2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.1 第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

学习目标　1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.

3.了解简单组合体的概念及结构特征.

知识点一　圆柱的结构特征

思考　圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________.

答案　无穷多　全等　无穷多　相等

知识点二　圆锥的结构特征

思考　圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？

答案　圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.

知识点三　圆台的结构特征

知识点四　球的结构特征

知识点五　简单组合体的结构特征

1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.

2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(　×　)

2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(　√　)

3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(　×　)

4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(　×　)

一、旋转体的结构特征

例1　下列说法正确的是________.(填序号)

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；

④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

答案　③④

解析　①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④正确.

反思感悟　(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成.

②明确旋转轴是哪条直线.

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.

跟踪训练1　下列说法，正确的是(　　)

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.

A.①②  B.②③  C.①③  D.②④

答案　D

解析　由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.

二、简单组合体的结构特征

例2　(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.

解　①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.

(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

解　如下图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.

反思感悟　(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.

(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.

跟踪训练2　(1)如图所示的简单组合体的组成是(　　)

A.棱柱、棱台   B.棱柱、棱锥

C.棱锥、棱台   D.棱柱、棱柱

答案　B

(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)

A.一个圆台、两个圆锥   B.两个圆柱、一个圆锥

C.两个圆台、一个圆柱   D.一个圆柱、两个圆锥

答案　D

解析　图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.

三、旋转体的有关计算

例3　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：

(1)圆台的高；

(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.

解　(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).

由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.

又由题意知腰长AB＝12 cm，

所以高AM＝

＝3(cm).

(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，

则由△SAO1∽△SBO，可得＝，

解得l＝20.

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

反思感悟　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解.

跟踪训练3　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.

解　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面，如图所示.

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.

所以＝.

所以＝＝.

解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm.

1.下列说法中正确的是(　　)

A.将正方形旋转不可能形成圆柱

B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

答案　C

解析　将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.

2.(多选)下列命题中正确的是(　　)

A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径

B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等

C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面

D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形

答案　ACD

3.下列几何体是台体的是(　　)

答案　D

解析　台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.

4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是(　　)

A.圆柱  B.圆台  C.球体  D.棱台

答案　D

解析　圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)或等腰梯形(圆台)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.

5.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________ cm2.

答案　16π或9π

解析　当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；

当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.

1.知识清单：

(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.

(2)球的结构特征.

(3)简单组合体的结构特征.

2.方法归纳：分类讨论.

3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.

1.下列几何体中不是旋转体的是(　　)

答案　D

2.如图所示的简单组合体的结构特征是(　　)

A.由两个四棱锥组合成的

B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的

C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的

D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的

答案　A

3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　)

A.一个球体

B.一个球体中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

答案　B

解析　圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.

4.若圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)

A.5  B.10  C.20  D.不确定

答案　B

解析　圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.

5.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的(　　)

答案　D

解析　图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成.

6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________.(填序号)

答案　①④

解析　①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.

7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________.(用Q表示)

答案　

解析　设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.

∴4r2＝Q，解得r＝，

∴此圆柱的底面半径为.

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.

答案　

解析　由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝ .

9.一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.

解　如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.

在Rt△SOA中，

AO＝SO·tan 30°＝(cm).

SA＝＝＝(cm).

所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2).

所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2.

10.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

解　把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，

则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.

∵AA′为底面圆的周长，

∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，

∴AB′＝＝＝2，

即蚂蚁爬行的最短距离为2.

11.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　)

A.4   B.3

C.2   D.2

答案　D

解析　圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，由题意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.

12.已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是______cm.

答案　8

解析　如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.

由题意知，R＝10 cm，由πr2＝36π，得r＝6，

所以d＝＝＝8(cm).

13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.

答案　

解析　如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，

由题意可知GH＝5，GF1＝，GE1＝＝.

所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是.

14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________.(填序号)

答案　①⑤

解析　由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.

15.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(　　)

A.4  B.3  C.2  D.0.5

答案　B

解析　如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π和8π，

∴两个截面圆的半径分别为r1＝，

r2＝2.

∵球心到两个截面的距离d1＝，d2＝，

∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3.

16.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：

(1)绳子的最短长度；

(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.

解　(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，

设OB＝l，

则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，

解得θ＝，l＝20 cm.

∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.

∴AM＝＝50 cm.

即绳子最短长度为50 cm.

(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，

则PQ为所求的最短距离.

∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm.

故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.