人教版新课标A选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法一 比较法一课一练

证明不等式的基本方法

一　比较法

课后篇巩固探究

1.若A=+3与B=+2,则A,B的大小关系是(　　)

A.A>B B.A<B

C.A≥B D.不确定

解析因为A-B=+3->0,所以A>B.

答案A

2.若a>2,b>2,则(　　)

A.a+b>ab B.a+b<ab

C.a+b≥ab D.a+b≤ab

解析,

因为a>2,b>2,所以.

因此<1,故a+b<ab.

答案B

3.若α,β∈,记M=sin αcos β,N=sin α+cos β-1,则M与N的大小关系是(　　)

A.M>N B.M<N

C.M=N D.大小关系不确定

解析因为M-N=sinαcosβ-(sinα+cosβ-1)=(sinα-1)(cosβ-1),而α,β∈,所以(sinα-1)(cosβ-1)>0,故M>N.

答案A

4.已知a,b都是正数,P=,Q=,则P,Q的大小关系是(　　)

A.P>Q B.P<Q

C.P≥Q D.P≤Q

解析∵a,b都是正数,∴P>0,Q>0.

∴P2-Q2=-()2=-≤0(当且仅当a=b时,等号成立).

∴P2-Q2≤0.∴P≤Q.

答案D

5.导学号26394030若q>0,且q≠1,m,n∈N+,则1+qm+n与qm+qn的大小关系是(　　)

A.1+qm+n>qm+qn B.1+qm+n<qm+qn

C.1+qm+n=qm+qn D.不能确定

解析1+qm+n-(qm+qn)=1+qm+n-qm-qn=(1-qm)+qn(qm-1)=(1-qm)(1-qn).

若0<q<1,由m,n∈N+,知0<qm<1,0<qn<1,

∴1-qm>0,1-qn>0,

∴(1-qm)(1-qn)>0.

若q>1,由m,n∈N+,知qm>1,qn>1,

∴1-qm<0,1-qn<0,

∴(1-qm)(1-qn)>0.

综上可知1+qm+n-(qm+qn)>0,

即1+qm+n>qm+qn.

答案A

6.当x>1时,x3与x2-x+1的大小关系是　　　　　. 

解析∵x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),

又x>1,∴x-1>0,x2+1>0.

∴x3-(x2-x+1)>0,

即x3>x2-x+1.

答案x3>x2-x+1

7.若x∈R,则与2的大小关系是　　　　　. 

解析因为-2=≤0,所以≤2.

答案≤2

8.若a>b>c,求证bc2+ca2+ab2<b2c+c2a+a2b.

证明(bc2+ca2+ab2)-(b2c+c2a+a2b)

=(bc2-c2a)+(ca2-b2c)+(ab2-a2b)

=c2(b-a)+c(a+b)(a-b)+ab(b-a)

=(b-a)(c2+ab-ca-cb)

=(b-a)(c-a)(c-b).

因为a>b>c,所以b-a<0,c-a<0,c-b<0,

从而(b-a)(c-a)(c-b)<0,

故bc2+ca2+ab2<b2c+c2a+a2b.

9.导学号26394031若a,b>0,求证:a2bb2a≤(ab)a+b.

证明因为a,b>0,所以a2bb2a>0,(ab)a+b>0.

又=ab-a·ba-b=,

当a=b时,=10=1;

当a>b>0时,0<<1,a-b>0,所以<1;

当b>a>0时,>1,a-b<0,所以<1.

所以≤1.

综上可知a2bb2a≤(ab)a+b.

10.导学号26394032已知θ∈,且a=cos 2θ,b=cos θ-sin θ,试比较a与b的大小.

解因为θ∈,所以2θ∈.

所以a=cos2θ<0,且cosθ<sinθ,所以b<0.

因为

=cosθ+sinθ=sin,

又θ∈,所以θ+,

所以sin.

所以sin∈(1,).即>1,故a<b.