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高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试导学案及答案
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这是一份高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试导学案及答案，共25页。
1 实数大小比较的方法知多少
实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考．
1．利用作差法比较实数大小
方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．
例1 已知a
＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)
＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)
＝(a－b)(a－c)(b－c)．
∵a
∴a2b＋b2c＋c2a
方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：
(1)若a，b都是正数，则a>b⇔>1；
a
a1；a＝b⇔＝1.
作商比较法的基本步骤：
①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．
例2 设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb，abba，三者的大小．
解 ＝·＝＝.
当a>b>0时，>1，a－b>0，>0，
∴>0＝1，
∴aabb> .
当0
∴aabb> .
∴不论a>b>0还是0.
同理： >abba.
综上所述，aabb> >abba.
3．构造中间值比较实数大小
方法链接：由传递性知a>b，b>c⇒a>c，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较．
例3 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
解析 a＝log3π>log33＝1，∴a>1，
b＝log2＝log23
又b＝log2＝log23>，
∴b>c，∴a>b>c.
答案 A
4．特殊值法比较实数大小
方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案．这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解．一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向．
例4 若0
C．a1b2＋a2b1 D.
解析 特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
(注：本题还可以利用作差法比较大小，此答从略)
答案 A
5．利用函数单调性比较实数大小
方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断．
例5 当0
C．(1－a)b>(1－a) D．(1－a)a>(1－b)b
解析 对于A，∵0b，∴(1－a) <(1－a)b，A错误；
对于B，∵函数y＝(1＋a)x为R上的增函数，
∴(1＋a)a<(1＋a)b，
又函数y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，
∴(1＋a)b<(1＋b)b，从而(1＋a)a<(1＋b)b，B错误；
对于C，∵函数y＝(1－a)x为R上的减函数，且b>，∴(1－a)b<(1－a)，C错误；
对于D，∵函数y＝(1－a)x为R上的减函数，且a
所以(1－a)a>(1－b)b，D正确，故选D.
答案 D
6．借助函数的图象比较实数大小
方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论．
例6 设a、b、c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则( )
A．a
答案 A
2 解含参不等式的利器——分类讨论
解含参数的一元二次不等式，要把握分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数与0的关系；其次根据根是否存在，即根据Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小关系进行讨论．分类时要保证“不重不漏”，按同一标准进行划分后，不等式的解集的表达式是确定的．
1．对判别式“Δ”进行讨论
当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时，需要对判别式“Δ”进行讨论．
例1 解关于x的不等式x2＋ax＋1>0(a∈R)．
解 对于方程x2＋ax＋1＝0，Δ＝a2－4，
(1)当Δ>0，即a>2或a<－2时，方程x2＋ax＋1＝0有两个不等实根x1＝，x2＝，
且x1
；
(2)当Δ＝0，即a＝±2时，
①若a＝2，则原不等式的解集为{x|x≠－1}；
②若a＝－2，则原不等式的解集为{x|x≠1}；
(3)当Δ<0，即－2
{x|x＜或x＞}，
当a＝2时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当－2＜a＜2时，原不等式的解集为R.
2．对方程的解的大小进行讨论
当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程一定有两解，但不知道两个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．
例2 解关于x的不等式x2－x＋1>0(a∈R，且a≠0)．
解 原不等式可变形为(x－a)>0，易求得方程(x－a)＝0的两个解分别为x1＝a和x2＝，所以
(1)当a>，即a∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为；
(2)当a＝，即a＝±1时，
①若a＝1，则原不等式的解集为{x|x≠1}；
②若a＝－1，则原不等式的解集为{x|x≠－1}；
(3)当a<，即a∈(－∞，－1)∪(0,1)时， 原不等式的解集为.
综上所述，当a∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为{x|x＜或x＞a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a∈(－∞，－1)∪(0,1)时，原不等式的解集为
{x|x＜a或x＞}．
3．对二次项系数进行讨论
当含参数的不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论；其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行讨论．
例3 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解 原不等式可变形为ax2＋(a－2)x－2≥0，
(1)当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
(2)当a≠0时，原不等式可变形为(ax－2)(x＋1)≥0，方程(ax－2)(x＋1)＝0的解为x1＝，x2＝－1.
①当a>0时，>－1，所以原不等式的解集为
；
②当a<0时，
a．当－2
b．当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
c．当a<－2时，>－1，
所以原不等式的解集为.
综上：当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，原不等式的解集为；
当－2
当a<－2时，原不等式的解集为.
4．对含参的分式不等式转化后再讨论
对含有参数的分式不等式，利用不等式的同解原理等价转化为一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分类讨论，逐类求解．
例4 解不等式：
⇔(x＋2)(kx＋3k＋2)>0，
当k＝0时，原不等式解集为{x|x>－2}；
当k>0时，(kx＋3k＋2)(x＋2)>0，
变形为(x＋2)>0，
因为＝3＋>3>2，所以－<－2.
所以x<－或x>－2.
故不等式的解集为.
当k<0时，原不等式⇔(x＋2)<0，
由于(－2)－＝.
所以当－2
当k＝－2时，－＝－2，
原不等式⇔(x＋2)2<0，不等式的解集为∅；
当k<－2时，>0，－2>－.
不等式的解集为.
综上所述，当k＝0时，不等式的解集为{x|x>－2}；
当k>0时，不等式的解集为；
当－2
当k<－2时，不等式的解集为.
回顾与提升 含有参数的一元二次不等式，问题看似简单，但因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：
①讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求
转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．
②讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决．
③考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论．
3 一元二次不等式恒成立问题的求解策略
含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一．下面结合例子，介绍几种常用的求解策略．
1．利用一元二次不等式的判别式求解
代数式ax2＋bx＋c>0的等价条件是
或
例1 已知不等式>2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围．
解 ∵x2＋x＋2＝2＋>0.
∴原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4，
即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0.
当k＝2时，2>0，结论显然成立；
当k≠2时，k满足不等式组
解得2
2．转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解
一般地，f(x)≥a，x∈D恒成立⇔f(x)min≥a，x∈D恒成立；f(x)≤a，x∈D恒成立⇔f(x)max≤a，x∈D恒成立．
例2 已知不等式sin2x－2asin x＋a2－2a＋2>0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解 设f(x)＝sin2x－2asin x＋a2－2a＋2，
则f(x)＝(sin x－a)2＋2－2a.
当a<－1时，f(x)在sin x＝－1时取到最小值，且f(x)min＝a2＋3，a2＋3>0显然成立；∴a<－1.
当－1≤a≤1时，f(x)在sin x＝a时取到最小值，且f(x)min＝2－2a，由2－2a>0，解得a<1，
∵－1≤a≤1，∴－1≤a<1.
