苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀课后练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀课后练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二十六) 指数函数的图象与性质的应用


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－1)的值域是( )


A．(0,2) B．(0,2]


C．[0,2) D．[0,2]


B [∵x2－1≥－1，∴y≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＝2，又y>0，


∴y∈(0,2]．]


2．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( )


A．(－1,0) B．(－1,0]


C．[－1,0) D．[－1,0]


D [依题意，2eq \s\up12(x2＋2ax－a)－1≥0对任意x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，


∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0．]


3．已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝2x，则f(x)的值域为( )


A．[1，＋∞) B．(0,1)


C．(0,1] D．(－∞，1]


C [因为当x≤0时，f(x)＝2x∈(0,1]，且f(x)为定义在R上的偶函数，所以f(x)的值域为(0,1]，故选C．]


4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝eq \f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是( )


A．(－∞，2] B．(－∞，＋∞)


C．[2，＋∞) D．∅


C [由f(1)＝eq \f(1,9)，得a2＝eq \f(1,9)，


所以a＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,3)舍去))，


即f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|eq \s\up12(2x－4|)．


由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，


所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．]


5．函数f(x)＝eq \f(1,2)[(1＋2x)－|1－2x|]的图象大致为( )





A B C D


A [根据题意，由于函数f(x)＝eq \f(1,2)[(1＋2x)－|1－2x|]＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，1－2x≥0,1，1－2x<0))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,1，x>0，))根据解析式，结合分段函数的图象可知， 在y轴右侧是常函数， 所以排除B，D，而在y轴的左侧，是递增的指数函数，故排除C，因此选A．]


二、填空题


6．已知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在[－2，－1]上的最小值是m，最大值为n，则m＋n的值为 ．


12 [∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上为减函数，


∴m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1)＝3，


n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－2)＝9，


∴m＋n＝12．]


7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗 次．


4 [设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的eq \f(1,4)；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的eq \f(1,4)，也就是原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)；经过第三次漂洗，存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(3)；经过第四次漂洗，存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(4)，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)．由题意得，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)≤eq \f(1,100)，4x≥100,2x≥10，


∴x≥4，即至少漂洗4次．]


8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－eq \f(1,2)的解集是 ．


(－∞，－1) [当x<0时，－x>0，


f(－x)＝1－2x＝－f(x)，


则f(x)＝2x－1．当x＝0时，f(0)＝0，


由f(x)<－eq \f(1,2)，解得x<－1．]


三、解答题


9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(ax2－4x＋3)．


(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；


(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．


[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－x2－4x＋3)，


令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，


由于g(x)在[－2，＋∞)上递减，


y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上是减函数，


∴f(x)在[－2，＋∞)上是增函数，


即f(x)的单调增区间是[－2，＋∞)．


(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(h(x))，


由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1．


因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1．


10．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0．3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0．08 mg/mL，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)


[解] 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0．3(1－50%)mg/mL，…，x小时后其酒精含量为0．3(1－50%)x mg/mL，由题意知0．3(1－50%)x≤0．08，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)≤eq \f(4,15)．采用估算法，x＝1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1)＝eq \f(1,2)>eq \f(4,15)，x＝2时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)＝eq \f(4,16)




1．定义运算a⊗b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ba≥b，,aa＜b，))则函数f(x)＝3－x⊗3x的值域为( )


A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)


C．(0,1) D．(0,1]


D [由题设可得f(x)＝＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－xx≥0，,3x x＜0，))其图象如图实线所示，由图知函数f(x)的值域为(0,1]．]





2．已知f(x)＝|2x－1|，当af(c)>f(b)，则必有( )


A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0


C．2－a<2c D．1<2a＋2c<2


D [作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示，





因为af(c)>f(b)，


所以必有a<0,0|2c－1|，


所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，且2a＋2c>1，故选D．]


3．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a的值．


[解] 设t＝ax，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，


(1)若a>1，∵x∈[－1,1]，∴－1

∵t＝ax在[－1,1]上递增，y＝(t＋1)2－2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上也递增，


∴原函数在[－1,1]上递增．


故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1．


由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．


(2)若0

ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，


解得a＝eq \f(1,3)或a＝－eq \f(1,5)(舍去)．


综上，a＝eq \f(1,3)或3．


4．设函数f(x)＝eq \f(1－ax,1＋ax)(a>0且a≠1)．


(1)判断f(x)的奇偶性；


(2)若f(x)≥eq \f(1,2)，求x的取值范围．


[解] (1)函数f(x)＝eq \f(1－ax,1＋ax)(a>0且a≠1)，定义域为R，


所以f(－x)＝eq \f(1－a－x,1＋a－x)＝eq \f(ax－1,ax＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．


(2)f(x)≥eq \f(1,2)，即eq \f(1－ax,1＋ax)≥eq \f(1,2)，ax>0,2－2ax≥1＋ax，解得ax≤eq \f(1,3)，


当a>1时，x＝lgaax≤lgaeq \f(1,3)＝－lga3，


当0

综上所述：当a>1时，x≤－lga3，当0