初一数学上册秋季班培优讲义 第7讲 期中复习.基础-提高班.教师版
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一 有理数基本概念
1. 正数、负数及有理数概念
2. 用正、负数表示相反意义的量
3. 有理数: 整数与分数统称有理数.
4. 有理数的分类：
⑴ 按整数和分数分类；
⑵ 按正数、负数和零分类.
注：①正数和零统称为非负数；
②负数和零统称为非正数；
③正整数和零统称为非负整数；
④负整数和零统称为非正整数.
二 数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数
1. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；
2. 相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．如果与互为相反数，则有，反之亦然．
3. 绝对值：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．数的绝对值记作．正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
绝对值的性质：
⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：，这是绝对值非常重要的性质；
⑵ ；
⑶ 若，则；若，则；
⑷ 若，则或；
⑸ ；
⑹ 数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离，且.
教师备案：
- 解决绝对值的相关问题大多数都是去绝对值符号问题．（看到绝对值就想到去绝对值符号）
- 让学生掌握绝对值的几何意义，利用数形结合及分类思想解题．
- 让学生灵活运用绝对值的基本性质．
4. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，特别地，没有倒数；
倒数是它本身的数是，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．
5. 负倒数：乘积为的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数 ；、互为负倒数，则有，反之亦然．
三 有理数的加减法
1. 有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
2. 有理数加法的运算律：
①两个加数相加，交换加数的位置，和不变. (加法交换律)
②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
(加法结合律)
3. 有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.例：
四 有理数乘除法
1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘都得0.
2. 有理数乘法运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.
3. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
4. 有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
5. 有理数乘方：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数. 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．
6. 有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减.
7. 科学记数法
科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．
例如：就是科学记数法表示数的形式．
也是科学记数法表示数的形式．
【例1】 ⑴在有理数，，，，，，，中，整数有________个，负数有_________个．
⑵下列代数式：、、、、、、的值，一定为正数的有 个.
⑶下列说法正确的有（ ）个
①正数和负数统称为有理数；②1是最小的自然数；③整数和分数统称为有理数；④非
负数是正数和0；⑤正整数和负整数统称为整数；⑥分数都可以化为小数，反过来小数
不一定能化为分数。
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
⑷一个数在数轴上所对应的点向右移到5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，
则这个数是（ ）
A． B．2 C． D．
⑸ 有理数、在数轴上的位置如图，则下列关系中正确的个数是（ ）.
① ；② ；③ ；④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
⑹和是满足≠0的有理数，以下说法中：
①的相反数是；
②的相反数是的相反数与的相反数的差；
③的相反数是的相反数和的相反数的乘积；
④的倒数是的倒数和的倒数的乘积．正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
⑺据统计，截至2011年10月22日22点，为期天的西安世界园艺博览会圆满闭幕，累计入园人数达到万余人次，创下历届世园会客流之最，1544万这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．人 B．人
C．人 D．人
【解析】 ⑴；⑵2；⑶B；⑷D；⑸D；⑹C；⑺B
【例2】 ⑴数轴是数与形和谐结合的桥梁，数轴在数学研究中有着非常重要的作用．华罗庚先生指出“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．已知在纸面上有一数轴，数轴上有三个点，点在点的左边，点表示的数是1．
①如果点到原点的距离是，点到原点的距离是．则点和点两点的距离是多
少？
②如果点到原点的距离是，点到点的距离是．则点表示的数是多少？
③如果点与点到原点的距离相等，点和点之间的距离是．则点、点表示的数各是多少？
④如果点与点到点的距离相等，点和点之间的距离是．则点、点表示的数各是多少？
⑵动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点，的速度比是，（速度单位：单位长度/秒）
① 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出，两点从原点出发运动3秒时的位
置．
② 若，两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
③ 若，两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点也同时从点位置出发向点运动，当遇到点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向点运动，如此往返，直到追上时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
【解析】 ⑴①或
②或
③
④
⑵①设的速度为单位长度/秒，的速度为单位长度/秒
依题意，
即：的速度为1单位长度/秒，的速度为4单位长度/秒．
3秒时，的位置在，的位置在12．
② 设秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
③ 设秒后追上，依题意，
点从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度．
【例3】 一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：
⑴ 一粒大米重约多少克？
⑵ 按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）
⑶ 假若我们把一年节约的大米卖成钱，按每千克2元计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）
⑷ 对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？
【解析】 （1）10÷500≈0.02（克）．
答：一粒大米重约0.02克．
（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克）．
答：一年大约能节约大米2.847×107千克．
（3）2×2.847×107=5.694×107（元）．
答：可卖得人民币5.694×107元．
（4）5.694×107÷500=1.1388×105；
整式概念
1.单项式：单项式的次数、单项式的系数.
2.多项式：多项式的项、多项式的次数.
3.整式：单项式和多项式统称为整式.
4.同类项：几个单项式所含字母相同，并且相同字母的指数相同.
