苏教版 (2019)必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解精品学案及答案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解精品学案及答案，共8页。

8.1.2 用二分法求方程的近似解








通过上一节的学习，利用函数的零点存在性定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值(精确到0．1)．





1．二分法的定义


对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫做二分法．


2．用二分法求一元方程f(x)＝0近似解的步骤


(1)确定区间：一元方程f(x)＝0的根所在的区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0．


(2)求区间(a，b)的中点：x1＝eq \f(a＋b,2)．


(3)计算f(x1)．


①若f(x1)＝0，x1就是一元方程f(x)＝0的近似解；


②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；


③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．


(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到一元方程f(x)＝0近似解，否则重复步骤(2)～(4)．


3．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )


(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )


(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )


(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到．( )


[提示] 四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0．(2)中， f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×


2．已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－lg2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )


A．(0,1) B．(1,2)


C．(2,4) D．(4，＋∞)


C [由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝eq \f(6,4)－lg24＝eq \f(3,2)－2＝－eq \f(1,2)<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．]


3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)＜0，取区间[2,3]的中点x1＝eq \f(2＋3,2)＝2．5，计算得f(2．5)·f(3)＞0，此时零点x0所在的区间是________．


(2,2．5) [由于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f2·f3＜0，,f2.5·f3＞0，))


所以f(2)·f(2．5)＜0，所以


x0∈(2,2．5)．]





【例1】 证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0．1)


[思路点拨] eq \x(构造函数fx＝2x＋3x－6)→


eq \x(验证f1·f2<0)→eq \x(根据图象说明解唯一)


→eq \x(利用二分法求近似解)


[解] 分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：





在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．


由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，


方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，


并且这个解在区间(1,2)上．


设f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：


f(1)<0，f(2)>0⇒x1∈(1,2)，


f(1)<0，f(1．5)>0⇒x1∈(1,1.5)，


f(1)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1,1.25)，


f(1.125)<0，f(1．25)>0⇒x1∈(1.125,1.25)，


f(1.187 5)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.187 5,1.25)，


f(1.218 75)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.218 75，1.25)，


f(1．218 75)<0，f(1.234 375)>0⇒x1∈(1．218 75，1.234 375)．


因为1.218 75与1.234 375精确到0．1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为1.2．





1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．


2．求方程f(x)＝g(x)的近似值注意的问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；也可以利用函数的零点存在性定理判定；②运用二分法时，需构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)＝0的近似解．








eq \([跟进训练])


1．求eq \r(3,2)的近似值．(精确到0.1)


[解] eq \r(3,2)是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．


用二分法求其零点．


由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0．故可取区间[1,2]为计算的初始区间．


用二分法逐次计算，如下：


f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，


f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，


f(1.25)<0，f(1.375)>0⇒x1∈(1.25,1.375)，


f(1.25)<0，f(1.312 5)>0⇒x1∈(1.25,1.312 5)，


至此可见，区间[1.25,1.312 5]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是eq \r(3,2)精确到0.1的近似值．


[探究问题]


1．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？


[提示] 理论依据是零点存在性定理．


2．能用二分法求方程近似解的条件是什么？


[提示] 条件共三点：


(1)f(x)图象连续不断；(2)起始的两个端点处的函数值异号；(3)每次区间等分后，必须有端点函数值异号．


【例2】 (1)下列函数没有零点的是________，在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是________，一定不能用二分法求零点的是________．(填序号)


①y＝x－7；②y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－2；③y＝lg4 x＋3；④y＝2x＋x；⑤y＝x2；⑥y＝－2x2；⑦y＝－2x－1．


(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是________，能用二分法求零点的是________．(填序号)





[思路点拨] 根据二分法的概念进行判断．


(1)⑦ ④ ⑤⑥ (2)①⑤ ②③④ [(1)⑦中y<0，故没有零点，①②③可通过解方程求零点，④必须用二分法，⑤⑥虽有零点，但零点左右两侧没有变号，故不能用二分法．


(2)①⑤图中，与x轴交点两侧符号一致，不能用二分法，②③④均可用二分法，但④应该注意区间的选择．]





判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．








eq \([跟进训练])


2．(1)下面关于二分法的叙述，正确的是______．(填序号)


①用二分法可求所有函数零点的近似值；


②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；


③二分法无规律可循；


④只有在求函数零点时才用二分法．


(2)观察下列函数的图象，能用二分法求其零点的是________．(填序号)





(1)② (2)① [(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错；求方程的近似解也可以用二分法，故④错．


(2)由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．]








1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)>0时，在[a，b]上也可能存在零点．


2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点


(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．


(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值xi时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止．





1．用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到ε的说法正确的是( )


A．ε越大，近似解的精确度越高


B．ε越大，近似解的精确度越低


C．重复计算次数就是ε


D．重复计算次数与ε无关


B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，近似解的精确度越低．]


2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )


A．[1,4] B．[－2,1]


C．[－2,2．5] D．[－0．5,1]


D [因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0．5]，[－0．5,1]，[1,2．5]，[2．5,4]，只有D在其中，故答案为D．]


3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，精确到0．1，取区间(2,4)的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________．(填区间)


(2,3) [由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]


4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：


据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0．01)．


[解] 由表中f(1．562 5)＝0．003，


f(1．556 2)＝－0．029，


得f(1．562 5)·f(1．556 2)<0．


又因为1．562 5和1．556 2精确到0．01的近似值都为1．56，


故f(x)＝3x－x－4的一个零点近似值为1．56．学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例理解二分法的概念．(难点)


2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．


3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理的数学核心素养．
“二分法”求方程的近似解
二分法求方程近似解的条件
f(1.600 00)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)＝－0.060