人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）导学案

4.5.2   用二分法求解方程的近似解

【学习目标】

【自主学习】

一．二分法的定义

对于在区间[a，b]上图象连续不断且       的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间     ，使所得区间的两个端点逐步逼近     ，进而得到零点     的方法叫做二分法．

思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？

二．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：

(1)确定区间[a，b]，验证           ，给定精确度ε；

(2)求区间(a，b)的中点x1；

(3)计算f(x1)；

①若f(x1)＝0，则    就是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)<0(此时零点x0∈      )，则令b＝x1；

③若f(x1)·f(b)<0(此时零点x0∈(x1，b))，则令a＝x1.

(4)判断是否达到精确度ε：即若        ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　)

(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　)

2.下列选项中，每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

【经典例题】

题型一  二分法的概念

点拨：判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.

例1 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)

A．4,4　　 　B．3,4　　   C．5,4　     D．4,3

【跟踪训练】1 观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)

题型二  用二分法求函数零点的近似值

点拨：用二分法求函数零点近似值的注意点

1.在第一步中要使：,①区间[a，b]的长度尽量小；②fa，fb的值比较容易计算，且fa·fb<0,

2.二分法仅对函数变号零点即零点两侧某区域内函数值异号适用.

3.利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.

例2  用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为(　　)

A．(0,0.5)，f(0.25)　　　 B．(0,1)，f(0.25)

C．(0.5,1)，f(0.75)   D．(0,0.5)，f(0.125)

【跟踪训练】2  用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为________．

【当堂达标】

1.关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是(　　)

A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点

C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点

D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解

2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0，则(　　)

A．f(x)在上有零点      B．f(x)在上有零点

C．f(x)在上无零点      D．f(x)在上无零点

3.下列函数不能用二分法求零点的是(　　)

A．f(x)＝3x－2

B．f(x)＝log2x＋2x－9

C．f(x)＝(2x－3)2

D．f(x)＝3x－3

4.用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2,4] 的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.

5.已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.

(1)证明f(x)有且只有一个零点；

(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.

【参考答案】

【自主学习】

一．f(a)·f(b)＜0  一分为二   零点   近似值 

思考：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．

二．f(a)·f(b)＜0  x1  (a，x1)  |a－b|<ε 

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)×　(3)×

2.C

【经典例题】

例1  D 解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.

【跟踪训练】1  A 解析：由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点．

例2  A  解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)<0，f(0.5)>0，知x0∈(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的准确位置．

【跟踪训练】2  1.5625 解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈－0.029<0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.5625.

【当堂达标】

1.D 解析：二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.

2.B 解析：由f(a)f(b)<0，f(a)f>0可知f·f(b)<0，根据零点存在定理可知f(x)在上有零点．

3.C 解析：因为f(x)＝(2x－3)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)<0.

4.(2,3) 解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．

5. 解：(1)证明：f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(x)至多有一个零点．

由于f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0.

∴f(x)在(2,3)内有一个零点．

∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．

(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝＝，f()＝ln＋5－6＝ln－1<0，

∴f(3)·f()<0.

∴f(x)零点x0∈(，3)．取x2＝＝，则f()＝ln＋2×－6＝ln－>0.

∴f()·f()<0.∴x0∈(，)．

∵|－|＝≤，∴满足题意的区间为(，)．