高中数学8.1 基本立体图形第2课时导学案

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8.1 第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征【学习目标】【自主学习】一．圆柱的结构特征注意：圆柱的简单性质：(1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等.(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示.(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示.(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示.二．圆锥的结构特征注意：圆锥的简单性质：(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示.(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示.(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示.三．圆台的结构特征注意：圆台的简单性质：(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点.(2)平行于底面的截面是圆，如图①所示.(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示.(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示.四．球五．简单组合体 (1)概念：由 组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体 而成；②由简单几何体 一部分而成．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(　　)(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(　　)(3)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(　　)(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(　　)2.可以旋转得到如图的图形的是(　　)3.过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是(　　)A．直角三角形　　　　　　　 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【经典例题】题型一　旋转体的结构特征点拨：简单旋转体判断问题的解题策略1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键；2．解题时要注意两个明确：,①明确由哪个平面图形旋转而成；,②明确旋转轴是哪条直线.例1　下列结论正确的是____.①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上；⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.【跟踪训练】1下列命题：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，其中正确的是(　 　)A．①②　　　B．②③ C．①③　　　D．②题型二　简单组合体的结构特征例2 如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　)【跟踪训练】2已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．题型三 圆柱、圆锥、圆台的计算问题点拨：旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法.例3 已知一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【跟踪训练】3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．题型四 球的截面问题点拨：利用球的截面，借助直角三角形，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.例4 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离．【跟踪训练】4 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为 .【当堂达标】1.如图所示的图形中有(　　)A．圆柱、圆锥、圆台和球　　 B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球2.如图所示的组合体的结构特征是(　　)A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台3．下列说法中正确的是________．①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．4.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．5.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.　6.指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．【课堂小结】1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．【参考答案】【自主学习】矩形 轴 底面 侧面 平行 圆心 O′O 圆柱 棱柱直角 直角边 SO ⊙O 顶点 半径 轴 SO 棱锥 圆锥圆锥 底面 截面 下 上 侧面 OO′ 字母 OO′ 圆台 棱台直径 一周 圆心 半径 直径 球心 O简单几何体 拼接 截去或挖去【小试牛刀】1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2.A 解析：题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．3.B【经典例题】例1 ④⑥⑧ 解析：①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确.【跟踪训练】1 D 解析：过圆柱两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错误；圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线，③错误；由圆锥母线的定义知②正确.例2 A 解析：该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【跟踪训练】2 解：(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．例3 [解]　(1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．由题意可得上底的一半O1A＝2 cm，下底的一半OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，所以圆台的高AM＝eq \r(122－5－22)＝3eq \r(15)(cm)．(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，得eq \f(l－12,l)＝eq \f(2,5)，解得l＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.【跟踪训练】3【解】　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以eq \f(SA′,SA)＝eq \f(O′A′,OA)，所以eq \f(3,3＋l)＝eq \f(r,4r)＝eq \f(1,4).解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.例4 [解]　设球的大圆为圆O，C，D两点为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.当两截面在球心同侧时，如图(1)，此时CD＝OC－OD＝eq \r(OE2－EC2)－eq \r(OF2－DF2)＝8－6＝2.当两截面在球心两侧时，如图(2)，此时CD＝OC＋OD＝eq \r(OE2－EC2)＋eq \r(OF2－DF2)＝8＋6＝14.故两截面间的距离为2或14.【跟踪训练】4 2eq \r(2)解析：设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1，设球的半径为R，则R＝eq \r(d2＋r2)＝eq \r(2)，故球的直径为2eq \r(2).【当堂达标】1.B 解析：根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2.C 解析：如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．3. ② 解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．4. 2eq \r(2) 解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝ eq \r(42－r2).由题意可知eq \f(1,2)·2r·h＝req \r(42－r2)＝8，所以r2＝8，所以h＝2eq \r(2).5. 13 解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)．所以AB＝eq \r(122＋52)＝13(cm)．6.解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．素 养 目 标学 科 素 养1.几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体2.会根据旋转体的几何体特征进行相关运算3.会根据旋转体的几何体特征进行相关运算1.数学运算;2.直观想象定义以____的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱有关概念旋转轴叫做圆柱的____；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的____；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的____；无论旋转到什么位置，____于轴的边都叫做圆柱侧面的母线图形表示法用表示它的轴的字母，即表示两底面____的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱___规定_ _和_ _统称为柱体定义以____三角形的一条____所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图形有关概念如上图所示，轴为____，底面为____，SA为母线.另外，S叫做圆锥的____，OA(或OB)叫做底面⊙O的____表示法圆锥用表示它的____的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥___规定_ _与____统称为锥体定义用平行于____底面的平面去截圆锥，____与　____之间的部分叫做圆台图形有关概念原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的____底面和____底面.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、____、母线，如上图所示，轴为___，AA′为母线表示法用表示轴的____表示，上图中的圆台可记作圆台____规定___与____统称为台体定义以半圆的____所在直线为旋转轴，半圆面旋转____形成的旋转体叫做球体，简称球有关概念半圆的__ __叫做球的球心；半圆的____叫做球的半径；半圆的___叫做球的直径图形表示法球常用表示____的字母表示，如上图中的球记作球___