苏教版 (2019)第7章 三角函数本章综合与测试优秀课时作业

这是一份苏教版 (2019)第7章 三角函数本章综合与测试优秀课时作业，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十一) 三角函数应用


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为( )


A．eq \f(1,25) s B．eq \f(1,50) s


C．eq \f(1,75) s D．eq \f(1,100) s


B [最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期，T＝eq \f(2π,100π) s＝eq \f(1,50) s．]


2．如图所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )





A．该简谐运动的振动周期为0．7 s


B．该简谐运动的振幅为5 cm


C．该质点在0．1 s和0．5 s时振动速度最大


D．该质点在0．3 s和0．7 s时振动速度为零


B [由图象知，振幅为5 cm，eq \f(T,2)＝(0．7－0．3)s＝0．4 s，故T＝0．8 s，故A错误；该质点在0．1 s和0．5 s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故C错误；该质点在0．3 s和0．7 s时正好回到平衡位置，而不是振动速度为零，故D错误．]


3．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )





A．4 B．6 C．8 D．10


C [由图象知周期T＝12，最低点的坐标为(9,2)，


代入得eq \f(π,6)×9＋φ＝2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，


∴φ＝2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝0，


当x＝6＋eq \f(3T,4)＝15时，y最大，


列式得eq \f(ymax＋2,2)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×6))＋k，


∴eq \f(3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×15))＋k＋2,2)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×6))＋k，


∴k＝5，


∴eq \f(ymax＋2,2)＝k，ymax＝8．]


二、填空题


4．如图，某地一天从6 h到14 h的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0,0≤φ<2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．





y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14] [由图象可知B＝20，A＝eq \f(30－10,2)＝10，


eq \f(T,2)＝14－6＝8，T＝16＝eq \f(2π,ω)，解得ω＝eq \f(π,8)．


将(6,10)代入y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋φ))＋20可得


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝－1，


由0≤φ<2π可得φ＝eq \f(3π,4)，


∴y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]．]


5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是________．


[0,1]，[7,12] [由题意可知，y＝sin(ωt＋φ)．


又t＝0时，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴φ＝eq \f(π,3)，


又由T＝12可知，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，


∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))．


令2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(π,6)t＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z，∵0≤t≤12，∴令k＝0,1，得0≤t≤1或7≤t≤12，


故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．]


6．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM的长)，巨轮的半径为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)＝________．





30sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋30 [本题考查三角函数的实际应用．建立如图所示的直角坐标系，设点B的方程为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，由题意知A＝30，k＝32，φ＝－eq \f(π,2)，又因为T＝12＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(π,6)，y＝30sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋32，所以吊舱P距离地面的高度h(t)＝30sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋30．


]


三、解答题


7．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8．4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00．每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h．


(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；


(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0．1 m)


(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10．3 m?


[解] (1)依题意知T＝eq \f(2π,ω)＝12，


故ω＝eq \f(π,6)，h＝eq \f(8.4＋16,2)＝12．2，


A＝16－12．2＝3．8，


所以d＝3．8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋12．2．


又因为t＝4时，d＝16，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,6)＋φ))＝1，所以φ＝－eq \f(π,6)，


所以d＝3．8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12．2．


(2)t＝17时，d＝3．8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,6)－\f(π,6)))＋12．2


＝3．8sin eq \f(2π,3)＋12．2≈15．5(m)．


(3)令3．8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12．2<10．3，


即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,6)))<－eq \f(1,2)，


因此2kπ＋eq \f(7π,6)

所以2kπ＋eq \f(4π,3)

所以12k＋8

令k＝0，得t∈(8,12)；


令k＝1，得t∈(20,24)．


故这一天共有8 h水深低于10．3 m．





1．(多选题)如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有( )





A．经过3分钟，点P首次到达最低点


B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高


C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低


D．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米


ABD [以O为原点，过O且平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，⊙O为摩天轮，P为圆上的动点，设P到地面的高为h．





由题设有Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(40cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)t＋\f(π,2)))，40sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)t＋\f(π,2)))))，


故h＝40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)t＋\f(π,2)))＋45＝40cs eq \f(π,3)t＋45，其中t≥0．


对于A，令h＝5，则cs eq \f(π,3)t＝－1，解得t＝6k＋3，k∈N，


故点P首次到达最低点所需的时间为3分钟，故A正确．


对于B，当t＝4时，h1＝40cs eq \f(4π,3)＋45，当t＝8时，h2＝40cs eq \f(8π,3)＋45，


因为cs eq \f(4π,3)＝cs eq \f(8π,3)＝－eq \f(1,2)，故h1＝h2，故B正确．


对于C，当7≤t≤10，eq \f(7π,3)≤eq \f(π,3)t≤eq \f(10π,3)，


而3π

故h＝40cs eq \f(π,3)t＋45在[7,10]上是单调递增函数，故C错．


对于D，考虑0≤t≤6时不等式40cs eq \f(π,3)t＋45≥65的解，故cs eq \f(π,3)t≥eq \f(1,2)，


解得0≤t≤1或5≤t≤6，


故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故D正确．故选ABD．]


2．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为______________．





h＝－6sin eq \f(π,6)t，t∈[0,24] [根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12，eq \f(2π,ω)＝12，∴ω＝eq \f(π,6)，点(6,0)为“五点”


作图法中的第一点，∴eq \f(π,6)×6＋φ＝0，∴φ＝－π，


∴h＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－π))＝－6sin eq \f(π,6)t，t∈[0,24]．]


3．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏)．


以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．


(1)描出散点图；


(2)用正弦曲线去拟合这些数据；


(3)这个函数的周期是多少？


(4)估计这个正弦曲线的振幅A；


(5)下面四个函数模型中，哪一个最适合这些数据？


①eq \f(y,A)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x))；②eq \f(y－46,A)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,6)))；


③eq \f(y－46,－A)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x))；④eq \f(y－26,A)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x))．


[解] (1)(2)如图所示：





(3)1月份的气温最低，为21．4华氏，7月份气温最高，为73．0华氏，据图知，eq \f(T,2)＝7－1＝6，∴T＝12．


(4)2A＝最高气温－最低气温＝73．0－21．4＝51．6，


∴A＝25．8．


(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26．0，代入①，得eq \f(y,A)＝eq \f(26.0,25.8)＞1≠cs eq \f(π,6)，∴①错误；代入②，得eq \f(y－46,A)＝eq \f(26.0－46,25.8)＜0≠cs eq \f(π,6)，∴②错误；同理④错误，③正确．


故函数模型③最适合．


4．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)变化．





(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)


(2)估计当年3月1日动物种群数量．


[解] (1)动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－A＋b＝700，,A＋b＝900，))


解得A＝100，b＝800．


又周期T＝2×(6－0)＝12，


∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋800．


又当t＝6时，y＝900，


∴900＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×6＋φ))＋800，


∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，


∴取φ＝－eq \f(π,2)，


∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋800．


(2)当t＝2时，


y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×2－\f(π,2)))＋800＝750，


即当年3月1日动物种群数量约是750．


月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21．4
26．0
36．0
48．8
59．1
68．6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73．0
71．9
64．7
53．5
39．8
27．7