课时作业(四十七) 圆的方程 练习

课时作业(四十七)　圆的方程

一、选择题

1．(2016·北京，5)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)

A．1  B．2

C.  D．2

解析：由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线y＝x＋3化成一般形式为x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离d＝＝.故选C.

答案：C

2．经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点(2,0)的圆的标准方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4

D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4

解析：设圆心的坐标为(a，b)，

则a2＋b2＝r2①，

(a－2)2＋b2＝r2②，

＝1③，

联立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.

故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

故选A.

答案：A

3．(2017·山西太原五中模拟，5)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)

A.     B.

C.  D.

解析：设圆心为P.因为△ABC外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，即直线x＝1上，可设圆心P(1，p)，由PA＝PB得|p|＝，解得p＝，

所以圆心坐标为P，

所以圆心到原点的距离|OP|＝＝＝.故选B.

答案：B

4．(2017·山西运城二模，6)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为(　　)

A．3x＋y－5＝0  B．x－2y＝0

C．x－2y＋4＝0  D．2x＋y－3＝0

解析：直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在的直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故选D.

答案：D

5．(2017·成都一诊)已知A，B为圆C：(x－m)2＋(y－n)2＝9(m，n∈R)上两个不同的点，C为圆心，且满足|＋|＝2，则|AB|＝(　　)

A．2  B．4

C.     D．2

解析：∵C为圆心，A，B在圆上，∴取AB的中点为O，连接CO，有CO⊥AB，且＋＝2，∴||＝，又圆C的半径R＝3，∴|AB|＝2＝2×＝4，故选B.

答案：B

6．(2017·福建师大附中联考，12)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么·的最小值为(　　)

A．－4＋   B．－3＋

C．－4＋2  D．－3＋2

解析：设|PO|＝t，向量与的夹角为θ，

则||＝||＝，sin＝，cosθ＝1－2sin2＝1－，∴·＝||||cosθ＝(t2－1)·(t>1)，∴·＝t2＋－3(t>1)，利用基本不等式可得·的最小值为2－3.故选D.

答案：D

二、填空题

7．(2016·浙江，10)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

解析：方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即2＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.

答案：(－2，－4)；5

8．(2017·广东肇庆二模)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，求圆C的方程是__________________．

解析：根据题意，直线x－y＋1＝0与x轴的交点为⇒(－1,0)，因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝＝，则圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.

答案：(x＋1)2＋y2＝2

9．(2017·河北邯郸一中二模，16)已知圆O：x2＋y2＝8，点A(2,0)，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为________．

解析：设|MA|＝a，因为|OM|＝2，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝＝＝·≥·＝，当且仅当a＝2时等号成立，∴∠OMA≤，即∠OMA的最大值为.

答案：

三、解答题

10．在平面直角坐标系xOy中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程．

解析：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.

因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：

解得

所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.

法二：由A，B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)．

又AC＝，得＝.

解得b＝1或b＝－1.

因此，所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.

11．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．

解析：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，

可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.

又|QC|＝＝4.

所以|MQ|max＝4＋2＝6，

|MQ|min＝4－2＝2.

(2)可知表示直线MQ的斜率，

设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.

由直线MQ与圆C有交点，

所以≤2，

可得2－≤k≤2＋，

所以的最大值为2＋，最小值为2－.

12．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解析：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，

所以圆心为C(0,4)，半径为4.

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．

由题设知·＝0，

故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，

即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．

又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为y＝－x＋.

又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，

|PM|＝，所以△POM的面积为.