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2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：46 圆的方程
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这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：46 圆的方程，共6页。
[基础达标]
一、选择题
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5
3．[2021·福州质检]设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0A．原点在圆上B．原点在圆外
C．原点在圆内D．不确定
4．[2021·湖南长沙模拟]圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．1＋eq \r(2)B．2
C．1＋eq \f(\r(2),2)D．2＋2eq \r(2)
5．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(0，－1)
二、填空题
6．已知方程x2＋y2－2mx＋2y＝3m－5表示圆，则实数m的取值范围为________．
7．[2021·天津七校联考]已知M(0,2)，N(2，－2)，以线段MN为直径的圆的标准方程为________．
8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
三、解答题
9．已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程．
10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求eq \f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．
[能力挑战]
11．[2021·郑州市高中毕业年级质量预测]圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4
C．(x－4)2＋(y－6)2＝4
D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4
12．[2021黄冈中学、华师附中等八校联考]圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A．36B．18
C．6eq \r(2)D．5eq \r(2)
13．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则eq \f(y－1,x－2)的最大值与最小值分别为________．
课时作业46
1．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＋y＝2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
答案：B
2．解析：圆上任一点(x，y)关于原点的对称点(－x，－y)在圆(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－2)2＋y2＝5.
答案：A
3．解析：将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，
因为00，
即eq \r((0＋a)2＋(0＋1)2)>eq \r(2a)，所以原点在圆外．
答案：B
4．解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝eq \r(2)＋1，故选A.
答案：A
5．解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径
r＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2)eq \r(－3k2＋4)，
当k＝0时，rmax＝eq \f(1,2)eq \r(4)＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．
答案：D
6．解析：由D2＋E2－4F＝4m2＋4－4(－3m＋5)>0，解得m>1或m<－4.
答案：(－∞，－4)∪(1，＋∞)
7．解析：由题意易得圆心的坐标为(1,0)，|MN|＝eq \r(22＋(－2－2)2)＝2eq \r(5)，所以圆的半径为eq \r(5)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝5.
答案：(x－1)2＋y2＝5
8．解析：∵圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圆心为(－1,2)，且5－a>0，
即a<5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
答案：(－∞，1)
9．解析：解法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((－6)2－6E＋F＝0,12＋(－5)2＋D－5E＋F＝0，,D－E－2＝0))
消去F得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＋E－10＝0,D－E－2＝0))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝6,E＝4))，代入求得F＝－12，
所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，
标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
解法二 因为A(0，－6)，B(1，－5)，
所以线段AB的中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(11,2)))，
直线AB的斜率kAB＝eq \f(－5－(－6),1－0)＝1，
因此线段AB的垂直平分线l的方程是
y＋eq \f(11,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即x＋y＋5＝0.
圆心C的坐标是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋5＝0,x－y＋1＝0))的解，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3,y＝－2))，
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长
r＝|AC|＝eq \r((0＋3)2＋(－6＋2)2)＝5，
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
10．解析：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2eq \r(2)，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋2×7－t|,\r(12＋22))≤2eq \r(2)，
解上式得，16－2eq \r(10)≤t≤16＋2eq \r(10)，
所以所求的最大值为16＋2eq \r(10).
(2)记点Q(－2,3)，
因为eq \f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率k，
所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2).
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，所以eq \f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).
11．解析：圆关于直线的对称图形仍然是圆，只不过圆心位置发生了变化，半径不变，因此只需求出圆心(－2,12)关于直线x－y＋8＝0的对称点．设对称的圆的圆心为(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－12,m＋2)＝－1,\f(m－2,2)－\f(n＋12,2)＋8＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4,n＝6))，所以所求圆的圆心为(4,6)，故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4，故选C.
答案：C
12．解析：解法一 由x2＋y2－4x－4y－10＝0得(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以圆心坐标为(2,2)，半径为3eq \r(2).由点到直线的距离公式得圆心(2,2)到直线x＋y－14＝0的距离d＝eq \f(|2＋2－14|,\r(2))＝5eq \r(2)，因为5eq \r(2)＞3eq \r(2)，所以直线与圆相离，所以圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为3eq \r(2)×2＝6eq \r(2)，故选C.
解法二 由x2＋y2－4x－4y－10＝0得(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以圆心坐标为(2,2)，半径为3eq \r(2).设圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋3\r(2)cs θy＝2＋3\r(2)sin θ))(θ为参数)，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的距离d＝eq \f(|2＋3\r(2)cs θ＋2＋3\r(2)sin θ－14|,\r(2))＝eq \f(|6sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－10|,\r(2))，所以当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－1时d取得最大值，最大值为8eq \r(2)；当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1时d取得最小值，最小值为2eq \r(2).所以圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为8eq \r(2)－2eq \r(2)＝6eq \r(2)，故选C.