当a>1时，f(x)在sin x＝1时取到最小值，且f(x)min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3>0，解得a<1或a>3，
∵a>1，∴a>3.
综上所述，a的取值范围为a<1或a>3.
3．利用直线型函数图象的保号性求解
函数f(x)＝kx＋b，x∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x轴上方的等价条件是此线段恒在x轴下方的等价条件是此线段与x轴有交点的等价条件是f(α)·f(β)≤0.
例3 已知当x∈[0,1]时，不等式2m－1
则原不等式恒成立⇔f(x)>0，
x∈[0,1]恒成立⇔
⇔⇔m<0.
4．分离参数后，利用基本不等式求解
如果直接求参数的范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f(x)≥a⇔a≤f(x)min或f(x)≤a⇔a≥f(x)max求解．
例4 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，当x∈[－1,1]时，不等式f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
解 不等式f(x)>a⇔x2＋ax＋3>a
⇔x2＋3>a(1－x)，x∈[－1,1]．
∵－1≤x≤1，
∴0≤1－x≤2.
当x＝1时，1－x＝0，x2＋3>a(1－x)对一切a∈R恒成立；当x≠1时，0<1－x≤2，则a<.
∵＝
＝(1－x)＋－2≥2－2＝2.
当且仅当1－x＝，即x＝－1时，取到等号．
∴min＝2.从而a<2.
综上所述，a的取值范围为(2，＋∞).
4 求最优解为整点的方法
处理实际问题中的最优解时，有时需满足x，y∈N，这种最优解称为整点最优解，下面举例探讨整点最优解的方法．
1．平移法
在可行域内找整点最优解，一般采用平移法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解．先按“平移法”求出非整点最优解及最值，再调整最值，最后筛选出整点最优解．
例1 某中学准备组织学生去“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，才能使总费用最少？
分析 可以填表理解题意．这样便于列约束条件和目标函数.
辆数
载人数
往返次数
每次成本
大巴
小巴
解 设每天派出小巴x辆、大巴y辆，总运费为z元，
则目标函数z＝240x＋180y.
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分的整点．
作出直线l：240x＋180y＝0，即4x＋3y＝0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使其在y轴上的截距最小．观察图形，可知当直线l经过点B(2,4)时，满足上述要求．
此时，z＝240x＋180y取得最小值，即x＝2，y＝4时，
zmin＝240×2＋180×4＝1 200(元)．
答 派2辆小巴、4辆大巴总费用最少．
点评 用平移法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f(x，y)＝t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网格法”先作出可行域中的各整点．
2．检验法
由于作图难免有误差，所以仅靠图象不一定能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一检验．
例2 现有一根长4 000 mm的条形高新材料，需要将其截成长分别为518 mm与698 mm的甲、乙两种零件毛坯，求高新材料的最大利用率．
解 设甲种毛坯截x根，乙种毛坯截y根，高新材料的利用率为P，则线性约束条件为518x＋698y≤4 000，其中x、y∈N，目标函数为P＝×100%，可行域是图中阴影部分的整点，目标函数表示与直线518x＋698y＝4 000平行的直线系．所以使P取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x＋698y＝4 000的整点坐标．如图可得点(0,5)，(1,4)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,2)，(6,1)，(7,0)都可能是最优解，逐一代入目标函数，可知当x＝5，y＝2时，Pmax＝99.65%.
答 当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，高新材料的利用率最大，且最大为99.65%.
点评 解线性规划问题作图时应尽可能精确，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优解并不十分明显时，不妨将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一进行检验，确定整点最优解．
基本不等式的推广
“a2＋b2≥±2ab”是一个简单而公认的不等式，但是利用它，通过变形，引申可以方便地证明一些已有定理，如：
定理1 若a1，a2，…，an∈R，
则有≥()2，
当且仅当a1＝a2＝…＝an时，
式中等号成立．
由基本不等式a2＋b2≥2ab，
有2a2＋2b2≥2ab＋a2＋b2，
≥＝()2， ①
我们猜想会不会有下式成立．
≥()2 ②
∵(a＋b＋c)2＋(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2
＝3(a2＋b2＋c2)，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
∴≥()2. ③
仿③式证明定理1
证明 ∵(a1＋a2＋a3＋…＋an)2＋(a1－a2)2＋(a1－a3)2＋…＋(a1－an)2＋(a2－a3)2＋(a2－a4)2＋…＋(a2－an)2＋(a3－a4)2＋…＋(an－1－an)2＝n(a＋a＋a＋…＋a)
∴n(a＋a＋…＋a)≥(a1＋a2＋a3＋…＋an)2
定理1成立．
定理1的另一种形式是：
||≤ .
定理2 若a1，a2，a3，…，an∈(0，＋∞)，
则有a1＋a2＋a3＋…＋an≥n，
当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时等式成立．
设a，b∈(0，＋∞)，从最简不等式a2＋b2≥2ab降次，则有a＋b≥2.
设a，b，c∈(0，＋∞)，不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立吗？
∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴(a3＋b3)＋(c3＋abc)≥2＋2
≥4＝4abc，
∴a3＋b3＋c3≥3abc，
上述不等式降次则有a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c≥3.
实际上，基本不等式还有很多角度不同的推广，也有不少巧妙的应用，有兴趣的同学不妨搜一搜，或者自己做些尝试.
5 例析以线性规划为载体的交汇问题
1．线性规划与函数交汇
例1 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax (a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
解析 作二元一次不等式组的可行域如图所示，
由题意得A(1,9)，C(3,8)．
当y＝ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a＝9；
当y＝ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a＝2，
∴2≤a≤9.
答案 C
点评 准确作出可行域，熟知指数函数y＝ax的图象特征是解决本题的关键．
2．线性规划与概率交汇
例2 两人约定下午4点到5点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人20分钟，过时就离去．请问这两个人能见面的概率有多大？
解 用x、y分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|x－y|≤20，又0≤x≤60,0≤y≤60，
即有
作出点(x，y)的可行域如图所示中阴影部分，由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积比上大正方形的面积，故所求概率为P＝＝.
点评 这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了．
3．线性规划与一元二次方程交汇
例3 已知方程x2＋(2＋a)x＋1＋a＋b＝0的两根为x1、x2，且0
作出可行域，如图所示．
而令k＝，则表示可行域内的点与原点连线的斜率．
设M(x0，y0)，
则由
得M(－3,2)，kOM＝－，
结合图可知－2
点评 本题以一元二次方程的根的范围为背景，并通过与二次函数的联系转化为关于a、b的线性约束条件来求解．其中理解表示可行域内的点与原点连线的斜率是解题的关键．
4．线性规划与圆交汇
例4 若{(x，y)|}⊆{(x，y)|x2＋y2≤m2 (m>0)}，求实数m的取值范围．
解 设A＝{(x，y)|}，
B＝{(x，y)|x2＋y2≤m2 (m>0)}，
则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以坐标原点为圆心，m为半径的圆及其内部，由A⊆B得，m≥|PO|，
由
解得即P(3,4)，∴|PO|＝5，即m≥5.
