2019届二轮复习小题专练　平面向量、复数作业（全国通用）

小题专练·作业(二)　平面向量、复数

1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0   B.

C．1   D.

解析　解法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1。故选C。

解法二：因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝||＝＝＝1，故选C。

答案　C

2.(2018·福州联考)如果复数z＝，则(　　)

A.z的共轭复数为1＋i 

B．z的实部为1

C.|z|＝2 

D．z的实部为－1

解析　因为z＝＝＝＝－1－i，所以z的实部为－1，故选D。

答案　D

3.(2018·福建质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征。正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝。下列关系中正确的是(　　)

A.－＝   B.＋＝

C.－＝   D.＋＝

解析　结合题目中的图形可知－＝－＝＝＝。故选A。

答案　A

4.(2018·贵阳摸底)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，·的值为(　　)

A.10  B．11,C.12  D．13

解析　以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11。故选B。

答案　B

5.(2018·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝(　　)

A.1－i   B．1＋i    C.－i  D.＋i

解析　设z＝a＋bi，其中a，b∈R，由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋＝3＋i，由复数相等可得解得故z＝＋i。故选D。

答案　D

6．(2018·南宁摸底)已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析　因为＋＋＝0，所以O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC。因为·＝2，所以||·||·cos∠BAC＝2，因为∠BAC＝60°，所以||·||＝4。又S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，所以△OBC的面积为。故选A。

答案　A

7．(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)

A．－15   B．－9

C．－6   D．0

解析　由＝2，可知＝2，所以＝3。由＝2，可知＝2，所以＝3，故＝＝3，连接MN，则BC∥MN且||＝3||。所以＝3＝3(－)，所以·＝3(－)·＝3(·－2)＝3(||·||cos120°－2)＝－6。故选C。

答案　C

8．(2018·武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)

A．1＋   B．1－

C.－1   D．1

解析　解法一：如图，作出，使得＋＝，(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋。故选A。

解法二：如图A(1,0)，B(0,1)，

设C(cosθ，sinθ)，则(－)·(－)＝(cosθ－1，sinθ)·(cosθ，sinθ－1)＝cos2θ－cosθ＋sin2θ－sinθ＝1－sin，所以所求为1＋。

答案　A

9．(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝______。

解析　＝＝＝4－i。

答案　4－i

10．(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________。

解析　复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2。

答案　2

11．(2018·合肥质检)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于______。

解析　解法一：因为|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，所以a·b＝－1，所以a在b方向上的投影为＝－。

解法二：记a＝，a＋b＝，b＝，由题意知||＝1，||＝，||＝2，则2＋2＝2，△AOB是直角三角形，且∠OAB＝，所以a在b方向上的投影为||cos＝1×＝－。

答案　－

12．(2018·惠州调研)在四边形ABCD中，＝，P为CD上一点，已知||＝8，||＝5，与的夹角为θ，且cosθ＝，＝3，则·＝______。

解析　因为＝，＝3，所以＝＋＝＋，＝＋＝－，又||＝8，||＝5，cosθ＝，所以·＝8×5×＝22，所以·＝·＝2－·－2＝52－11－×82＝2。

答案　2

13.(2018·广东二模)如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为(　　)

A．   B．

C．1   D．

解析　因为扇形AOB的半径为1，所以||＝1，因为OP⊥OB，所以·＝0。因为∠AOB＝，所以∠AOP＝，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝1＋||cos＋||·||cos≤1＋0×＋0×＝1。故选C。

答案　C

14．(2018·洛阳联考)已知点O是锐角三角形ABC的外心，若＝m＋n(m，n∈R)，则(　　)

A．m＋n≤－2   B．－2≤m＋n<－1

C．m＋n<－1   D．－1<m＋n<0

解析　因为点O是锐角三角形ABC的外心，所以O在三角形内部，则m<0，n<0，不妨设锐角三角形ABC的外接圆的半径为1，因为＝m＋n，所以2＝m22＋n22＋2mn·，设向量，的夹角为θ，则1＝m2＋n2＋2mncosθ<m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2，所以m＋n<－1或m＋n>1(舍去)，所以m＋n<－1。故选C。

答案　C

15．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________。

解析　依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ，由λ∈知，x∈，即x的取值范围是。

答案　

16．已知向量a，b，c满足|a|＝2|b|＝2，a·b＝0，(c－a)·(c－b)＝0，则|c－2a|的最小值为________。

解析　由题意，设a＝(2,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(x－2，y)·(x，y－1)＝0，即x2＋y2－2x－y＝0，即(x－1)2＋2＝，|c－2a|的几何意义是圆(x－1)2＋2＝上的点到点(4,0)的距离，故其最小值为 －＝。

答案