2020届上海市普陀区高三上学期质量调研（一模）数学试题
展开普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研
2019.12
考生注意:
1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1．若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为 .
2. .
3. 不等式的解集为 .
4. 已知为虚数单位，若复数是实数，则实数的值为 .
5. 设函数（且），若其反函数的零点为，则_______.
6. 展开式中含项的系数为__________（结果用数值表示）.
7. 各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则 _ .
8.设椭圆：，直线过的左顶点交轴于点，交于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于_________.
9. 记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________.
10. 已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是___________.
11. 设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为___________.
12. 若、两点分别在函数与的图像上，且关于直线对称，则称、是与的一对“伴点”（、与、视为相同的一对）.
已知，，若与存在两对“伴点”，则实数的取值范围为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. “”是“”成立的 ………………………（ ）
充分非必要条件 必要非充分条件
充要条件 既非充分也非必要条件
14. 设集合，，若⊆，则对应的实数对有 …（ ）
对 对 对 对
15. 已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题中正确的是 ……（ ）
若，，则
若，在平面内，且，，则
若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交
若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交
16. 若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为 ……（ ）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当三棱锥的体积为时，求的值.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
设函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．
（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.
20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；
（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
数列与满足，，是数列的前项和（）.
（1）设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值；
（2）设，若且对恒成立，求的取值范围；
（3）设，，（，），若存在整数，，且，使得成立，求的所有可能值.
普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）
一、填空题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
二、选择题
13 | 14 | 15 | 16 |
三、解答题
17.（1）当时，，取棱的中点，连接、，
则，即是异面直线与所成角或其补角，……………… 2分
又，，两两互相垂直，则,即是正三角形，
则. ………………………… 5分
则异面直线与所成角的大小为.…………………… 6分
（2）因为，，两两互相垂直，
所以平面,…………… 3分
则，
即, …………………………… 7分
又（），，则.………………… 8分
说明：利用空间向量求解请相应评分.
18.（1）当时，由得，…………………2分
令，则，即，…………………4分
即，则所求的不等式的解为.……………………6分
（2）任取，因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立， ………………2分
则恒成立，
即，，…………………4分
又，则，
即对恒成立，…………………………6分
又，即，
则所求的实数的取值范围为.………………………………8分
19.（1）由平行四边形得，在中，,,
则，即，
即，，……………………………4分
则停车场面积，
即，其中.………………………6分
（2）由（1）得，
即，
……………………4分
则. ……………………6分
因为，所以，
则时，平方米.
故当时，停车场最大面积为平方米. ……………………………8分
说明：（1）中过点作的垂线求平行四边形面积，请相应评分.
20．（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则， …………………3分
解得，，则所求双曲线的方程为.……………………………4分
（2）设，，由，得，
则，，且，
………………………………………………………………2分
又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，
即，即，
则， ……………………………4分
即，则或，
即实数的取值范围. …………………6分
（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，
又点是线段的中点，则点， ……………2分
直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，
则直线的方程为，即，
又直线的方程为，联立方程，
消去化简整理，得，又，
代入消去，得，
即，则，
即点的横坐标为， ……………5分
则. 故线段在轴上的射影长为定值. ……6分
说明：看作是在或方向上投影的绝对值，请相应评分.
21.（1） 由条件得，，即，………………1分
则，，设等比数列的公比为，
则，又，则. …………………………3分
当，时，，，
则满足题意，
故所求的的值为. ………………………………………4分
（2）当时，， ，，，
以上个式子相加得，， ………2分
又，则，
即. 由知数列是递增数列，………4分
又，要使得对恒成立，
则只需，即，则. …………………6分
（3） 由条件得数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，，
则. ………………………………2分
则，
当时，，
即时，，
则当时，与矛盾. ………………………4分
又，即时，.
当时，，
又，
即当，时，，与矛盾.
又，则或，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上得的所有可能值为和. …………………………………8分
