课时作业(二十) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用 练习
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一、选择题
1．函数最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：由函数的最小正周期为π，排除C；由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B，因为sin＝sin ＝1，所以选B.
答案：B
2．(2016·全国卷乙)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
答案：D
3．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.
由f＝0，f＝0，排除C.
答案：A
4．(2017·陕西西安市第一次质量检测)将函数f(x)＝sin(x＋)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：将函数f(x)＝sin(x＋)的图象上各点的纵坐标不变，模坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin(x＋)的图象，由x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝.
故应选D.
答案：D
5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位得y＝sin＝sin的图象．
又其为奇函数，则＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－.
又|φ|<，令k＝0，得φ＝－，
∴f(x)＝sin.
又∵x∈，
∴sin∈，即当x＝0时，f(x)min＝－，故选A.
答案：A
6．(2017·福建龙岩一模)已知函数f(x)＝Asin
(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，为了得到g(x)＝Asin ωx的图象，只需将f(x)的图象( )
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
解析：∵△EFG是边长为2的正三角形，∴三角形的高为，即A＝.
由题意可知函数的周期T＝4，即T＝＝4，解得ω＝＝，
则f(x)＝sin，g(x)＝sin x，
由于f(x)＝sin＝sin，故为了得到g(x)＝ sinx的图象，只需将f(x)的图象向左平移个长度单位．故选A.
答案：A
二、填空题
7．若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则f＝________.
解析：由f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，得ω＝4.所以f＝sin＝0.
答案：0
8．(2016·江苏，9)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．
解析：在同一平面直角坐标系中作出y＝sin 2x与y＝cos x在区间[0,3π]上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．
答案：7
9．(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
解析：y＝3sin＋k，
当sin＝－1时，ymin＝k－3＝2，
∴k＝5.
∴当sin＝1时，ymax＝k＋3＝8.
答案：8
三、解答题
10．(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ | 0 | π | 2π | ||
x |
|
|
| ||
Asin(ωx＋φ) | 0 | 5 |
| －5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解析：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx＋φ) | 0 | 5 | 0 | －5 | 0 |
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，得
g(x)＝5sin.
因为y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
11．函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解析：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1<x0<2，
故<πx0＋<，
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos
＝cos＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx
＝cos πx－sin πx＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
12．已知函数f(x)＝2sin2＋cos 2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解析：(1)由f(x)＝2sin2＋cos 2x
＝1－cos＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x
＝1＋2sin，
则由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由f(x)－m＝2，得f(x)＝m＋2，
当x∈时，2x＋∈，
由图象得f(0)＝1＋2sin ＝1＋，函数f(x)的最大值为1＋2＝3，
∴要使方程f(x)－m＝2在x∈上有两个不同的解，则f(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的解，
即函数f(x)和y＝m＋2在x∈上有两个不同的交点，即1＋≤m＋2<3，
即－1≤m<1.