故实数m的取值范围是[5，＋∞)．
点评 集合{(x，y)|x2＋y2≤m2 (m>0)}的几何含义是以(0,0)为圆心，m为半径的圆及其内部区域．
5．线性规划与平面向量交汇
例5 已知O为坐标原点，定点A(3,4)，动点P(x，y)满足约束条件则向量在上的投影的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
向量在向量上的投影为
||cos∠AOP
＝||·
＝＝，
令z＝3x＋4y，易知直线3x＋4y＝z过点G(1,0)时，zmin＝3；
直线3x＋4y＝z过点N(1,2)时，zmax＝11.
∴min＝，max＝.
故选D.
答案 D
点评 向量在上的投影：||·cos〈，〉＝||·＝＝，清楚这一点对解答本题至关重要．
6 应用基本不等式“四”勿忘
在使用基本不等式时，由于各种原因，同学们会犯这样那样的错误，下面我们分类例析，希望同学们在以后的学习中能够注意．
1．勿忘“正”
“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数．
例1 已知x∈R，且x≠0，求函数y＝x＋的值域．
[错解] 由x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，得函数的值域为[2，＋∞)．
[剖析] 想当然的把x看成了正数，在利用基本不等式求最值时，首先应先弄清所给的数是否为正，如果为负，必须先变为正数，然后才能利用基本不等式．
[正解] ①当x>0时，y＝x＋≥2，
当且仅当x＝1时，等号成立；
②当x<0时，y＝x＋＝－[(－x)＋]≤－2，
当且仅当x＝－1时，等号成立．
所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
2．勿忘“定”
“定”是指用基本不等式时，和或积为定值．
例2 求函数f(x)＝2x(5－3x)，x∈(0，)的最大值．
[错解] 因为x∈(0，)，
所以x>0,5－3x>0.
所以f(x)＝2x(5－3x)≤()2＝，
当且仅当2x＝5－3x，即x＝1时，等号成立，
此时，f(x)的最大值为4.
[剖析] 上述解法虽然注意到了各项为正，却又忽视了应用基本不等式求最值的条件中和为定值的要求．
[正解] f(x)＝2x(5－3x)＝×3x(5－3x)
≤()2＝，当且仅当3x＝5－3x，
即x＝时，等号成立．故f(x)的最大值为.
3．勿忘“等”
“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件．
例3 已知x∈R，求y＝的最小值．
[错解] y＝＝＋≥2，
所以ymin＝2.
[剖析] 等号成立的条件为＝，但此时x不存在．
[正解] 令＝t，则t≥，
而y＝t＋在[，＋∞)内递增，
所以y＝t＋在t＝时，取最小值，
又＝t＝，解得x＝0，
所以当x＝0时，y＝取最小值，且ymin＝.
4．勿忘“同”
“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同．
例4 已知x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
[错解] x，y为正实数，则xy＝2x＋8y≥8，
即xy－8≥0，即≥8.
所以x＋y≥2≥16，即x＋y的最小值为16.
[剖析] 在2x＋8y≥8中当且仅当x＝4y时，等号成立；而在x＋y≥2中当且仅当x＝y时，等号成立．显然，两次等号成立的条件不同，故求得x＋y的最小值为16是不成立的．
[正解] 因为x，y∈(0，＋∞)，且2x＋8y＝xy，
所以＋＝1，x＋y＝(x＋y)＝＋2＋8＋≥2 ＋10＝18，当且仅当＝时，等号成立，又＋＝1，解得x＝12，y＝6.故x＋y的最小值为18.
7 运用基本不等式求最值的7种常见技巧
在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明．
1．凑和为定值
例1 若a、b、c>0，且2a＋b＋c＝，则a(a＋b＋c)＋bc的最大值为( )
A. B. C. D．2
分析 注意a(a＋b＋c)＋bc＝(a＋b)(a＋c)，而2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用基本不等式求最值．
解析 ∵a(a＋b＋c)＋bc＝a2＋ab＋ac＋bc
＝(a2＋ac)＋(ab＋bc)＝a(a＋c)＋b(a＋c)
＝(a＋b)(a＋c)≤2
＝2＝2＝.
当且仅当a＋b＝a＋c＝，即b＝c时，取“＝”，
∴a(a＋b＋c)＋bc的最大值为.故选C.
答案 C
2．凑积为定值
例2 设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是( )
A．2 B．4 C．2 D．5
分析 注意到2a2＋＋－10ac＋25c2
＝a2－ab＋＋ab＋＋a2－10ac＋25c2
＝＋＋(a－5c)2，然后分别利用基本不等式和平方数的性质求最值．由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件．
解析 ∵a>b>c>0，∴原式＝a2＋＋－10ac＋25c2＋a2＝a2－ab＋＋ab＋＋(a－5c)2≥2＋2＋0＝4，当且仅当a(a－b)＝1，ab＝1，a－5c＝0时取等号．即当a＝，b＝，c＝时，所求代数式的最小值为4.
答案 B
3．化负为正
例3 已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值．
分析 因为4x－5<0，所以要先“调整”符号，又(4x－2)·不是常数，所以对4x－2要添项“配凑”．
解 ∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
4．和积互“化”
例4 若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则2x＋y的最小值是________．
分析 可以利用基本不等式的变形形式ab≤2进行和或积的代换，这种代换目的是消除等式两端的差异，属不等量代换，带有放缩的性质．
解析 方法一 ∵x>0，y>0，
∴xy＝·(2x)·y≤·2，
∴2x＋y＋6＝(2x＋y)＋6≤(2x＋y)2，
∴(2x＋y)2－8(2x＋y)－48≥0，
令2x＋y＝t，t>0，则t2－8t－48≥0，
∴(t－12)(t＋4)≥0，
∴t≥12，即2x＋y≥12.
方法二 由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即()2－2－6≥0，
∴(－3)·(＋)≥0.
又∵>0，∴≥3，即xy≥18.
∴xy的最小值为18，
∵2x＋y＝xy－6，
∴2x＋y的最小值为12.
答案 12
5．消元法
例5 若正实数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________．
分析 从ab＝a＋b＋3中解出b，即用a的代数式表示b，则ab可以用a来表示，再求关于a的代数式的最值即可．
解析 ∵ab＝a＋b＋3，∴(a－1)·b＝a＋3.
