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    (新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第4章 §3 第1课时 对数函数的概念、图象和性质
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    必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.1 对数函数的概念一等奖第1课时教案及反思

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    这是一份必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.1 对数函数的概念一等奖第1课时教案及反思,共7页。

    §3 对数函数


    第1课时 对数函数的概念、图象和性质














    对数函数的定义、图象与性质


    思考:指数函数y=ax的定义域和值域与对数y=lgax的定义域和值域有什么关系?


    提示:对数函数y=lgax的定义域是指数函数y=ax的值域,对数函数y=lgax的值域是指数函数y=ax的定义域.





    1.下列函数是对数函数的是( )


    A.y=ln eq \f(x,2) B.y=ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-1))


    C.y=lgx2 D.y=lg2x


    [答案] D


    2.函数f(x)=lg2(x-1)的定义域是( )


    A.[1,+∞) B.(1,+∞)


    C.(-∞,1) D.(-∞,1]


    B [由x-1>0,得x>1.]


    3.函数y=lg x的反函数是________.


    [答案] y=10x


    4.已知f(x)=lg3x.


    (1)作出这个函数的图象;


    (2)若f(a)

    [解] (1)作出函数y=lg3x的图象如图所示.





    (2)由图象知:当0

    ∴所求a的取值范围为(0,2).








    对数函数的概念


    【例1】 对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( )


    A.y=lg4x B.y=lg eq \s\up-5(\f(1,4))x


    C.y=lg eq \s\up-5(\f(1,2))x D.y=lg2x


    D [由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=lga16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=lg2x,故选D.]





    判断一个函数是对数函数的方法








    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    1.下列函数是对数函数的是( )


    A.y=lg3x2 B.y=lg3x


    C.y=lgx5 D.y=lg2x+1


    [答案] B





    对数函数的图象


    角度一 对数型函数图象的判断


    【例2】 函数y=ln (1-x)的图象大致为( )





    A B C D


    C [由1-x>0,知x<1,排除选项A、B;


    设t=1-x(x<1),因为t=1-x为减函数,而y=ln t为增函数,


    所以y=ln (1-x)为减函数.


    故选C.]


    角度二 作对数型函数的图象


    【例3】 已知f(x)=lga|x|,满足f(-5)=1,试画出函数f(x)的图象.


    [解] 因为f(-5)=1,所以lga5=1,即a=5,


    故f(x)=lg5|x|= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg5x(x>0),,lg5(-x)(x<0).))


    所以函数y=lg5|x|的图象如图所示.





    角度三 对数函数底数对图象的影响


    【例4】 如图,若C1,C2分别为函数y=lgax和y=lgbx的图象,则( )





    A.0<a<b<1 B.0<b<a<1


    C.a>b>1 D.b>a>1


    B [作直线y=1,则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0<b<a<1.]





    有关对数型函数图象问题的求解技巧


    (1)求函数y=lgaf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))+m(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=1求出x,即得定点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x,m)).


    (2)根据对数函数图象判断底数大小的方法:作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可得底数的大小.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    2.(1)函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=lg2x eq \s\up6(\f(2,3))的图象的大致形状是( )





    A B C D


    (2)若lg a+lg b=0 (a≠1,b≠1),则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=lgax与g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=lgbx的图象( )


    A.关于直线y=x对称B.关于x轴对称


    C.关于y轴对称 D.关于原点对称


    (1)D (2)B [(1)由于f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=lg2x eq \s\up6(\f(2,3))= eq \f(2,3)lg2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)),所以函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),且当x>0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(2,3)lg2x在(0,+∞)上单调递增,又函数是偶函数,所以函数图象关于y轴对称,故选D.


    (2)由 lg a+lg b=0,得b= eq \f(1,a),所以g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=lgbx=lg eq \s\d2(\f(1,a)) eq \s\d2(\f(1,a)))x=-lgax,所以函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象关于x轴对称.]





