课时作业(五十) 双曲线 练习

课时作业(五十)　双曲线

一、选择题

1．若双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝(　　)

A.　　　　　B.

C．2         D．4

解析：双曲线方程可化为x2－＝1，

∴实轴长为2，虚轴长为2，

∴2＝2，解得m＝4.

答案：D

2．焦点为(0,6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

解析：设所求双曲线的方程为－y2＝λ，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点在y轴上，所以λ＝－12，选B.

答案：B

3．(2017·四川成都模拟，9)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若E上存在一点P，使△F1F2P为等腰三角形，且其顶角为，则的值是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由题意，可得∠PF2x＝60°，|PF2|＝2c，

∴P(2c，c)，

代入双曲线的方程可得－＝1，

∴4b4－3a4＝0，∴＝，故选B.

答案：B

4．(2017·山东烟台质检)点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长之比为345.则双曲线的渐近线方程是(　　)

A．y＝±2x  B．y＝±4x

C．y＝±2x  D．y＝±2x

解析：设△F1PF2的三条边长为|PF1|＝3m，|PF2|＝4m，|F1F2|＝5m，m＞0，则2a＝|PF2|－|PF1|＝m,2c＝|F1F2|＝5m，所以b＝m，所以＝＝2，所以双曲线的渐近线方程是y＝±2x.

答案：D

5．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)

A．(－1,3)  B．(－1，)

C．(0,3)    D．(0，)

解析：通解　因为双曲线－＝1两焦点之间的距离为4，则：

①当焦点在x轴上时，解得

②当焦点在y轴上时，解得m2＝－1(舍去)．

综上，－1＜n＜3.故选A.

优解1　取n＝0，满足题意，排除C，D；取n＝2，满足题意，排除B，选A.

优解2　不考虑双曲线焦点的位置，根据双曲线的性质可得化简可得则－1＜n＜3，故选A.

答案：A

6．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)

A.  B．2

C.  D.

解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，

∴M点的坐标为(2a，a)．

∵M点在双曲线上，

∴－＝1，a＝b，

∴c＝a，e＝＝.故选D.

答案：D

二、填空题

7．(2017·成都二诊)已知双曲线－＝1(a＞0)的一个焦点坐标为(3,0)，则该双曲线的离心率为__________．

解析：因为双曲线的焦点坐标为(3,0)，所以a2＋5＝9，a2＝4，即a＝2，故该双曲线的离心率为.

答案：

8．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3,0)，且焦距与实轴长之比为53，则双曲线的标准方程是__________．

解析：可求得a＝3，c＝5.焦点的位置在x轴上，所得的方程为－＝1.

答案：－＝1

9．(2017·韶关调研)已知双曲线的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率为__________．

解析：由题意，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为||、||、||成等差数列，所以可设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，

作出草图如图所示，由勾股定理可得(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，从而可得d＝m，tan∠AOF＝，tan∠AOB＝tan2∠AOF＝＝＝，所以＝，解得＝，则离心率e＝＝＝.

答案：

三、解答题

10．(2016·天津改编)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，求双曲线的方程．

解析：根据对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为(x，y)，于是有⇒则xy＝·＝⇒b2＝12. 故所求双曲线的方程为－＝1.

11．若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若|AB|＝6，求k的值．

解析：(1)由得

故双曲线E的方程为x2－y2＝1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①

∵直线与双曲线右支交于A，B两点，

故

即所以1＜k＜.

(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|AB|＝·

＝2＝6，

整理得28k4－55k2＋25＝0，

∴k2＝或k2＝.

又1＜k＜，∴k＝.

12．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37.

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

解析：(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，

则

解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.

∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，

|PF1|－|PF2|＝6，

所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.

又|F1F2|＝2，

∴cos∠F1PF2＝

＝＝.