高中数学人教版新课标A选修4-52.基本不等式优秀第二课时综合训练题

第二课时　基本不等式

[基础达标]

1.下列不等式一定成立的是

A.lg＞lg x(x＞0)     B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C.x2＋1≥2|x|(x∈R)      D.＞1(x∈R)

解析　应用基本不等式：x，y∈R＋，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确.

答案　C

2.下列各式中，最小值等于2的是

A.＋　　　　　　　     B.

C.tan θ＋        D.2x＋2－x

解析　∵2x>0，2－x>0，∴2x＋2－x≥2 ＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立.

答案　D

3.设x，y∈(0，＋∞)，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是

A.40　　　　  B.10　　　　 C.4　　　　   D.2

解析　∵x，y∈(0，＋∞)，∴≤(当且仅当x＝4y时，等号成立).∴≤＝10，∴xy≤100.

∴lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2(当且仅当x＝4y＝20时，等号成立).

答案　D

4.已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.

解析　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，

∴1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，

故a≥4.

答案　4

5.函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，求＋的最小值.

解析　∵loga1＝0，∴函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1).

∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，

∴2m＋n＝1.∵mn＞0，∴m＞0，n＞0.

∴＋＝＋

＝2＋＋2＋＝4＋＋≥4＋2＝8.

当且仅当4m2＝n2，即n＝2m时，等号成立，

此时2m＋2m＝1，∴m＝，n＝.

∴＋的最小值为8.

[能力提升]

1.设a∈R且a≠0，以下四个式子中恒大于1的个数是

①a3＋1；②a2－2a＋2；③a＋；④a2＋.

A.1　　　　　　　　　　   B.2

C.3          D.4

答案　A

2.设x、y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则

A.x＋y≥2(＋1)       B.x＋y≤2(＋1)

C.x＋y≤(＋1)2       D.x＋y≥(＋1)2

答案　A

3.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是

A.6＋2         B.7＋2

C.6＋4         D.7＋4

解析　由题意得所以

又log4(3a＋4b)＝log2，

所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，

所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.

所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.

答案　D

4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是

A.80元         B.120元

C.160元         D.240元

解析　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20 ＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.

答案　C

5.下列结论正确的是

A.当x>0且x≠1时，lg x＋≥2

B.当x>0时，＋≥2

C.当x≥2时，x＋的最大值为2

D.当0<x≤2时，x－无最大值

答案　B

6.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站

A.5千米处        B.4千米处

C.3千米处        D.2千米处

解析　设仓库与车站的距离为x千米，

则y1＝，y2＝k2x，∴2＝，8＝k2·10，

∴k1＝20，k2＝，∴y＝＋x.

∵＋x≥2 ＝8，

当且仅当＝x，即x＝5时取等号.

答案　A

7.函数y＝(x<0)的值域是________.

解析　∵y＝＝≥＝－3，

当且仅当x＝－1时，等号成立.

又x<0，x2＋x＋1>0，∴<0.

∴函数的值域为[－3，0).

答案　[－3，0)

8.设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________.

解析　∵x，y∈R且xy≠0，

∴＝5＋＋4x2y2≥5＋2×2＝9，当且仅当＝4x2y2

即xy＝±时，取得最小值9.

答案　9

9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.

解析　设一年的总费用为y万元，

则y＝×4＋4x＝＋4x≥2 ＝2×80＝160，

当且仅当＝4x，即x＝20时，y最小.

答案　20

10.设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：

(1)a＋b≥2；

(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.

证明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.

(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，

即a＋b≥2.

(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾.故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.

11.若a＞0，b＞0，且＋＝.

(1)求a3＋b3的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.

解析　(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立.

故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立.

所以a3＋b3的最小值为4.

(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.

由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.

12.某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

解析　(1)由题意得10(1 000－x)·(1＋0.2x%)≥10×1 000，即x2－500x≤0.

因为x>0，所以0<x≤500.

即最多调整500名员工从事第三产业.

(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工的年总利润为

10(1 000－x)万元，

则10x≤10(1 000－x)，

所以ax－≤1 000＋2x－x－x2，

所以ax≤＋1 000＋x，

即a≤＋＋1恒成立.

因为x＋≥2 ＝4，

当且仅当＝，即x＝500时等号成立.所以a≤5.

又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范围为(0，5].