∵a>0，b>0，∴a－1>0，即a>1，∴b＝，
∴ab＝a·＝＝
＝(a－1)＋＋5.
∵a>1，∴a－1＋≥2＝4，
当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，
此时b＝3，∴ab≥9.
∴ab的最小值为9.
答案 9
6．平方法
例6 若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．
分析 仔细观察题目已知式中x与y都是二次的，而所求式中x是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x平方，则豁然开朗，思路就在眼前了．
解 (x)2＝x2(6＋2y2)
＝3·2x2
≤3·2＝3·2.
当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．
故x的最大值为.
7．换元法
例7 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50
∴y＝＝
＝≤＝2 500.
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.
所以销售价格每件应定为60元．
8 不等式易错备忘录
1．多次非同解变形，导致所求范围扩大而致错
例1 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx (a≠0)满足1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的范围是( )
A．[3,12] B．(3,12)
C．(5,10) D．[5,10]
[错解] 由于f(－2)＝4a－2b，要求f(－2)的范围，可先求a与b的范围．由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
得
两式相加得≤a≤3，又－2≤b－a≤－1， ③
②式与③式相加得0≤b≤.
∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0.∴3≤4a－2b≤12.
即3≤f(－2)≤12.故选A.
[点拨] 这种解法看似正确，实则使f(－2)的范围扩大了，事实上，这里f(－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a＝且b＝时才能使4a－2b＝3，而此时a－b＝0，不满足①式．同理可验证4a－2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．
[正解] 方法一 ∵
∴
∴f(－2)＝4a－2b＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]
＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.
∴5≤f(－2)≤10，故选D.
方法二 数形结合法
在坐标平面aOb上，
作出直线a＋b＝2，a＋b＝4，a－b＝1，a－b＝2，
则
表示平面上的阴影部分(包括边界)，如图所示．
令m＝4a－2b，则b＝2a－.
显然m为直线系4a－2b＝m在b轴上截距2倍的相反数．
当直线b＝2a－过点A时，m取最小值5；过点C(3,1)时，m取最大值10.
∴f(－2)∈[5,10]，选D.
温馨点评 利用不等式的变换求取值范围时，要使变换符合等价性.像此类题一般是运用待定系数法或线性规划中最优解方法求解.切勿像误区中解法那样先求a、b的范围，再求f(－2)的范围，这样求出的范围会扩大.
2．混淆“定义域为R”与“值域为R”的区别而致错
例2 若函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R，求a的取值范围．
[错解1] ∵函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R.
∴ax2－2x＋a>0对x∈R恒成立．
∴即∴a>1.
[错解2] ∵函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R.
∴代数式ax2－2x＋a能取遍一切正值．
∴Δ＝4－4a2≥0，
∴－1≤a≤1.
[点拨] 上述解法1把值域为R误解为定义域为R；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a<0时，代数式ax2－2x＋a不可能取到所有正数，从而也是错误的．
[正解] 当a＝0时，y＝lg(－2x)值域为R，a＝0适合．
当a≠0时，ax2－2x＋a＝a2＋为使
y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R，
代数式ax2－2x＋a应可取到所有正数．
所以a应满足解得0
温馨点评 函数的定义域为R与函数的值域为R是两个不同的问题，处理方法截然不同，在学习中要注意区分这类“貌似而实质迥异”的问题.
3．忽略截距与目标函数值的关系而致错
例3 设E为平面上以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝4x－3y的最大值与最小值．
[错解] 把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.
根据条件画出图形如图所示，
当动直线y＝x－z通过点C时，z取最大值；
当动直线y＝x－z通过点B时，z取最小值．
∴zmin＝4×(－1)－3×(－6)＝14；
zmax＝4×(－3)－3×2＝－18.
[点拨] 直线y＝x－z的截距是－z，当截距－z最大即过点C时，目标函数值z最小；而当截距－z最小即过点B时，目标函数值z最大．此处容易出错．
[正解] 把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.
当动直线y＝x－z通过点B时，z取最大值；
当动直线y＝x－z通过点C时，z取最小值．
∴zmin＝4×(－3)－3×2＝－18；
zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14.
温馨点评 由目标函数z＝ax＋by (b≠0)，得y＝－x＋.直线y＝－x＋在y轴上的截距为.当b>0时，目标函数值与直线在y轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b<0时，情形正好相反．
4．最优整数解判断不准而致错
例4 设变量x，y满足条件求S＝5x＋4y的最大值．
[错解] 依约束条件画出可行域如图阴影部分所示，
如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线5x＋4y＝S过点A时，
S＝5x＋4y取最大值，Smax＝18 .
因为x、y为整数，所以当直线5x＋4y＝t平行移动时，从点A起通过的可行域中的整点是C(1,2)，
此时Smax＝13.
[点拨] 上述错误是把(1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有整点(0,2)，(2,1) (2,2)，当过整点(2,2)时，S＝18才是最大值．
[正解] 依据已知条件作出图形如上图所示，在可行域内靠近5x＋4y＝18的整点有(0,2)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，分别验证可得(2,2)为最优解，此时Smax＝2×5＋2×4＝18.
温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.
5．忽略等号成立的条件而致错
例5 已知m2＋n2＝a，x2＋y2＝b (a、b为大于0的常数且a≠b)，求mx＋ny的最大值．
[错解] ∵mx≤，ny≤，
∴mx＋ny≤＋＝＝.
当且仅当m＝x，n＝y时取“＝”．
[点拨] 如果m＝x，n＝y，则会有m2＋n2＝x2＋y2＝a＝b，这与条件“a≠b”矛盾，如果m＝x，n＝y中有一个不成立，则“＝”取不到，则不满足使用基本不等式的条件．
[正解] 利用三角代换可避免上述问题．
∵m2＋n2＝a，∴设 (α∈[0,2π))，
∵x2＋y2＝b，∴设(β∈[0,2π))，
∴mx＋ny＝cos αcos β＋sin αsin β
＝(cos αcos β＋sin αsin β)
＝cos(α－β)≤，
∴(mx＋ny)max＝，
当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．
温馨点评 利用基本不等式求代数式最值时，要考查等号成立的条件是否具备，否则应改换方法求最值.
6．两次利用基本不等式而致错
例6 已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求＋的最小值．
[错解] 因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
＋＝(x＋2y)
≥2×2＝4.
所以＋的最小值为4.
[点拨] 上述解答是错误的，错因是连续两次使用基本不等式，忽视了等号成立的一致性．
[正解] 因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
所以＋＝＋＝1＋2＋＋
≥3＋2＝3＋2.
当且仅当＝且x＋2y＝1，
即x＝－1，y＝1－时，取得等号．
所以＋的最小值为3＋2.
