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初中数学苏科版八年级下册第10章 分式综合与测试练习
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这是一份初中数学苏科版八年级下册第10章 分式综合与测试练习，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．要使分式有意义，则x的取值范围应满足（ ）
A．x≥2B．x＜﹣2C．x≠﹣2D．x≠2
2．小明上学时走上坡路，途中平均速度为m km/t，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n km/t，则小明上学放学的平均速度为（ ）
A．km/tB．km/tC．km/tD．km/t
3．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）
A．B．C．D．
4．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．2（2x﹣3）=4x﹣3B．2x+3x=5x2C．（x+1）2=x2+1D．+=0
6．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．．
7．已知x﹣=3，则﹣x2+3x的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．3
8．有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
9．关于x的分式方程=1的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＞1且m≠0C．m≥1D．m≥1且m≠0
10．分式方程=1的解是（ ）
A．x=2B．x=5C．x=﹣1D．x=1
11．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是（ ）
A．2.8B．3C．6D．12
12．某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手的平均分比男选手的平均分高20%，那么女选手的平均分是（ ）
A．81B．82C．83D．84
13．某中学计划在生物园栽72棵树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前3天完成任务，问原计划每天栽几棵？设原计划栽x棵，则（ ）
A．=+3B．=﹣3C．=+3D．=﹣3
14．某工厂计划每天生产x吨生产资料，采用新技术后每天多生产3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（ ）
A．B．C．D．
15．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
16．已知=，则分式= ．
17．计算= ．
18． ﹣= ．
19．计算：（）2= ．
三、解答题
20．若干人乘坐若干辆汽车，如果每辆汽车坐22人，有1人不能上车；如果有一辆车不坐人，那么所有旅客正好能平分乘到其他各车上，则旅客共 人．
21．先化简再求值：•÷，请在下列﹣2，
﹣1，0，1四个数中任选一个数求值．
22．解下列分式方程
(1)+3=
(2)﹣=1．
23．上海首条中运量公交线路71路已正式开通．该线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，全长17.5千米．71路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5分钟．求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速．
24．从邵阳市到长沙的高铁列车里程比普快列车里程缩短了75千米，运行时间减少了4小时，已知邵阳市到长沙的普快列车里程为306千米，高铁列车平均时速是普快列车平均时速的3.5倍．
(1)求高铁列车的平均时速；
(2)某日刘老师从邵阳火车南站到长沙市新大新宾馆参加上午11：00召开的会议，如果他买到当日上午9：20从邵阳市火车站到长沙火车南站的高铁票，而且从长沙火车南站到新大新宾馆最多需要20分钟．试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？
25．某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
26．计算：
(1)﹣；
(2)﹣÷（﹣）2．
答案
1．要使分式有意义，则x的取值范围应满足（ ）
A．x≥2B．x＜﹣2C．x≠﹣2D．x≠2
【考点】62：分式有意义的条件．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，2+x≠0，
解得x≠﹣2．
故选C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
2．小明上学时走上坡路，途中平均速度为m km/t，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n km/t，则小明上学放学的平均速度为（ ）
A．km/tB．km/tC．km/tD．km/t
【考点】6G：列代数式（分式）．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据：平均速度=，列分式并化简即可得出答案．
【解答】解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为，下坡时间为，
∴平均速度==（km/t）．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式以及平均数的求法，根据平均速度=求出是解题关键．
3．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）
A．B．C．D．
【考点】65：分式的基本性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】分式的分子、分母中含有分数系数，不改变分式的值，使分式分子、分母的各项系数化为整数要乘以2与3的最小公倍数6．
【解答】解：分式的分子和分母乘以6，原式=．故选D．
【点评】易错选A选项，因为在分子和分母都乘以6时，原本系数是整数的项容易漏乘，应特别注意．
4．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】68：最简分式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】先根据分式的基本性质进行约分，再判断即可．
【解答】解：A、结果是﹣1，不是最简分式，故本选项错误；
B、不能约分，是最简分式，故本选项正确；
C、结果是，不是最简分式，故本选项错误；
D、结果是﹣，不是最简分式，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了最简分式的应用，关键是看看每个分式能否进行约分．
5．下列运算正确的是（ ）
A．2（2x﹣3）=4x﹣3B．2x+3x=5x2C．（x+1）2=x2+1D．+=0
【考点】6B：分式的加减法；35：合并同类项；36：去括号与添括号；4C：完全平方公式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=4x﹣6，错误；
B、原式=5x，错误；
C、原式=x2+2x+1，错误；
D、原式=﹣=0，正确，
故选D
【点评】此题考查了分式的加减法，合并同类项，去括号与添括号，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．．
【考点】6A：分式的乘除法；65：分式的基本性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】A、本选项为最简分式，错误；
B、利用分式的乘方法则计算得到结果，即可做出判断；
C、在分式分子分母都乘以同一个不为0的数，分式的大小不变，故正确；
D、约分得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、此式子为最简分式，故A选项错误；
B、（）2=，故B选项错误；
C、=（a≠0），故C选项正确；
D、=，故D选项错误，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，以及分式的基本性质，熟练掌握法则及性质是解本题的关键．
7．已知x﹣=3，则﹣x2+3x的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．3
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】已知等式去分母变形后求出x2﹣3x的值，所求式子提取﹣1变形后将x2﹣3x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式去分母得：x2﹣1=3x，即x2﹣3x=1，
则原式=﹣（x2﹣3x）=﹣1．
故选B
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【考点】B1：分式方程的定义．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据分式方程的定义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①2x+=10是整式方程，
②x﹣=2是分式方程，
③﹣3=0是分式方程，
