初一数学上册秋季班培优讲义 第1讲 有理数与数轴 教师版

          长度单位

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.

有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.

注意：数轴上的点不都代表有理数，如.

相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，的相反数是.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.

绝对值：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．数的绝对值记作．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.

【例1】         ⑴在数轴上画出表示各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“”连接起来.

⑵如图，数轴上表示数的相反数的点是（   ）

A．点      B．点      C．点      D．点

⑶数轴的单位长度为1，点，表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（    ）

A．　　B．　　C．　　D．

【解析】⑴分别将数的对应点在数轴上画出，如图，按数轴上从左到右的点对应从小到大的实数，得到                             ⑵.⑶B.

【例2】         ⑴数轴上有一点，它表示的有理数是，将点向左移动个单位得到点，再向右移动个单位，得到点，则点表示的数是　　　　，点表示的数是　     　．

⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是厘米，若在这个数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点至少有    个，

至多有        个．

【解析】       ⑴由数轴的基本定义可知为.

⑵2013；2014

针对例2⑵的铺垫：

1、⑴在数轴上，表示和的两个点之间有        个整数（含和）．

⑵在数轴上，表示和的两个点之间有        个整数．

【解析】       ⑴；⑵ ．

针对例2⑵的拓展：

1、设数轴的单位长度是厘米，若在这个数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点至少有          个，至多有          个．

2、设数轴的单位长度是厘米，若在这个数轴上随意画出一条长（为正整数）厘米的线段，则线段盖住的整点至少有          个，至多有          个．

3、设数轴的单位长度是厘米，若在这个数轴上随意画出一条长（，为正整数）厘米的线段，则线段盖住的整点至少有          个，至多有          个．

【解析】       1、；.

    2、，.

    3、，.

【例3】         ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退步，并且每步的距离为个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数.

①求、的值.

②比较与的大小.

⑵电子跳蚤在数轴上的某一点，第一步由点向左跳个单位到点，第二步由点向右跳个单位到点，第三步由点向左跳个单位到点，第四步由点向右跳个单位到点，…，按以上规律跳了步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰好是．求电子跳蚤的初始位置点所表示的数．

【解析】⑴①，.②，，.

⑵假设电子跳蚤的起点为，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：

，．

【例4】         ⑴有理数在数轴上的对应点如图，试比较的大小.

⑵已知是不为的有理数，且，那么用数轴上的点来表示，正确的应该是哪一个（    ）

【解析】⑴根据在数轴上的位置可知，，且的绝对值比的绝对值大，所以

.

⑵ C，根据题意，，且在数轴上的对应点与原点的距离较的对应点大.

【例5】         ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点、、、对应的数分别为整数、、、，且．试问：数轴上的原点在哪一点上？

⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距个单位，点、、、对应的数分别是整数、、、．

①若，那么与数轴原点最接近的点是（    ）

A．A点    B．B点     C．C点     D．D点

② 若，那么与数轴原点最接近的点是（    ）

A．A点    B．B点     C．C点     D．D点

⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数、、、所表示的点是这些点中的个，且在数轴上的位置如图所示，已知，求的值.

【解析】⑴由数轴可知，，代入得，解得所以原点应在点

处．

⑵①C．，，，，．

② A．，，∴，．

    ⑶. 提示：.

【例6】         已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．

⑴ 若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数      表示的点重合：

⑵ 若表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数      表示的点重合；

⑶ 若数轴上A、B两点之间的距离为c个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？

【解析】       ⑴ ；⑵； ⑶此时折线与数轴的交点表示的有理数是.

【例7】         如图所示，数轴被折成，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，．先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字             重合？

【解析】，则与数字重合．

针对例7的铺垫：

如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处 标上数字，，，．先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数将与圆周上的数字     重合．

【解析】，则与数字重合．

针对例7的拓展：

1、如图所示，一数轴被折围成长为，宽为的长方形，圆的周长为且圆上刻一指针，若1在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与接触的时候，指针的方向是（    ）

2、如图，边长为的等边三角形从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动，当三角形的一个顶点落在处时，三角形停止滚动.

①落在处的点是的哪个顶点？说明理由.

②在滚动过程中，点走过的路程是多少？

3、把一数轴折成如图所示，第段为个单位长度，第段为个单位长度，第段为个单位长度，……，点处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点接触时，指针指向     （东、南、西、北），当圆与接触时，指针指向      （东、南、西、北）．

【解析】1、C．

2、①顶点；②.

3、在直的数轴上，线段，，指针指向北；，因为，，故在点的西边，，指针指

向西．

训练1.             在下列各数：，，，，中，负数的个数为      个．

【解析】       .

训练2.             若，和互为倒数，的绝对值为，求代数式的值

【解析】       3.

训练3.             数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米时，有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？

【解析】       200或201.

训练4.             如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，．先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数将与圆周上的数字        重合．

【解析】       ，则与数字重合．

用数轴表示数

【练习1】   一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续向前走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市

⑴以超市为原点，向东作为正方向，用个单位长度表示，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置.

⑵小明家距离小彬家多远？

⑶货车一共行驶了多少千米？

【解析】⑴如图所示：

        ⑵小明距离小彬家

        ⑶货车共行驶了.

数轴上的点、线段的移动

【练习2】   ⑴在数轴上，点和点都在与对应的点上，若点以每秒个单位长度的速度向

右运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，则秒之后，点和点所处的位置对应的数是什么？这时线段的长度是多少？

⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上随意画出一条长的线段．被线段盖住的整数有（      ）个．

A．或    B．或    C．或    D．或

【解析】⑴点对应的数是，点对应的数是，线段的长度是；⑵C.

利用数轴比较大小

【练习3】   数所对应的点在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系为                      .

【解析】.

利用数轴性质建立方程求点对应的数

【练习4】   如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点、、、对应的整数、、、，且，那么数轴的原点对应点是（    ）．

A．点     B．点      C．点      D．点

【解析】C．，．

数轴折叠

【练习5】   已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．

⑴ 若表示的点与表示的点重合，则7表示的点与数      表示的点重合；

⑵ 若数轴上A、B两点之间的距离为个单位长度，点A表示的有理数是，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？

【解析】⑴ ；⑵此时折线与数轴的交点表示的有理数是或.

周期问题与数轴

【练习6】   如图，圆的周长为，在圆的三等分点处标上数字、、. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？

【解析】.

数轴是谁最先发现的？

勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了“普遍怀疑”的主张。黑格尔称他为“现代哲学之父”。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。

动手操作，你需要哪些工具，能在数轴上找到π.试着画出