温馨点评 在多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否相同.
1 实数大小比较的方法知多少
实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考．
1．利用作差法比较实数大小
方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．
例1 已知a
＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)
＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)
＝(a－b)(a－c)(b－c)．
∵a
∴a2b＋b2c＋c2a
方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：
(1)若a，b都是正数，则a>b⇔>1；
a
a
作商比较法的基本步骤：
①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．
例2 设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb，abba，三者的大小．
解 ＝·＝＝.
当a>b>0时，>1，a－b>0，>0，
∴>0＝1，
∴aabb> .
当0
∴aabb> .
∴不论a>b>0还是0
同理： >abba.
综上所述，aabb> >abba.
3．构造中间值比较实数大小
方法链接：由传递性知a>b，b>c⇒a>c，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较．
例3 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
解析 a＝log3π>log33＝1，∴a>1，
b＝log2＝log23
又b＝log2＝log23>，
∴b>c，∴a>b>c.
答案 A
4．特殊值法比较实数大小
方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案．这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解．一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向．
例4 若0
C．a1b2＋a2b1 D.
解析 特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
(注：本题还可以利用作差法比较大小，此答从略)
答案 A
5．利用函数单调性比较实数大小
方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断．
例5 当0
C．(1－a)b>(1－a) D．(1－a)a>(1－b)b
解析 对于A，∵0
对于B，∵函数y＝(1＋a)x为R上的增函数，
∴(1＋a)a<(1＋a)b，
又函数y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，
∴(1＋a)b<(1＋b)b，从而(1＋a)a<(1＋b)b，B错误；
对于C，∵函数y＝(1－a)x为R上的减函数，且b>，∴(1－a)b<(1－a)，C错误；
对于D，∵函数y＝(1－a)x为R上的减函数，且a
所以(1－a)a>(1－b)b，D正确，故选D.
答案 D
6．借助函数的图象比较实数大小
方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论．
例6 设a、b、c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则( )
A．a
答案 A
2 解含参不等式的利器——分类讨论
解含参数的一元二次不等式，要把握分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数与0的关系；其次根据根是否存在，即根据Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小关系进行讨论．分类时要保证“不重不漏”，按同一标准进行划分后，不等式的解集的表达式是确定的．
1．对判别式“Δ”进行讨论
当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时，需要对判别式“Δ”进行讨论．
例1 解关于x的不等式x2＋ax＋1>0(a∈R)．
解 对于方程x2＋ax＋1＝0，Δ＝a2－4，
(1)当Δ>0，即a>2或a<－2时，方程x2＋ax＋1＝0有两个不等实根x1＝，x2＝，
且x1
；
(2)当Δ＝0，即a＝±2时，
①若a＝2，则原不等式的解集为{x|x≠－1}；
②若a＝－2，则原不等式的解集为{x|x≠1}；
(3)当Δ<0，即－2
{x|x＜或x＞}，
当a＝2时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当－2＜a＜2时，原不等式的解集为R.
2．对方程的解的大小进行讨论
当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程一定有两解，但不知道两个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．
例2 解关于x的不等式x2－x＋1>0(a∈R，且a≠0)．
解 原不等式可变形为(x－a)>0，易求得方程(x－a)＝0的两个解分别为x1＝a和x2＝，所以
(1)当a>，即a∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为；
(2)当a＝，即a＝±1时，
①若a＝1，则原不等式的解集为{x|x≠1}；
②若a＝－1，则原不等式的解集为{x|x≠－1}；
(3)当a<，即a∈(－∞，－1)∪(0,1)时， 原不等式的解集为.
综上所述，当a∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为{x|x＜或x＞a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a∈(－∞，－1)∪(0,1)时，原不等式的解集为
{x|x＜a或x＞}．
3．对二次项系数进行讨论
当含参数的不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论；其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行讨论．
例3 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解 原不等式可变形为ax2＋(a－2)x－2≥0，
(1)当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
(2)当a≠0时，原不等式可变形为(ax－2)(x＋1)≥0，方程(ax－2)(x＋1)＝0的解为x1＝，x2＝－1.
①当a>0时，>－1，所以原不等式的解集为
；
②当a<0时，
a．当－2
b．当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
c．当a<－2时，>－1，
所以原不等式的解集为.
综上：当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，原不等式的解集为；
当－2
当a<－2时，原不等式的解集为.
4．对含参的分式不等式转化后再讨论
对含有参数的分式不等式，利用不等式的同解原理等价转化为一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分类讨论，逐类求解．
例4 解不等式：
⇔(x＋2)(kx＋3k＋2)>0，
当k＝0时，原不等式解集为{x|x>－2}；
当k>0时，(kx＋3k＋2)(x＋2)>0，
变形为(x＋2)>0，
因为＝3＋>3>2，所以－<－2.
所以x<－或x>－2.
故不等式的解集为.
当k<0时，原不等式⇔(x＋2)<0，
由于(－2)－＝.
所以当－2
当k＝－2时，－＝－2，
原不等式⇔(x＋2)2<0，不等式的解集为∅；
当k<－2时，>0，－2>－.
不等式的解集为.
综上所述，当k＝0时，不等式的解集为{x|x>－2}；
当k>0时，不等式的解集为；
当－2
当k<－2时，不等式的解集为.
回顾与提升 含有参数的一元二次不等式，问题看似简单，但因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：
①讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求
转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．
②讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决．
③考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论．
3 一元二次不等式恒成立问题的求解策略
含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一．下面结合例子，介绍几种常用的求解策略．
1．利用一元二次不等式的判别式求解
代数式ax2＋bx＋c>0的等价条件是
或
例1 已知不等式>2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围．
解 ∵x2＋x＋2＝2＋>0.
∴原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4，
即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0.
当k＝2时，2>0，结论显然成立；
当k≠2时，k满足不等式组
解得2
2．转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解
一般地，f(x)≥a，x∈D恒成立⇔f(x)min≥a，x∈D恒成立；f(x)≤a，x∈D恒成立⇔f(x)max≤a，x∈D恒成立．
例2 已知不等式sin2x－2asin x＋a2－2a＋2>0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解 设f(x)＝sin2x－2asin x＋a2－2a＋2，
则f(x)＝(sin x－a)2＋2－2a.
当a<－1时，f(x)在sin x＝－1时取到最小值，且f(x)min＝a2＋3，a2＋3>0显然成立；∴a<－1.
当－1≤a≤1时，f(x)在sin x＝a时取到最小值，且f(x)min＝2－2a，由2－2a>0，解得a<1，
∵－1≤a≤1，∴－1≤a<1.
