课时作业(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 练习

课时作业(三)　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、选择题

1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(　　)

A．綈p：∀x∈A,2x∉B　　B．綈p：∀x∉A,2x∉B

C．綈p：∃x0∉A,2x0∈B  D．綈p：∃x0∈A,2x0∉B

解析：命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x0∈A,2x0∉B，故选D.

答案：D

2．命题“∃x0≤0，x≥0”的否定是(　　)

A．∀x≤0，x2<0  B．∀x≤0，x2≥0

C．∃x0>0，x>0  D．∃x0<0，x≤0

解析：命题的否定，存在改为任意，同时x≥0改为x2<0.

答案：A

3．(2017·皖江名校联考，2)命题p：存在x0∈，使sin x0＋cos x0>；命题q：命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1，则四个命题(綈p)∨(綈q)、p∧q、(綈p)∧q、p∨(綈q)中，正确命题的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：因为sin x＋cos x＝sinx＋≤，故命题p为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q为真命题，故(綈p)∨(綈q)真，p∧q假，(綈p)∧q真，p∨(綈q)假．

答案：B

4．(2017·河南商丘二模，6)命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)，下列命题是真命题的为(　　)

A．p∧q      B．p∨q

C．p∧(綈q)  D．綈q

解析：令t＝x2－2x，则函数y＝log2(x2－2x)化为y＝log2t，由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以函数y＝log2(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．函数t＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝1，所以函数t＝x2－2x在(－∞，0)∪(2，＋∞)上的增区间为(2，＋∞)．又因为函数y＝log2t是增函数，所以复合函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，所以函数y＝的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B.

答案：B

5．(2017·山东临沂一模，5)下列四个结论中正确的个数是(　　)

①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；

②命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”；

③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；

④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：对于①，由x2＋x－2>0解得x<－2或x>1，故“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误，

对于②，命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”，故②正确，

对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，若tan x＝1，则x＝kπ＋(k∈Z)，故命题“若tan x＝1，则x＝”为假命题，故③错误，

对于④，f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log23，∴log32与log23不互为相反数，故④错误．故选A.

答案：A

6．已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞)              B．(－∞，－2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)  D．[－2,2]

解析：依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.

答案：A

二、填空题

7．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为________________________________________________________________________．

解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．

答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1

8．下列结论：

①若命题p：∃x0∈R，tan x0＝2；命题q：∀x∈R，x2－x＋>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；

②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；

③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．

其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)

解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(綈q)”是假命题是正确的．在②中，由l1⊥l2，得a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确．

答案：①③

9．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围________．

解析：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0<a≤1.

若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．

∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，∴<a<.

∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，

∴∴<a≤1.

故实数a的取值范围为.

答案：

三、解答题

10．已知命题p：存在一个实数x，使ax2＋ax＋1<0.当a∈A时，非p为真命题，求集合A.

解析：非p为真，即“∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真．

若a＝0，则1≥0成立，即a＝0时非p为真；

若a≠0，则非p为真⇔⇔0<a≤4.

综上知，所求集合A＝{a|0≤a≤4}．

11．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0.q：实数x满足

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解析：由x2－4ax＋3a2<0，且a>0，得a<x<3a，

即p为真命题时，a<x<3a，

由得，

即2<x≤3，

即q为真命题时2<x≤3.

(1)当a＝1时p：1<x<3.

由p∧q为真知p、q均为真命题，

则由得2<x<3，

所以实数x的取值范围是(2,3)．

(2)设A＝{x|a<x<3a}，B＝{x|2<x≤3}，

由题意知p是q的必要不充分条件，

所以BA，

有

∴1<a≤2，

所以实数a的取值范围是(1,2]．

12．已知函数f(x)＝

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

解析：(1)作出函数f(x)的图象，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(x)min＝f(－2)＝1.

(2)对于命题p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；

对于命题q，m2－1＞1，故m＞或m＜－.

由于“p或q”为真，“p且q”为假，则

①若p真q假，则解得－≤m≤1.

②若p假q真，则，解得m＜－3或m＞.

故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．