2020届广西壮族自治区零模（11月）数学（文）试题（解析版）

2020届广西壮族自治区零模（11月）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则AB=（   ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．

【详解】

由已知得，

所以，

故选B.

【点睛】

本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．

2．若复数满足，则复数的虚部为（   ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.

详解：因为，所以，

因此复数的虚部为，选B.

点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为

3．已知命题“，”，则为(  ）

A.， B.，，

C.不存在， D.，

【答案】A

【解析】全称量词改成存在量词,等于改成不等于即可得到.

【详解】

因为“，”,

所以:.

故选A.

【点睛】

本题考查了含一个量词的命题的否定,属于基础题.

4．已知是等差数列 的前 项和， ，则 =（　　）

A.20 B.28 C.36 D.4

【答案】B

【解析】结合等差数列的性质和得出，利用等差数列前项和公式解出。

【详解】

故选B

【点睛】

本题考查了等差数列的角标之和的性质，属于基础题。

5．在边长为的正方体中，异面直线与所成角的大小为(     )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求得.

【详解】

以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示:

则,,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以异面直线与所成角的大小为90°.

故选D.

【点睛】

本题考查了空间向量求异面直线所成角,属于中档题.

6．《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（    ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】先根据古典概型概率公式求出两人被封同一等级的概率,再用对立事件的概率公式可求得.

【详解】

给有巨大贡献的人进行封爵,总共有种,

其中两人被封同一等级的共有5种,

所以两人被封同一等级的概率为,

所以其对立事件,即两人不被封同一等级的概率为:.

故选C.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式.属于基础题.

7．若将函数的图象向左平移 个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，（   ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得tanφ的值．

【详解】

将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y=sin（2x+2φ+）的图象；

根据所得图象关于原点对称，则 2φ+=kπ，k∈Z，且

∴φ的最小值为，tanφ=tan=，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

8．已知双曲线，双曲线的焦点在轴上，它的渐近线与双曲线相同，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】根据两个双曲线共渐近线可设双曲线方程,然后化成标准形式,得到,再求出,最后由离心率公式可得.

【详解】

因为双曲线且双曲线的焦点在轴上,

所以可设双曲线的方程为:,

则可得双曲线的标准方程为:,

这里,

所以,

所以离心率,

所以.

故选A.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质,用待定系数法设出共渐近线的双曲线方程是关键一步,属于中档题.

9．函数的图像大致为 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

详解：为奇函数，舍去A,

舍去D;

，

所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

10．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为(    ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析：由三视图可知还几何体是以ABCD为底面的四棱锥 ，由此可求其外接球的半径，进而得到它的外接球的表面积.

详解：

由三视图可知还几何体是以 为底面的四棱锥，过作

，垂足为， 易证面，设其外接球半径为，底面ABCD是正方形外接圆，．设圆心与球心的距离为，则

由此可得，故其外接球的表面积

故选B.

点睛：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

11．在中，角，，的对边分别为，，，，，则的值为(  )

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】C

【解析】由,根据正余弦定理角化边可得,

,再结合,消去可得.

【详解】

因为,

由正弦定理得.,

由余弦定理得,,

即,

又,

所以,

即,

又,所以.

故选C.

【点睛】

本题考查了利用正余弦定理角化边,属于中档题.

12．已知定义在上的函数的图象关于轴对称，且当时，，若，，，则，，的大小关系是(   ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】构造函数利用导数符号得函数在上的单调性,再结合奇偶性得函数在上的单调性,最后根据单调性,比较大小可得.

【详解】

因为定义在上的函数的图象关于轴对称,

所以是定义在上的偶函数,

所以是定义在上的奇函数,

又因为时,,

所以在上是增函数,

又是定义在上的奇函数,所以是定义在上的增函数,

因为,

所以.

故选A,

【点睛】

本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性比较大小.属于中档题.

二、填空题

13．已知，，则___________

【答案】

【解析】根据平面向量夹角公式的坐标形式,代入的坐标可得.

【详解】

根据平面向量的夹角的余弦公式可得:.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了平面向量的夹角的余弦公式,属于基础题.

14．设满足约束条件:，则的最小值为__________

【答案】

【解析】先作出可行域,将目标函数化为斜截式,根据斜率的关系找到最优解,再将最优解的坐标代入目标函数即可得到最小值.

【详解】

作出可行域如图所示阴影部分:

将目标函数化为斜截式得,

由图可知最优解为,

联立 ,解得,所以,

将的坐标代入目标函数可得,

所以的最小值为1.

故答案为:1

【点睛】

本题考查了简单的线性规划求最小值问题,属于中档题.解题关键是根据斜率关系找到最优解.

15．如果函数在区间内存在非负值，则k的取值范围为____

【答案】

【解析】将问题转化为在区间内有解,进一步转化为后,再构造函数,利用导数求出其最大值,即可解决.

【详解】

因为函数在区间内存在非负值,

所以在区间内有解,

即在区间内有解,

令,则,

因为,且,

所以,所以在区间内为单调递增函数,

所以时,取得最大值,

所以.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了等价转化思想,构造法,不等式能成立问题,利用导数求函数的最大值问题.属于中档题.不等式恒成立问题的转化口诀是:大于最大,小于最小;不等式能成立问题的转化口诀是:大于最小,小于最大.

