2020届上海市闵行区高三上学期质量调研考试（一模）数学试题
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数学试卷
2019.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合，，则
2. 复数的共轭复数是
3. 计算：
4. 已知，使得取到最大值时，
5. 在△中，已知，，为△的重心，用向量、表示向量
6. 设函数，则方程的解为
7. 已知，则 （结果用数字表示）
8. 若首项为正数的等比数列，公比，且
，则实数的取值范围是
9. 如图，在三棱锥中，、、分别是
、、的中点，、分别是、
的中点，设三棱柱的体积为，三棱
锥的体积为，则
10. 若是正六边形的中心，，，且、、互不相同，要使得，则有序向量组的个数为
11. 若，且上的值域为，则实数的取值范围是
12. 设函数（，），，若恰有4个零点，
则下述结论中：① 若恒成立，则的值有且仅有2个；
② 在上单调递增；③ 存在和，使得对任意
恒成立；④“”是“方程在内恰有五个解”的必要条件；
所有正确结论的编号是
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知直线的斜率为2，则直线的法向量为（ ）
A. B. C. D.
14. 命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
15. 在正四面体中，点为△所在平面上的动点，若与所成角为
定值，，则动点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
16. 已知各项为正数的非常数数列满足，有以下两个结论：① 若，则数列是递增数列；② 数列奇数项是递增数列；则（ ）
A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②均错误 D. ①②均正确
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，、是底面的两条直径，且，，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心.
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求异面直线和所成的角的大小.
18. 已知函数.
（1）若为奇函数，求的值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
19. 某地实行垃圾分类后，政府决定为、、三个校区建造一座垃圾处理站，集中处理三个小区的湿垃圾，已知在的正西方向，在的北偏东30°方向，在的北偏西20°方向，且在的北偏西45°方向，小区与相距2，与相距3.
（1）求垃圾处理站与小区之间的距离；
（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里元（其中为满足是199内的正整数），现有两种运输湿垃圾的方案：
方案1：只用一辆大车运输，从出发，依次经、、再由返回到；
方案2：先用两辆小车分别从、运送到，然后并各自返回到、，一辆大车从直接到再返回到；试比较哪种方案更合算？请说明理由.
（结果精确到小数点后两位）
20. 已知抛物线和圆，抛物线的焦点为.
（1）求的圆心到的准线的距离；
（2）若点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，记切线为、，求四边形的面积的取值范围；
（3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于、、、四点，
证明：“”的充要条件是“直线的方程为”.
21. 已知数列满足，（），（），.
（1）当时，写出所有可能的值；
（2）当时，若且对任意恒成立，求数列的通项公式；
（3）记数列的前项和为，若、分别构成等差数列，求.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. ①③④
二. 选择题
13. D 14. C 15. B 16. D
三. 解答题
17.（1）；（2）.
18.（1）；（2）.
19.（1）；（2）第一种方案：；第二种方案：；
当，选择方案二；当，选择方案一.
20.（1）4；（2）；（3）证明略.
21.（1）、、、；（2）当为奇数，；当为偶数，；
（3）.