答案：C
13．解析：设eq \f(y－1,x－2)＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．
由eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3) －eq \f(\r(3),3)
[基础达标]
一、选择题
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5
3．[2021·福州质检]设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
C．原点在圆内D．不确定
4．[2021·湖南长沙模拟]圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．1＋eq \r(2)B．2
C．1＋eq \f(\r(2),2)D．2＋2eq \r(2)
5．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(0，－1)
二、填空题
6．已知方程x2＋y2－2mx＋2y＝3m－5表示圆，则实数m的取值范围为________．
7．[2021·天津七校联考]已知M(0,2)，N(2，－2)，以线段MN为直径的圆的标准方程为________．
8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
三、解答题
9．已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程．
10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求eq \f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．
[能力挑战]
11．[2021·郑州市高中毕业年级质量预测]圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4
C．(x－4)2＋(y－6)2＝4
D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4
12．[2021黄冈中学、华师附中等八校联考]圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A．36B．18
C．6eq \r(2)D．5eq \r(2)
13．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则eq \f(y－1,x－2)的最大值与最小值分别为________．
课时作业46
1．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＋y＝2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
答案：B
2．解析：圆上任一点(x，y)关于原点的对称点(－x，－y)在圆(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－2)2＋y2＝5.
答案：A
3．解析：将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，
因为0
即eq \r((0＋a)2＋(0＋1)2)>eq \r(2a)，所以原点在圆外．
答案：B
4．解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝eq \r(2)＋1，故选A.
答案：A
5．解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径
r＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2)eq \r(－3k2＋4)，
当k＝0时，rmax＝eq \f(1,2)eq \r(4)＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．
答案：D
6．解析：由D2＋E2－4F＝4m2＋4－4(－3m＋5)>0，解得m>1或m<－4.
答案：(－∞，－4)∪(1，＋∞)
7．解析：由题意易得圆心的坐标为(1,0)，|MN|＝eq \r(22＋(－2－2)2)＝2eq \r(5)，所以圆的半径为eq \r(5)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝5.
答案：(x－1)2＋y2＝5
8．解析：∵圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圆心为(－1,2)，且5－a>0，
即a<5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
答案：(－∞，1)
9．解析：解法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((－6)2－6E＋F＝0,12＋(－5)2＋D－5E＋F＝0，,D－E－2＝0))
消去F得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＋E－10＝0,D－E－2＝0))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝6,E＝4))，代入求得F＝－12，
所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，
标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
解法二 因为A(0，－6)，B(1，－5)，
所以线段AB的中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(11,2)))，
直线AB的斜率kAB＝eq \f(－5－(－6),1－0)＝1，
因此线段AB的垂直平分线l的方程是
y＋eq \f(11,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即x＋y＋5＝0.
圆心C的坐标是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋5＝0,x－y＋1＝0))的解，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3,y＝－2))，
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长
r＝|AC|＝eq \r((0＋3)2＋(－6＋2)2)＝5，
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
10．解析：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2eq \r(2)，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋2×7－t|,\r(12＋22))≤2eq \r(2)，
解上式得，16－2eq \r(10)≤t≤16＋2eq \r(10)，
所以所求的最大值为16＋2eq \r(10).
(2)记点Q(－2,3)，
因为eq \f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率k，
所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2).
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，所以eq \f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).
11．解析：圆关于直线的对称图形仍然是圆，只不过圆心位置发生了变化，半径不变，因此只需求出圆心(－2,12)关于直线x－y＋8＝0的对称点．设对称的圆的圆心为(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－12,m＋2)＝－1,\f(m－2,2)－\f(n＋12,2)＋8＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4,n＝6))，所以所求圆的圆心为(4,6)，故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4，故选C.
答案：C
12．解析：解法一 由x2＋y2－4x－4y－10＝0得(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以圆心坐标为(2,2)，半径为3eq \r(2).由点到直线的距离公式得圆心(2,2)到直线x＋y－14＝0的距离d＝eq \f(|2＋2－14|,\r(2))＝5eq \r(2)，因为5eq \r(2)＞3eq \r(2)，所以直线与圆相离，所以圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为3eq \r(2)×2＝6eq \r(2)，故选C.
解法二 由x2＋y2－4x－4y－10＝0得(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以圆心坐标为(2,2)，半径为3eq \r(2).设圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋3\r(2)cs θy＝2＋3\r(2)sin θ))(θ为参数)，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的距离d＝eq \f(|2＋3\r(2)cs θ＋2＋3\r(2)sin θ－14|,\r(2))＝eq \f(|6sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－10|,\r(2))，所以当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－1时d取得最大值，最大值为8eq \r(2)；当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1时d取得最小值，最小值为2eq \r(2).所以圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为8eq \r(2)－2eq \r(2)＝6eq \r(2)，故选C.
答案：C
13．解析：设eq \f(y－1,x－2)＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．
由eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3) －eq \f(\r(3),3)
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