2020届宁夏银川一中高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题

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2020届宁夏银川一中高三下学期第一次模拟考试

文科数学试题卷

(银川一中第一次模拟考试)

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则=

A． B．              C．              D．

2．复数，若复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则

A．5                         B．-5                     C．             D．

3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上是单调增函数的是

A． B． C． D．

4．已知向量,,其中，且，则与的夹角是

A．           B．             C．             D．

5．为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表．已知在小区的 居民中随机抽取1名，抽到20岁-50岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为

A．24 B．16 C．8 D．12

6．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的

长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为

A．               B．             C．27            D．18

7．已知，则

A． B． C． D．

8．已知数列为等差数列，前n项和为,且则

A．25          B．90          C．50          D．45

9．函数的大致图象为

A．  B．

C． D．

10．在三角形ABC中，a,b,c分别是 角A,B,C的 对边，若

则

A．          B．           C．          D．

11．已知椭圆的两个焦点分别是，过的 直线交椭圆于P,Q两点，若且则椭圆的离心率为

A．             B．             C．          D．

12．已知定义在R上的函数满足时，，

则

A．6              B．4                    C．2              D．0

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设，满足约束条件，则的最小值为__________.

14．如图，y=f(x)是可导函数，直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的

切线，令g(x)=xf(x),其中是g(x)的 导数，则______.

15．已知双曲线的方程为,双曲线的 一个焦点到一条渐近线的 距离为(c为双曲线的半焦距的 长）则该双曲线的 离心率为_____.

16．如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地ABCD,现欲在其中修

建一个正方形花坛EFGH,若已知花坛面积为 正方形草地面积的。

则=________

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分)

17.（12分）

记为等比数列的前项和，，.

（1）求的通项公式；

（2）已知，求的最大值.

18．(12分)

在直三棱柱中，

是的中点，是上一点.

（1）当时，证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

19.（12分）

某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.

（1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？

（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率.

参考数据：

，其中

20.（12分）

已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段， 的中点分别为，求证：直线恒过一个定点；

（3）在（2）的条件下，求面积的最小值.

21.（12分）

已知函数．

（1）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线．

（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；

（2）若射线与的异于极点的交点为，与的交点为，求．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.

（1）求的值；

（2）正数满足，求证.

银川一中2020届高三第一次模拟数学(文科)试题参考答案

一．选择题：

二．填空题：13.-5 ；14.0；15.；  16.或

三．解答题：

17.解：（1）设的公比为，由题意得：

所以，即

则-----6分

所以.

（2）------9分

当或4时，取得最大值，且.-----12分

18.（1）证明：因为是的中点，所以，

在直三棱柱中，因为底面，底面，所以,

因为，所以平面，因为平面，所以.-------3分

在矩形中，因为，

所以，所以，所以,

（或通过计算，得到为直角三角形）

所以，因为，所以平面--------6分

（2）解：因为平面，,

因为是的中点，所以，在中，,

所以，

因为，所以，

所以，所以，

所以.-----12分

19. 解析：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：

…………………………………………………………………………………………………4分

所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………8分

(2)样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株.

设事件:抽取的3株中恰有1株存活

记存活的植株为,死亡的植株分别为

则选取的3株有以下情况：，，，，，

，，，，

共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种

所以（其他方法酌情给分.）………………………………12分

20．解：（Ⅰ）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离.根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线.

∵，∴抛物线方程为： --------3分

（Ⅱ）设两点坐标分别为，则点的坐标为.

由题意可设直线的方程为.

由，得.

.

因为直线与曲线于两点，所以.

所以点的坐标为.由题知,直线的斜率为，同理可得点的坐标为. -------------5分

当时，有，此时直线的斜率.

所以，直线的方程为，整理得.

于是，直线恒过定点；

当时，直线的方程为，也过点.

综上所述，直线恒过定点.---------8分

（Ⅲ）可求得.所以面积.

当且仅当时，“ ”成立，所以面积的最小值为4.-----12分

21．解：已知函数的定义域为 ．

（Ⅰ）因为在上为减函数，故在上恒成立，即当时，．         

又，

故当，即时，． 

所以，于是，故的最小值为．     ………………………5分

（Ⅱ）命题“若存在使成立”等价于“当时，有” ．             

由（Ⅰ）知，当时，，所以．

故问题等价于：“当时，有”

①当时，由（Ⅱ）知，在上为减函数，

则，故．……………8分

②当，时，，由（Ⅰ）知，函数在上是减函数，，所以，与矛盾，不合题意．

综上，得实数的取值范围．         …………………12分

22、解析：

（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程:，………2分

由可得曲线的极坐标方程为，………3分

曲线的极坐标方程为．………5分

（Ⅱ）射线与曲线的交点的极径为，………6分

射线与曲线的交点的极径满足，解得，………8分

所以．………10分

23、解析：， ………2分

若不等式有解，则满足，………3分

解得.∴.  ………5分

（2）由（1）知正数满足，

∴………7分

………9分

（当且仅当时，取等号.）………10分