当a>1时，f(x)在sin x＝1时取到最小值，且f(x)min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3>0，解得a<1或a>3，
∵a>1，∴a>3.
综上所述，a的取值范围为a<1或a>3.
3．利用直线型函数图象的保号性求解
函数f(x)＝kx＋b，x∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x轴上方的等价条件是此线段恒在x轴下方的等价条件是此线段与x轴有交点的等价条件是f(α)·f(β)≤0.
例3 已知当x∈[0,1]时，不等式2m－1
则原不等式恒成立⇔f(x)>0，
x∈[0,1]恒成立⇔
⇔⇔m<0.
4．分离参数后，利用基本不等式求解
如果直接求参数的范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f(x)≥a⇔a≤f(x)min或f(x)≤a⇔a≥f(x)max求解．
例4 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，当x∈[－1,1]时，不等式f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
解 不等式f(x)>a⇔x2＋ax＋3>a
⇔x2＋3>a(1－x)，x∈[－1,1]．
∵－1≤x≤1，
∴0≤1－x≤2.
当x＝1时，1－x＝0，x2＋3>a(1－x)对一切a∈R恒成立；当x≠1时，0<1－x≤2，则a<.
∵＝
＝(1－x)＋－2≥2－2＝2.
当且仅当1－x＝，即x＝－1时，取到等号．
∴min＝2.从而a<2.
综上所述，a的取值范围为(2，＋∞).
4 求最优解为整点的方法
处理实际问题中的最优解时，有时需满足x，y∈N，这种最优解称为整点最优解，下面举例探讨整点最优解的方法．
1．平移法
在可行域内找整点最优解，一般采用平移法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解．先按“平移法”求出非整点最优解及最值，再调整最值，最后筛选出整点最优解．
例1 某中学准备组织学生去“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，才能使总费用最少？
分析 可以填表理解题意．这样便于列约束条件和目标函数.
辆数
载人数
往返次数
每次成本
大巴
小巴
解 设每天派出小巴x辆、大巴y辆，总运费为z元，
则目标函数z＝240x＋180y.
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分的整点．
作出直线l：240x＋180y＝0，即4x＋3y＝0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使其在y轴上的截距最小．观察图形，可知当直线l经过点B(2,4)时，满足上述要求．
此时，z＝240x＋180y取得最小值，即x＝2，y＝4时，
zmin＝240×2＋180×4＝1 200(元)．
答 派2辆小巴、4辆大巴总费用最少．
点评 用平移法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f(x，y)＝t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网格法”先作出可行域中的各整点．
2．检验法
由于作图难免有误差，所以仅靠图象不一定能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一检验．
例2 现有一根长4 000 mm的条形高新材料，需要将其截成长分别为518 mm与698 mm的甲、乙两种零件毛坯，求高新材料的最大利用率．
解 设甲种毛坯截x根，乙种毛坯截y根，高新材料的利用率为P，则线性约束条件为518x＋698y≤4 000，其中x、y∈N，目标函数为P＝×100%，可行域是图中阴影部分的整点，目标函数表示与直线518x＋698y＝4 000平行的直线系．所以使P取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x＋698y＝4 000的整点坐标．如图可得点(0,5)，(1,4)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,2)，(6,1)，(7,0)都可能是最优解，逐一代入目标函数，可知当x＝5，y＝2时，Pmax＝99.65%.
答 当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，高新材料的利用率最大，且最大为99.65%.
点评 解线性规划问题作图时应尽可能精确，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优解并不十分明显时，不妨将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一进行检验，确定整点最优解．
基本不等式的推广
“a2＋b2≥±2ab”是一个简单而公认的不等式，但是利用它，通过变形，引申可以方便地证明一些已有定理，如：
定理1 若a1，a2，…，an∈R，
则有≥()2，
当且仅当a1＝a2＝…＝an时，
式中等号成立．
由基本不等式a2＋b2≥2ab，
有2a2＋2b2≥2ab＋a2＋b2，
≥＝()2， ①
我们猜想会不会有下式成立．
≥()2 ②
∵(a＋b＋c)2＋(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2
＝3(a2＋b2＋c2)，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
∴≥()2. ③
仿③式证明定理1
证明 ∵(a1＋a2＋a3＋…＋an)2＋(a1－a2)2＋(a1－a3)2＋…＋(a1－an)2＋(a2－a3)2＋(a2－a4)2＋…＋(a2－an)2＋(a3－a4)2＋…＋(an－1－an)2＝n(a＋a＋a＋…＋a)
∴n(a＋a＋…＋a)≥(a1＋a2＋a3＋…＋an)2
定理1成立．
定理1的另一种形式是：
||≤ .
定理2 若a1，a2，a3，…，an∈(0，＋∞)，
则有a1＋a2＋a3＋…＋an≥n，
当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时等式成立．
设a，b∈(0，＋∞)，从最简不等式a2＋b2≥2ab降次，则有a＋b≥2.
设a，b，c∈(0，＋∞)，不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立吗？
∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴(a3＋b3)＋(c3＋abc)≥2＋2
≥4＝4abc，
∴a3＋b3＋c3≥3abc，
上述不等式降次则有a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c≥3.
实际上，基本不等式还有很多角度不同的推广，也有不少巧妙的应用，有兴趣的同学不妨搜一搜，或者自己做些尝试.
5 例析以线性规划为载体的交汇问题
1．线性规划与函数交汇
例1 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax (a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
解析 作二元一次不等式组的可行域如图所示，
由题意得A(1,9)，C(3,8)．
当y＝ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a＝9；
当y＝ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a＝2，
∴2≤a≤9.
答案 C
点评 准确作出可行域，熟知指数函数y＝ax的图象特征是解决本题的关键．
2．线性规划与概率交汇
例2 两人约定下午4点到5点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人20分钟，过时就离去．请问这两个人能见面的概率有多大？
解 用x、y分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|x－y|≤20，又0≤x≤60,0≤y≤60，
即有
作出点(x，y)的可行域如图所示中阴影部分，由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积比上大正方形的面积，故所求概率为P＝＝.
点评 这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了．
3．线性规划与一元二次方程交汇
例3 已知方程x2＋(2＋a)x＋1＋a＋b＝0的两根为x1、x2，且0
作出可行域，如图所示．
而令k＝，则表示可行域内的点与原点连线的斜率．
设M(x0，y0)，
则由
得M(－3,2)，kOM＝－，
结合图可知－2
点评 本题以一元二次方程的根的范围为背景，并通过与二次函数的联系转化为关于a、b的线性约束条件来求解．其中理解表示可行域内的点与原点连线的斜率是解题的关键．
4．线性规划与圆交汇
例4 若{(x，y)|}⊆{(x，y)|x2＋y2≤m2 (m>0)}，求实数m的取值范围．
解 设A＝{(x，y)|}，
B＝{(x，y)|x2＋y2≤m2 (m>0)}，
则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以坐标原点为圆心，m为半径的圆及其内部，由A⊆B得，m≥|PO|，
由
解得即P(3,4)，∴|PO|＝5，即m≥5.
