2020届四川省成都市零模数学（文）试题（解析版）
展开2020届四川省成都市零模数学（文）试题
一、单选题
1．复数（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：，则虚部为，故选.
【考点】复数的运算、复数的实部与虚部.
2．若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,选.
3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）
A.甲所得分数的极差为22
B.乙所得分数的中位数为18
C.两人所得分数的众数相等
D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
【答案】D
【解析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.
【详解】
甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为
，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.
【点睛】
本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.
4．若实数满足约束条件，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值．
【详解】
作出实数，满足约束条件表示的平面区域，如图所示．
由可得，则表示直线在轴上的截距，纵截距越大，越小．
作直线，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点时，最大，最小．
由可得，此时，
故选：．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
5．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（ ）
A.1 B.3 C.6 D.9
【答案】D
【解析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.
【详解】
由 ，
可得，进而可得 ，
.
【点睛】
本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.
6．设函数的导函数为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先求出，即可求出的值.
【详解】
由题得，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
7．中，角，，的对边分别为．若向量，，且，则角的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角的方程，得解．
【详解】
由得，
，
由正弦定理得，，
化为，
即，
由于，
，又
，
故选：．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得
开始 | ||
① | ||
② | ||
③ | ||
④ | ||
⑤ |
故选：．
【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9．若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值．
【详解】
如图，设矩形的两邻边分别为，，则，且外接圆的半径．
由球的性质得，平面，所以球的半径．
由均值不等式得，，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
所以球的表面积的最小值为，
故选：．
【点睛】
本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
10．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求出原函数的导函数，分析函数在处取得极小值时的的范围，再由充分必要条件的判定得答案．
【详解】
解：若在取得极小值，
．
令，得或．
①当时，．
故在上单调递增，无最小值；
②当时，，故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故在处取得极小值．
综上，函数在处取得极小值．
“”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件．
故选：．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】首先根据双曲线的定义，，转化为，即，根据数形结合可知，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.
【详解】
由已知可得，若，
即，左支上的点均满足，
如图所示，当点位于点时，最小，
故，即,
,
或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .
【点睛】
本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析的最小值，转化为的代数关系，最后求的范围.
12．若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意即可得出函数的图象恒在直线的上方，当直线与函数相切时，可设切点为，，从而可以得出，联立三式即可得出，根据即可得出，再根据③即可得出，从而得出整数的最大值为2．
【详解】
关于的不等式在内恒成立，
即关于的不等式在内恒成立，
即函数的图象恒在直线的上方．
当直线与函数相切时，设切点为，，
则，由①②得，，把③代入得，化简得．由得，．
又由③得．即相切时整数．
因此函数的图象恒在直线的上方时，整数的最大值为2．
故选：．
【点睛】
本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题
13．某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如表：
（单位：万元） | |||||
（单位：万元） |
已知销售额与宣传费用具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则的值为__________．
【答案】
【解析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数．
【详解】
由表中数据，计算，
，
又归直线方程为过样本中心点得，
，
解得．
故答案为：6.5．
【点睛】
本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．
14．已知曲线：（为参数）．若点在曲线上运动，点为直线：上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】先表示出曲线C上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.
【详解】
表示曲线为参数）上任意点到直线的距离
，
当时，．
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
15．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，．则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】令，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集．
【详解】
令，
则，
所以在上为单调递增，且，
所以，
解得．
由是定义在上的奇函数得，
所以在为偶函数，且
所以不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
16．已知抛物线：的焦点为，准线为．过点作倾斜角为的直线与准线相交于点，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去，解方程求得的值，再写出抛物线的标准方程．
【详解】
由题得直线的方程为，从而；
由消去，
得，
解得或（舍去），从而；
由得，，
解得，所以抛物线的标准方程为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
三、解答题
17．已知函数，其导函数的图象关于轴对称，．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据导函数的图象关于轴对称求出m的值，再根据求出n的值；（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.
【详解】
解：（Ⅰ）.
函数的图象关于轴对称，.
又，解得.
，.
（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围.
由（Ⅰ），得..
令，解得.
当或时，，
在，上分别单调递增.
又当时，，
在上单调递减.
的极大值为，极小值为.
实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．
18．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内，，三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
类行业：85，82，77，78，83，87；
类行业：76，67，80，85，79，81；
类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；
（Ⅱ）若从抽取的类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
【答案】（Ⅰ），，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）
【解析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率。
【详解】
（Ｉ）由题意，得抽取的，，三类行业单位个数之比为.
由分层抽样的定义，有
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
类行业的单位个数为，
故该城区，，三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.
（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件.
这3个单位的考核数据情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有，，，，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，
故所求概率.
【点睛】
本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题。
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】第一问先证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明平面平面。第二问利用等积法可得，分别求出的面积和BM的长度即可解决问题。
【详解】
（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.
∵为的中点，∴.
∵，平面，∴.
又平面，平面，∴平面.
∵，分别为，的中点，∴.
又平面，平面，∴平面.
又平面，，
∴平面平面.
（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.
∵平面平面，平面，∴平面.
又，，∴.
在中，∵，，∴.
∵，分别为，的中点，
∴的面积，
∴三棱锥的体积.
【点睛】
本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题。
20．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为．证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析，直线经过轴上定点，其坐标为
【解析】（Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得，再求得，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线的方程为，再设，，，，则，．联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，求出所在直线方程，取求得值，即可证明直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．
【详解】
解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知
.
解得.
又，
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线的方程为.
设，，则.
由，消去，可得.
，.
，.
，
直线的方程为.
令，可得.
..
直线经过轴上定点，其坐标为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
21．已知函数，其中。
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有唯一零点，求的值。
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）根据题意求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值．令，求得的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得的值；
【详解】
解：（1）当时，，
所以，
所以。
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即。
（2）问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值。
令，则。
令，则，
在上单调递减。
又，
当时，，即，
在上单调递增；
当时，，即，
在上单调递减。
的极大值为。
当时，；当时，。
又，当方程有唯一的解时，。
综上，当函数有唯一零点时，的值为1。
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算能力，属于中档题．
22．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得，再利用
直线参数方程t的几何意义求出的最小值．
【详解】
解：（Ⅰ），.
由直角坐标与极坐标的互化关系，.
曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得
.
，
可设是方程的两个实数根，
则，.
，当时，等号成立.
的最小值为.
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程t的几何意义，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