5.合并同类项：合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变．
整式加减的实质就是去括号，合并同类项．
6.整体思想
【例4】 ⑴下列说法：①的系数是1；②式子是单项式；③单项式的次数是4；④的系数是；其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
⑵若单项式与的和仍是一个单项式，则，的值分别是（ ）
A．1，5 B．5，1 C．3，4 D．4，3
⑶是 次三项式，各项的次数分别是 ， ， ．按
降幂排列是 ；按升幂排列是 ．
⑷已知多项式是关于x二次多项式，
则 _________．
【解析】 ⑴B；⑵C；⑶五，，，．；；⑷13．
【例5】 已知关于、的多项式（友情提示：关于、的多项式即式子中只含有字母、，其他字母为常数）
⑴当=_____，=_____时，此代数式的值与字母的取值无关；
⑵将多项式化简，并在⑴的条件下求其值．
【解析】 ⑴，
⑵，
【例6】 如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）
⑴当小明输入这四个数时，这四次输出的结果分别是？
⑵你认为当输入什么数时，其输出结果是？
⑶你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？
⑷有一次，小明在操作的时候，输出的结果是，你判断一下，小明可能输入的数是什么数？
【答案】⑴；
⑵；
⑶负数；
⑷．
等式的概念及性质、方程的有关概念
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
注意：方程的解要分类讨论．
①当时，方程的解是；
②当且时，方程的解是任意数；
③当且时，方程无解．
一元一次方程的基本解法
解一元一次方程的一般步骤：
⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸系数化为．
易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号.
易错点2——去分母：不要漏乘不含分母的项
易错点3——移项：注意移项变符号．
绝对值方程
⑴ 形如的方程，可分如下三种情况讨论：
① ，则方程无解；
② ，则根据绝对值的定义可知，；
③ ，则根据绝对值的定义可知，．
⑵ 形如型的绝对值方程的解法：
首先根据绝对值的定义得出，，且；
分别解方程和，然后将得出的解代入检验即可．
⑶ 含多重绝对值符号的绝对值方程的解法，主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值．
【例7】 ⑴ 若关于的方程是一元一次方程，则这个方程的解为（ ）
A. B. C. D.
⑵ 已知关于的方程的解满足方程，则 ．
⑶ 若是方程的解，求代数式的
值．
（人大附中期中）
【解析】 ⑴ B； ⑵ 2；
⑶ 把代入方程 得：，
化简代数式，
当时，原式.
【例8】 ⑴ 根据输入的数字，按图中程序计算，并把输出的结果填入表内；
⑵ 若经过两次程序输出数值是，求出的值．
（北京三帆中学期中）
【解析】 ⑴ ，，0； ⑵ 由题意： ∴.
【例9】 ⑴ 对任意有理数、、、，规定一种新运算：，已知，
则 ．
（人大附中期中）
⑵ 已知右图是一个三阶幻方，它的每行，每列及两条对角线上的三个数字之和都相
等．填入数字11，，9如图，并且填入格的数是填入格的数的二倍．求填入
格，格的数并将其填入格中，同时填出其它空格中的数．
11 |
|
|
9 | ||
|
|
【解析】 ⑴ 2；
⑵提示：由，每行每列及两条对角线上的三个数字之和都相等得：
11 | 6 | |
4 | 9 | |
2 | 13 | -3 |
所以所以依次推出其他各数.
训练1. 有理数，，均不为0，且，设，试求的值．
【解析】 有理数，，均不为0，且，∴、、中一正二负，或两正一负；
当、、中一正二负时：；
当、、中两正一负时：.
∴.
训练2. 设，，若，且，求的值．
（北京东城区期末）
【解析】 由，得，.
故
即得：，所以当，时，
训练3. 符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
①，，，……
② ……
利用以上规律计算： .
【解析】 1.
训练4. 如图均为有理数，各行、各列以及两条对角线上三个数之和都相等，试计算的值.
2 | ||
3 | ||
（北京师范大学附属实验中学期中）
【解析】 ∵∴∴.
又∵∴
所以最后得－9.
有理数综合
【练习1】 ⑴下列不正确的是（ ）
A．1是绝对值最小的数
B．0既不是正数，也不是负数
C．一个有理数不是整数就是分数
D．0的绝对值是0
⑵如果，那么，两个实数一定是（ ）
A．都等于 B．一正一负 C．互为相反数 D．互为倒数
⑶已知点和点都在同一条数轴上，点表示3，又知点和点相距5个单位长度，则点表示的数是_______.
⑷ 给出下列结论：
①若，则； ②一定是个负数；
③若，则； ④∵，∴．
其中正确的个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
⑸山西体育中心是建国以来山西省开工建设的最大体育场馆，占地1238亩，总投资为16亿元，用科学记数法表示16亿元为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【解析】 ⑴A；⑵ C；⑶ 或8；⑷ B；⑸B
【练习2】 ⑴若，且，，则 .
⑵ 若<0，，则 的值是（ ）
A． B．4 C． D．不能确定
⑶ 若、为负数，且，化简 .
【解析】 ⑴ 或； ⑵ A； ⑶.
整式加减综合复习
【练习3】 已知，求代数式的值．
【解析】 ，；；
【练习4】 ⑴多项式是关于的二次三项式，求的值．
⑵ 一位同学做一道题，已知两个多项式，，计算，他误将看作，
求得，若，你能否帮助他求得的正确答案？
【解析】 ⑴由题意得，得原式为； ⑵ .
一元一次方程综合复习
【练习5】 为有理数，现规定一种运算： =，那么当 =18
时的值是 ．
（北京四中期中）
【解析】 当 =18时，，.
【练习6】 如果与是关于的同解方程，求的值．
【解析】 由得，
由得，因此，得．