故实数m的取值范围是[5，＋∞)．
点评 集合{(x，y)|x2＋y2≤m2 (m>0)}的几何含义是以(0,0)为圆心，m为半径的圆及其内部区域．
5．线性规划与平面向量交汇
例5 已知O为坐标原点，定点A(3,4)，动点P(x，y)满足约束条件则向量在上的投影的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
向量在向量上的投影为
||cos∠AOP
＝||·
＝＝，
令z＝3x＋4y，易知直线3x＋4y＝z过点G(1,0)时，zmin＝3；
直线3x＋4y＝z过点N(1,2)时，zmax＝11.
∴min＝，max＝.
故选D.
答案 D
点评 向量在上的投影：||·cos〈，〉＝||·＝＝，清楚这一点对解答本题至关重要．
6 应用基本不等式“四”勿忘
在使用基本不等式时，由于各种原因，同学们会犯这样那样的错误，下面我们分类例析，希望同学们在以后的学习中能够注意．
1．勿忘“正”
“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数．
例1 已知x∈R，且x≠0，求函数y＝x＋的值域．
[错解] 由x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，得函数的值域为[2，＋∞)．
[剖析] 想当然的把x看成了正数，在利用基本不等式求最值时，首先应先弄清所给的数是否为正，如果为负，必须先变为正数，然后才能利用基本不等式．
[正解] ①当x>0时，y＝x＋≥2，
当且仅当x＝1时，等号成立；
②当x<0时，y＝x＋＝－[(－x)＋]≤－2，
当且仅当x＝－1时，等号成立．
所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
2．勿忘“定”
“定”是指用基本不等式时，和或积为定值．
例2 求函数f(x)＝2x(5－3x)，x∈(0，)的最大值．
[错解] 因为x∈(0，)，
所以x>0,5－3x>0.
所以f(x)＝2x(5－3x)≤()2＝，
当且仅当2x＝5－3x，即x＝1时，等号成立，
此时，f(x)的最大值为4.
[剖析] 上述解法虽然注意到了各项为正，却又忽视了应用基本不等式求最值的条件中和为定值的要求．
[正解] f(x)＝2x(5－3x)＝×3x(5－3x)
≤()2＝，当且仅当3x＝5－3x，
即x＝时，等号成立．故f(x)的最大值为.
3．勿忘“等”
“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件．
例3 已知x∈R，求y＝的最小值．
[错解] y＝＝＋≥2，
所以ymin＝2.
[剖析] 等号成立的条件为＝，但此时x不存在．
[正解] 令＝t，则t≥，
而y＝t＋在[，＋∞)内递增，
所以y＝t＋在t＝时，取最小值，
又＝t＝，解得x＝0，
所以当x＝0时，y＝取最小值，且ymin＝.
4．勿忘“同”
“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同．
例4 已知x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
[错解] x，y为正实数，则xy＝2x＋8y≥8，
即xy－8≥0，即≥8.
所以x＋y≥2≥16，即x＋y的最小值为16.
[剖析] 在2x＋8y≥8中当且仅当x＝4y时，等号成立；而在x＋y≥2中当且仅当x＝y时，等号成立．显然，两次等号成立的条件不同，故求得x＋y的最小值为16是不成立的．
[正解] 因为x，y∈(0，＋∞)，且2x＋8y＝xy，
所以＋＝1，x＋y＝(x＋y)＝＋2＋8＋≥2 ＋10＝18，当且仅当＝时，等号成立，又＋＝1，解得x＝12，y＝6.故x＋y的最小值为18.
7 运用基本不等式求最值的7种常见技巧
在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明．
1．凑和为定值
例1 若a、b、c>0，且2a＋b＋c＝，则a(a＋b＋c)＋bc的最大值为( )
A. B. C. D．2
分析 注意a(a＋b＋c)＋bc＝(a＋b)(a＋c)，而2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用基本不等式求最值．
解析 ∵a(a＋b＋c)＋bc＝a2＋ab＋ac＋bc
＝(a2＋ac)＋(ab＋bc)＝a(a＋c)＋b(a＋c)
＝(a＋b)(a＋c)≤2
＝2＝2＝.
当且仅当a＋b＝a＋c＝，即b＝c时，取“＝”，
∴a(a＋b＋c)＋bc的最大值为.故选C.
答案 C
2．凑积为定值
例2 设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是( )
A．2 B．4 C．2 D．5
分析 注意到2a2＋＋－10ac＋25c2
＝a2－ab＋＋ab＋＋a2－10ac＋25c2
＝＋＋(a－5c)2，然后分别利用基本不等式和平方数的性质求最值．由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件．
解析 ∵a>b>c>0，∴原式＝a2＋＋－10ac＋25c2＋a2＝a2－ab＋＋ab＋＋(a－5c)2≥2＋2＋0＝4，当且仅当a(a－b)＝1，ab＝1，a－5c＝0时取等号．即当a＝，b＝，c＝时，所求代数式的最小值为4.
答案 B
3．化负为正
例3 已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值．
分析 因为4x－5<0，所以要先“调整”符号，又(4x－2)·不是常数，所以对4x－2要添项“配凑”．
解 ∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
4．和积互“化”
例4 若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则2x＋y的最小值是________．
分析 可以利用基本不等式的变形形式ab≤2进行和或积的代换，这种代换目的是消除等式两端的差异，属不等量代换，带有放缩的性质．
解析 方法一 ∵x>0，y>0，
∴xy＝·(2x)·y≤·2，
∴2x＋y＋6＝(2x＋y)＋6≤(2x＋y)2，
∴(2x＋y)2－8(2x＋y)－48≥0，
令2x＋y＝t，t>0，则t2－8t－48≥0，
∴(t－12)(t＋4)≥0，
∴t≥12，即2x＋y≥12.
方法二 由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即()2－2－6≥0，
∴(－3)·(＋)≥0.
又∵>0，∴≥3，即xy≥18.
∴xy的最小值为18，
∵2x＋y＝xy－6，
∴2x＋y的最小值为12.
答案 12
5．消元法
例5 若正实数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________．
分析 从ab＝a＋b＋3中解出b，即用a的代数式表示b，则ab可以用a来表示，再求关于a的代数式的最值即可．
解析 ∵ab＝a＋b＋3，∴(a－1)·b＝a＋3.
