.2(1－P)＝0.44，解得P＝0.3.

2．(2019·温州十五校联合体期末联考)王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.若走L1路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为________；若走L2路线，王先生遇到红灯次数X的数学期望为________．

解析：走L1路线最多遇到1次红灯的概率为C×()3＋C××()2＝；

依题意X的可能取值为0，1，2，则由题意P(X＝0)＝(1－)(1－)＝，

P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)·＝，P(X＝2)＝·＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

答案：　

两点分布、二项分布

[核心提炼]

1．两点分布

若随机变量X服从两点分布，则其分布列为

其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

2．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

[典型例题]

(1)若离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E(X)＝(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．2或

C.   D．1

(2)在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖，已知教师甲投进每个球的概率都是.

①记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望和方差；

②求教师甲在一场比赛中获奖的概率．

【解】　(1)选C.因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.

(2)①X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X～B(6，)，P(X＝k)＝C·()k·()6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)．

所以X的分布列为

因为X～B(6，)，所以E(X)＝6×＝4.

D(X)＝6××＝.

②设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，

则P(A)＝C·()2·()4＋C··()5＋()6＝，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为.

(1)独立重复试验满足的条件

独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)二项分布的判断

①每次试验中，事件发生的概率是相同的．

②各次试验中的事件是相互独立的．

③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．

④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．　

[对点训练]

1．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　   D.

解析：选B.因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以η～B(4，)，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－－C××＝.

2．某风沙盐碱地为了摆脱经济不发达的困扰，决定种植一片环保林，已知在一年中，该环保林在当地每季度遭受自然灾害的概率为，且每次受灾与否互不影响．若在1年内，没有受灾，地方经济可增加100万元；受灾一次，仍可增加40万元；受灾2次，经济可增加10万元；若受灾3次或3次以上，地方经济不但没有增加反而减少10万元．求该地种植环保林后在1年内的经济增加值X的分布列和数学期望．

解：依题意：X的可能取值为100，40，10，－10.

且P(X＝100)＝C×＝，

P(X＝40)＝C×＝，

P(X＝10)＝C×＝，

P(X＝－10)＝C×＋C×＝.

所以X的分布列为

所以E(X)＝100×＋40×＋10×＋(－10)×＝.

专题强化训练

1．如果ξ～B(5，0.1)，那么P(ξ≤2)＝(　　)

A．0.072 9　　　　　　　　 B．0.008 56

C．0.918 54   D．0.991 44

解析：选D.P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)

＝C·(0.1)k·(0.9)5－k

＝(0.9)5＋5×(0.1)×(0.9)4＋×(0.1)2×(0.9)3

＝0.590 49＋0.328 05＋0.072 9

＝0.991 44.

2．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率为0.8，则他罚球两次得分的均值为(　　)

A．0.8分   B．1.2分

C．1.6分   D．2分

解析：选C.设罚球得分为X，则X的所有取值为0，1，2.

P(X＝0)＝C×0.80×0.22＝0.04，

P(X＝1)＝C×0.8×0.2＝0.32，

P(X＝2)＝C×0.82×0.20＝0.64，

E(X)＝0.04×0＋0.32×1＋0.64×2＝1.6.

3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选C.依题意，得P(A)＝，P(B)＝，且事件A，B相互独立，则事件A，B中至少有一个发生的概率为1－P(·)＝1－P()·P()＝1－×＝，故选C.

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)

A．0.648   B．0.432

C．0.36   D．0.312

解析：选A.3次投篮投中2次的概率为P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(X＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.

5．(2019·台州高三期末质量评估)经检测，有一批产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P(ξ＝k)取得最大值时，k的值为(　　)

A．5　　　　　　　　　　   B．4

C．3   D．2

解析：选B.根据题意得，P(ξ＝k)＝C(1－)5－k，k＝0，1，2，3，4，5，则P(ξ＝0)＝C×＝，P(ξ＝1)＝C()1×()4＝，P(ξ＝2)＝C()2×()3＝，P(ξ＝3)＝C()3×()2＝，P(ξ＝4)＝C()4×()1＝，P(ξ＝5)＝C()5×()0＝，故当k＝4时，

P(ξ＝k)最大．

6．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的数学期望E(η)>，则p的取值范围是(　　)

A.   B．(0，1)

C.   D.

解析：选A.由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，又p∈(0，1)，所以p∈.

7．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________．

解析：依题意，X～B(100，0.02)，所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.

答案：1.96

8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．

解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(  )＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝＝，

甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P( )＝1－＝.

答案：

9．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．

解析：抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B，

E(X)＝10×＝.

答案：

10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．

解析：由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，所以p＝.

随机变量X的分布列为：

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

答案：

11．(2019·开封第一次模拟)某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

(1)设X表示1个生产周期此产品的利润，求X的分布列；

(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．

解：(1)设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，

因为利润＝产量×市场价格－成本，

所以X的所有值为

50×1－20＝30，50×0.6－20＝10，

30×1－20＝10，30×0.6－20＝－2，

则P(X＝30)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，

P(X＝10)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，

P(X＝－2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，

则X的分布列为

(2)设Ci表示事件“第i个生产周期的利润不少于10万元”

(i＝1，2，3)，则C1，C2，C3相互独立，

由(1)知，P(Ci)＝P(X＝30)＋P(X＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，

连续3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512，

连续3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P(C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2)＝3×0.82×0.2＝0.384，

所以连续3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.

12．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．

(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；

(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列及数学期望．

解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A，

则P(A)＝C××＝.

(2)X的所有可能取值为0，5，10，15，20.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝5)＝C××＝，

P(X＝10)＝×＋×＝，

P(X＝15)＝C××＝，

P(X＝20)＝＝.

X的分布列为：

E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝.

13．在2017年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响．

(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列、并计算其数学期望；

(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．

解：(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ，η.则ξ的可能取值为1，2，3，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝，

所以考生甲正确回答题数的分布列为

E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.

又η～B，其分布列为

所以E(η)＝np＝3×＝2.

(2)因为D(ξ)＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝.

D(η)＝np(1－p)＝3××＝.

所以D(ξ)<D(η)．

因为P(ξ≥2)＝＋＝0.8.

P(η≥2)＝＋≈0.74，

所以P(ξ≥2)>P(η≥2)．

从回答对题数的数学期望考查，两个水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查．甲通过的可能性大．因此可以判断甲的通过能力较强．

14．某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：

且ξ1的期望E(ξ1)＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与ξ2的关系如下表所示：

(1)求m，n的值；

(2)求ξ2的分布列；

(3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围．

解：(1)由题意得

解得m＝0.5，n＝0.1.

(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，

P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，

P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，

P(ξ2＝204)＝p(1－p)，

所以ξ2的分布列为：

(3)由(2)可得：

E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，

由E(ξ1)＜E(ξ2)，得120＜－10p2＋10p＋117.6，

解得：0.4＜p＜0.6，

即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)．