人教版新课标A选修4-51.绝对值三角不等式精品第一课时达标测试

第一课时　绝对值三角不等式

[基础达标]

1.若实数a，b，c满足|a－c|＜|b|，则下列不等式中成立的是

A.|a|＞|b|－|c|　　　　　    B.|a|＜|b|＋|c|

C.a＞c－b        D.a＜b＋a

解析　由|a|－|c|≤|a－c|＜|b|知|a|－|c|＜|b|，

即|a|＜|b|＋|c|.

答案　B

2.已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是

A.m>n         B.m<n

C.m＝n         D.m≤n

解析　由绝对值不等式的性质，知

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

∴≤1≤.∴m≤n.

答案　D

3.已知a和b是任意非零实数，则的最小值为________.

解析　≥＝4.

答案　4

4.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________.

解析　利用绝对值不等式的性质求解.

∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，

要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，

可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.

答案　－2≤a≤4

5.已知|A－a|<，|B－b|<，|C－c|＝，求证|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.

证明　∵|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<，

∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|<＋＋＝s.

∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.

[能力提升]

1.对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是

A.当a、b异号时，左边等号成立

B.当a、b同号时，右边等号成立

C.当a＋b＝0时，两边等号均成立

D.当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立

答案　B

2.若对任意实数x，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，则a的取值范围是

A.(－∞，3)        B.(－∞，3]

C.(－∞，－3)        D.(－∞，－3]

解析　恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，即a<[|x＋1|－|x－2|]min，也就转化为求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最小值问题.

∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，

∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.

∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3，∴a<－3.

答案　C

3.函数y＝|x＋1|＋|2－x|的最小值是

A.3　　　　  B.2　　　　 C.1　　　　 D.0

解析　∵y＝|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，∴ymin＝3.

答案　A

4.若1＜＜，则下列结论中不正确的是

A.logab＞logba       B.|logab＋logba|＞2

C.(logba)2＜1        D.|logab|＋|logba|＞|logab＋logba|

答案　D

5.正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d|<|b－c|，则

A.ad＝bc         B.ad<bc

C.ad>bc         D.ad与bc大小不定

答案　C

6.若关于x的不等式|x|＋|x－1|<a(a∈R)的解集为∅，则a的取值范围是

A.[－1，1]        B.(－1，1)

C.(－∞，1]        D.(－∞，1)

解析　∵|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，∴若关于x的不等式|x|＋|x－1|的解集为∅，则a的取值范围是a≤1.

答案　C

7.设x1、x2是函数f(x)＝2 011x定义域内的两个变量，且x1＜x2，若α＝(x1＋x2)，那么下列不等式恒成立的是

A.|f(α)－f(x1)|＞|f(x2)－f(α)|

B.|f(α)－f(x1)|＜|f(x2)－f(α)|

C.|f(α)－f(x1)|＝|f(x2)－f(α)|

D.f(x1)f(x2)＞f2(α)

答案　B

8.对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________.

解析　解法一　|x－1|≤1⇒0≤x≤2，|y－2|≤1⇒1≤y≤3，可得可行域如图(阴影部分).

∵|x－2y＋1|＝·.其中z＝为点(x，y)到直线x－2y＋1＝0的距离.

当(x，y)为(0，3)时z取得最大值＝.

故|x－2y＋1|max＝5.

解法二　|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值为5.

答案　5

9.已知|a＋b|＜－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；

⑤|a|＜－|b|－c.

其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式的序号都填上).

答案　①②④

10.对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围.

解析　由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，

则|x－1|＋|x－2|小于或等于的最小值，

∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，

当且仅当(a＋b)(a－b)≥0时取等号，

∴的最小值等于2，

∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解.

∵|x－1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，

又数轴上的，对应点到1和2对应点的距离之和等于2，∴不等式的解集为.

11.已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0，1]上，x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求证：

(1)f(0)＝f(1)；

(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.

证明　(1)f(0)＝c，f(1)＝c，

故f(0)＝f(1).

(2)|f(x2)－f(x1)|

＝|x－x2＋c－x＋x1－c|

＝|x2－x1||x2＋x1－1|，

∵0≤x1≤1，0≤x2≤1，0＜x1＋x2＜2(x1≠x2)，

∴－1＜x1＋x2－1＜1，

∴|x2＋x1－1|＜1，

∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.

12.设x、y∈R，求证：|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|≥2＋1.

证明　由绝对值不等式的性质得：

|2x－x|＋|2y－y|≥|2x＋2y－(x＋y)|

≥|2x＋2y|－|x＋y|，

∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|

≥|2x＋2y|＝2x＋2y.

又∵2x＋2y≥2＝2＋1，

∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|≥2＋1.