    对数函数的性质


    【例5】 根据函数f(x)=lg2x的图象和性质求解以下问题:


    (1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;


    (2)求y=lg2(2x-1)在x∈[2,14]上的最值.


    [思路点拨] 可先作出y=lg2x的图象,利用图象考查单调性解决问题.


    [解] 函数y=lg2x的图象如图.





    (1)f(a)>f(2),即lg2a>lg22,又因为y=lg2x是增函数,则a>2.


    所以a的取值范围为(2,+∞).


    (2)∵2≤x≤14,∴3≤2x-1≤27,


    ∴lg23≤lg2(2x-1)≤lg227.


    ∴函数y=lg2(2x-1)在x∈[2,14]上的最小值为lg23,最大值为lg227.





    常见的对数不等式的三种类型


    (1)形如lgax>lgab的不等式,借助y=lgax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论;


    (2)形如lgax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=lgax的单调性求解;


    (3)形如lgax>lgbx的不等式,可利用图象求解.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    3.(1)比较lg2 eq \f(4,5)与lg2 eq \f(3,4)的大小;


    (2)若lg2(2-x)>0,求x的取值范围.


    [解] (1)函数f(x)=lg2x在(0,+∞)上为增函数,


    又∵ eq \f(4,5)> eq \f(3,4),∴lg2 eq \f(4,5)>lg2 eq \f(3,4).


    (2)lg2(2-x)>0,即lg2(2-x)>lg21,


    ∵函数y=lg2x为增函数,


    ∴2-x>1,即x<1.


    ∴x的取值范围为(-∞,1).








    1.解与对数有关的问题,要首先保证在定义域范围内解题,即真数大于零,底数大于零且不等于1.


    2.指数函数y=ax与对数函数y=lgax互为反函数,它们定义域与值域互反,图象关于直线y=x对称.


    3.应注意数形结合思想在解题中的应用.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)对数函数的定义域为R.( )


    (2)y=lg2x2与lgx3都不是对数函数.( )


    (3)对数函数的图象一定在y轴右侧.( )


    (4)函数y=lg2x与y=x2互为反函数.( )


    [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×


    2.函数y=lg2x的图象大致是( )





    A B C D


    C [结合各选项可知,C正确.]


    3.如果函数f(x)=(3-a)x,g(x)=lgax的增减性相同,则a的取值范围是________.


    (1,2) [若f(x),g(x)均为增函数,则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3-a>1,,a>1,))即1<a<2,


    若f(x),g(x)均为减函数,则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0<3-a<1,,0<a<1))无解.]


    4.求下列函数的定义域:


    (1)y=lg3(1-x);


    (2)y= eq \f(1,lg2x);


    (3)y=lg7 eq \f(1,1-3x).


    [解] (1)∵当1-x>0,即x<1时,函数y=lg3(1-x)有意义,


    ∴函数y=lg3(1-x)的定义域为(-∞,1).


    (2)由lg2x≠0,得x>0且x≠1.


    ∴函数y= eq \f(1,lg2x)的定义域为{x|x>0且x≠1}.


    (3)由 eq \f(1,1-3x)>0,得x< eq \f(1,3).


    ∴函数y=lg7 eq \f(1,1-3x)的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,3))).


    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.理解对数函数的概念.(重点)


    2.掌握对数函数的图象,通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质.(重点)


    3.掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.(重点,难点)


    4.了解反函数的概念,会求指数函数或对数函数的反函数.(难点,易混点)
    1.通过对数函数的图象的学习,培养直观想象素养.


    2.借助对数函数性质的应用,培养逻辑推理素养.
    定义
    函数y=lgax(a>0且a≠1)叫做对数函数
    图象
    a>1
    0性质
    定义域(0,+∞)
    值域R
    当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
    当01时,y∈(0,+∞)
    当01时,y∈(-∞,0)
    在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,+∞))上为增函数
    在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,+∞))上为减函数
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