∵a>0，b>0，∴a－1>0，即a>1，∴b＝，
∴ab＝a·＝＝
＝(a－1)＋＋5.
∵a>1，∴a－1＋≥2＝4，
当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，
此时b＝3，∴ab≥9.
∴ab的最小值为9.
答案 9
6．平方法
例6 若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．
分析 仔细观察题目已知式中x与y都是二次的，而所求式中x是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x平方，则豁然开朗，思路就在眼前了．
解 (x)2＝x2(6＋2y2)
＝3·2x2
≤3·2＝3·2.
当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．
故x的最大值为.
7．换元法
例7 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50
∴y＝＝
＝≤＝2 500.
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.
所以销售价格每件应定为60元．
8 不等式易错备忘录
1．多次非同解变形，导致所求范围扩大而致错
例1 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx (a≠0)满足1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的范围是( )
A．[3,12] B．(3,12)
C．(5,10) D．[5,10]
[错解] 由于f(－2)＝4a－2b，要求f(－2)的范围，可先求a与b的范围．由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
得
两式相加得≤a≤3，又－2≤b－a≤－1， ③
②式与③式相加得0≤b≤.
∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0.∴3≤4a－2b≤12.
即3≤f(－2)≤12.故选A.
[点拨] 这种解法看似正确，实则使f(－2)的范围扩大了，事实上，这里f(－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a＝且b＝时才能使4a－2b＝3，而此时a－b＝0，不满足①式．同理可验证4a－2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．
[正解] 方法一 ∵
∴
∴f(－2)＝4a－2b＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]
＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.
∴5≤f(－2)≤10，故选D.
方法二 数形结合法
在坐标平面aOb上，
作出直线a＋b＝2，a＋b＝4，a－b＝1，a－b＝2，
则
表示平面上的阴影部分(包括边界)，如图所示．
令m＝4a－2b，则b＝2a－.
显然m为直线系4a－2b＝m在b轴上截距2倍的相反数．
当直线b＝2a－过点A时，m取最小值5；过点C(3,1)时，m取最大值10.
∴f(－2)∈[5,10]，选D.
温馨点评 利用不等式的变换求取值范围时，要使变换符合等价性.像此类题一般是运用待定系数法或线性规划中最优解方法求解.切勿像误区中解法那样先求a、b的范围，再求f(－2)的范围，这样求出的范围会扩大.
2．混淆“定义域为R”与“值域为R”的区别而致错
例2 若函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R，求a的取值范围．
[错解1] ∵函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R.
∴ax2－2x＋a>0对x∈R恒成立．
∴即∴a>1.
[错解2] ∵函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R.
∴代数式ax2－2x＋a能取遍一切正值．
∴Δ＝4－4a2≥0，
∴－1≤a≤1.
[点拨] 上述解法1把值域为R误解为定义域为R；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a<0时，代数式ax2－2x＋a不可能取到所有正数，从而也是错误的．
[正解] 当a＝0时，y＝lg(－2x)值域为R，a＝0适合．
当a≠0时，ax2－2x＋a＝a2＋为使
y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R，
代数式ax2－2x＋a应可取到所有正数．
所以a应满足解得0
温馨点评 函数的定义域为R与函数的值域为R是两个不同的问题，处理方法截然不同，在学习中要注意区分这类“貌似而实质迥异”的问题.
3．忽略截距与目标函数值的关系而致错
例3 设E为平面上以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝4x－3y的最大值与最小值．
[错解] 把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.
根据条件画出图形如图所示，
当动直线y＝x－z通过点C时，z取最大值；
当动直线y＝x－z通过点B时，z取最小值．
∴zmin＝4×(－1)－3×(－6)＝14；
zmax＝4×(－3)－3×2＝－18.
[点拨] 直线y＝x－z的截距是－z，当截距－z最大即过点C时，目标函数值z最小；而当截距－z最小即过点B时，目标函数值z最大．此处容易出错．
[正解] 把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.
当动直线y＝x－z通过点B时，z取最大值；
当动直线y＝x－z通过点C时，z取最小值．
∴zmin＝4×(－3)－3×2＝－18；
zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14.
温馨点评 由目标函数z＝ax＋by (b≠0)，得y＝－x＋.直线y＝－x＋在y轴上的截距为.当b>0时，目标函数值与直线在y轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b<0时，情形正好相反．
4．最优整数解判断不准而致错
例4 设变量x，y满足条件求S＝5x＋4y的最大值．
[错解] 依约束条件画出可行域如图阴影部分所示，
如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线5x＋4y＝S过点A时，
S＝5x＋4y取最大值，Smax＝18 .
因为x、y为整数，所以当直线5x＋4y＝t平行移动时，从点A起通过的可行域中的整点是C(1,2)，
此时Smax＝13.
[点拨] 上述错误是把(1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有整点(0,2)，(2,1) (2,2)，当过整点(2,2)时，S＝18才是最大值．
[正解] 依据已知条件作出图形如上图所示，在可行域内靠近5x＋4y＝18的整点有(0,2)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，分别验证可得(2,2)为最优解，此时Smax＝2×5＋2×4＝18.
温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.
5．忽略等号成立的条件而致错
例5 已知m2＋n2＝a，x2＋y2＝b (a、b为大于0的常数且a≠b)，求mx＋ny的最大值．
[错解] ∵mx≤，ny≤，
∴mx＋ny≤＋＝＝.
当且仅当m＝x，n＝y时取“＝”．
[点拨] 如果m＝x，n＝y，则会有m2＋n2＝x2＋y2＝a＝b，这与条件“a≠b”矛盾，如果m＝x，n＝y中有一个不成立，则“＝”取不到，则不满足使用基本不等式的条件．
[正解] 利用三角代换可避免上述问题．
∵m2＋n2＝a，∴设 (α∈[0,2π))，
∵x2＋y2＝b，∴设(β∈[0,2π))，
∴mx＋ny＝cos αcos β＋sin αsin β
＝(cos αcos β＋sin αsin β)
＝cos(α－β)≤，
∴(mx＋ny)max＝，
当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．
温馨点评 利用基本不等式求代数式最值时，要考查等号成立的条件是否具备，否则应改换方法求最值.
6．两次利用基本不等式而致错
例6 已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求＋的最小值．
[错解] 因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
＋＝(x＋2y)
≥2×2＝4.
所以＋的最小值为4.
[点拨] 上述解答是错误的，错因是连续两次使用基本不等式，忽视了等号成立的一致性．
[正解] 因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
所以＋＝＋＝1＋2＋＋
≥3＋2＝3＋2.
当且仅当＝且x＋2y＝1，
即x＝－1，y＝1－时，取得等号．
所以＋的最小值为3＋2.
温馨点评 在多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否相同.
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