16．过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则以为直径的圆的标准方程为_______

【答案】

【解析】联立直线与抛物线方程,利用韦达定理求得圆心坐标,利用弦长公式求得圆的半径,即可得到所求圆的标准方程.

【详解】

由得,

所以,所以直线的方程为:,

联立 ,消去并整理得:,

设,

则,,所以,

所以以为直径的圆的圆心为,

因为==10,

所以以为直径的圆的半径为5,

所以以为直径的圆的标准方程为:.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了直线与抛物线的位置关系,韦达定理,弦长公式以及圆的标准方程.属于中档题.

三、解答题

17．在中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设，，．

（1）求b的值；

（2）求的面积．

【答案】(1) ;(2)

【解析】（1）由余弦定理直接求b的值即可．（2）先由求出，再根据三角形的面积公式求解．

【详解】

（1）∵a=4，c=3，cosB=．

∴由余弦定理可得b===．

故b的值．

（2）∵cosB=，B为三角形的内角，

∴sinB===，

又a=4，c=3，

∴S△ABC=acsinB==．

【点睛】

本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，解题时可根据相应的公式求解即可，但要注意计算的准确性，这是在解答类似问题中常出现的错误．

18．设是公比为正数的等比数列，若，且，，成等差数列.

（1）求的通项公式;

（2）设，求数列的前项和

【答案】(1) (2)

【解析】(1)先根根据已知条件列式求出公比,再根据等比数列通项公式可得;

(2)根据裂项求和可得.

【详解】

解：（1）设等比数列的公比为 ，

，，成等差数列.

或,

因为,

.

（2）由（1）知，，,

,

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式,裂项求和.属于中档题.

解题关键是将裂项,即.

19．某电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为体育迷.

(1)若日均收看该体育节目时间在内的观众中恰有两名女性，现日均收看时间在内的观众中抽取两名进行调查，求这两名观众恰好一男一女的概率；

(2)若抽取人中有女性人，其中女体育迷有人，完成答题卡中的列联表并判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为体育迷与性别有关系?

附表及公式：，

【答案】(1) (2)列联表见解析，不能在犯错概率不超过的前提下认为体育迷与性别有关系.

【解析】(1)先根据直方图求出日均收看时间在内的观众有5名,其中3男2女,再根据古典概型的概率公式可求得;

(2)求得观测值后,根据临界值表可得.

【详解】

（1）由图可得，日均收看时间在内的观众有名，

则其中有名男性，名女性，

记名男性为，，，名女性为，.

从中抽取两名观众的情况有，，，，，，，，，共10种.

其中恰好一男一女的情况有种，

所以所求概率

（2）由直方图可知,100名观众中体育迷观众有名,

所以男体育迷有25-10=15,男非体育迷有45-15=30名.

所以列联表如下：

故不能在犯错概率不超过的前提下认为体育迷与性别有关系.

【点睛】

本题考查了利用直方图求频率,古典概型的概率公式和独立性检验,属于中档题.

20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点

(1)证明:平面；

(2)平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分，求上述两个多面体的体积比

【答案】(1)证明见解析；(2)2:1

【解析】(1)    取中点，连接、,然后通过证明,可证平面;

(2)先求, ,从而可得.

【详解】

证明（1）取中点，连接、，依题意，

四边形是平行四边形，

所以.

又面，面，

面.

（2）因为,

所以,

【点睛】

本题考查了线面平面的判定定理以及棱锥的体积公式.属于中档题.

21．已知椭圆E:经过点P(2,1)，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．

【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。

（Ⅰ）由椭圆的离心率e=，则a2=4b2， 将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2=2，则a2=8， ∴椭圆的方程为：；

（Ⅱ）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，           

当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，·则△=16（8k2﹣t2+2）＞0， 

x1+x2=，x1x2=，

又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），

因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），

由，则+=0，

化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，

则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0，

当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.

22．已知函数f（x）=x2-（a+1）x+alnx+1

（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；

（Ⅱ）求a的范围，使得f（x）≥1恒成立．

【答案】（Ⅰ）极大值为；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由于x=3是f（x）的极值点，则f′（3）=0求出a，进而求出f′（x）＞0得到函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极大值；

（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0时，恒成立，设，求得其导函数，分类讨论参数a，得到函数g（x）的最小值大于等于0，即可得到a的范围．

【详解】

解：（Ⅰ）

∵x=3是f（x）的极值点，∴，解得a=3

当a=3时，，

当x变化时，

f（x）的极大值为；

（Ⅱ）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0时，恒成立，

设，则，

（ⅰ）当a≤0时，由g′（x）＜0得单减区间为（0，1），由g′（x）＞0得单增区间为（1，+∞），

故，得；

（ii）当0＜a＜1时，由g′（x）＜0得单减区间为（a，1），由g′（x）＞0得单增区间为（0，a），（1，+∞），此时，∴不合题意；

（iii）当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单增，，∴不合题意；

（iv）当a＞1时，由g′（x）＜0得单减区间为（1，a），由g′（x）＞0得单增区间为（0，1），（a，+∞），此时，∴不合题意．

综上所述：时，f（x）≥1恒成立．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．