④+=0是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选B．
【点评】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
9．关于x的分式方程=1的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＞1且m≠0C．m≥1D．m≥1且m≠0
【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：去分母得：m=x+1，
解得：x=m﹣1，
∵关于x的分式方程=1的解是正数，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∵x+1≠0，
∴m﹣1+1≠0，
∴m≠0，
∴m的取值范围是m＞1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
10．分式方程=1的解是（ ）
A．x=2B．x=5C．x=﹣1D．x=1
【考点】B3：解分式方程．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣7=x﹣2，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选B
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
11．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是（ ）
A．2.8B．3C．6D．12
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】让乙丙合作的工作效率减去乙的工作效率得到丙的工作效率；等量关系为：甲2.4天的工作量+丙2.4天的工作量=1，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设甲单独完成此项工程需要x天．
×2.4+[﹣（﹣）]×2.4=1，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
故选B．
【点评】考查了用分式方程解决工程问题；得到工作量1的等量关系是解决问题的关键；易错点是得到丙的工作效率．
12．某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手的平均分比男选手的平均分高20%，那么女选手的平均分是（ ）
A．81B．82C．83D．84
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据已知得出男生数：女生数=180：100=9：5，男生平均分：女生平均分=100：120，进而得出全班平均分是男生平均分的，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：男生数：女生数=180：100=9：5，
男生平均分：女生平均分=100：120，
×=，
即全班平均分比男生平均分高，
所以全班平均分是男生平均分的，
即男生平均分为×14=70分，
女生平均分为：70×1.2=84分，
故选：D．
【点评】此题主要考查了百分比的应用，能根据题意，列出关系式得出全班平均分是男生平均分的是解题关键．
13．某中学计划在生物园栽72棵树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前3天完成任务，问原计划每天栽几棵？设原计划栽x棵，则（ ）
A．=+3B．=﹣3C．=+3D．=﹣3
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】设原计划每天栽x棵，实际每天栽（x+2）天，根据实际比计划提前3天完成任务，列方程即可．
【解答】解：设原计划每天栽x棵，实际每天栽（x+2）天，
由题意得，﹣3=．
故选D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
14．某工厂计划每天生产x吨生产资料，采用新技术后每天多生产3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（ ）
A．B．C．D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，可以建立方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
=，
故选C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
15．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据题意可得顺水速度为（30+v）km/h，逆水速度为（30﹣v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行90km所用时间=以最大航速逆流航行60km所用时间，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：
=，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
16．已知=，则分式= ．
【考点】64：分式的值．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】已知等式变形表示出a，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由=，得到a=b，
则原式==，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．计算= ．
【考点】66：约分．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据平方差公式先把分子与分母因式分解，再约分即可．
【解答】解：==；
故答案为：．
【点评】此题考查了约分，用到的知识点是平方差公式和分式的基本性质，在约分时要注意结果的符号．
18． ﹣= ．
【考点】6B：分式的加减法．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣==，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．
19．计算：（）2= ．
【考点】6A：分式的乘除法．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】原式分子分母分别平方即可得到结果．
【解答】解：原式=，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．若干人乘坐若干辆汽车，如果每辆汽车坐22人，有1人不能上车；如果有一辆车不坐人，那么所有旅客正好能平分乘到其他各车上，则旅客共 人．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人，依题意有22m+1=n（m﹣1）然后确定m、n的值，进而可得答案．
【解答】解：设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．依题意有
22m+1=n（m﹣1）．
所以n==22+，
因为n为自然数，所以为整数，因此
m﹣1=1，或m﹣1=23，
即m=2或m=24．
当m=2时，n=45，n（m﹣1）=45×1=45（人）；
当m=24时，n=23，n（m﹣1）=23×（24﹣1）=529（人）．
故答案为：45或529．
【点评】本题考查分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，讨论出未知数的值．
21．先化简再求值：•÷，请在下列﹣2，
﹣1，0，1四个数中任选一个数求值．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=0代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=••（x+1）（x﹣1）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，
当x=0时，原式=﹣2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．解下列分式方程
(1)+3=
(2)﹣=1．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：(1)去分母得：1+3x﹣6=x﹣1，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
(2)去分母得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．上海首条中运量公交线路71路已正式开通．该线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，全长17.5千米．71路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5分钟．求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设早晚高峰时段71路在专用车道内行驶的平均车速x千米/时．则非专用车道内行驶的平均速度是（x﹣6）千米/时，根据“单程可节省时间22.5分钟”列出方程并解答．
【解答】解：设早晚高峰时段71路在专用车道内行驶的平均车速x千米/时．
根据题意，可列方程﹣=．
整理得 x2﹣6x﹣280=0．
解得 x1=20，x2=﹣14．
经检验x1=20，x2=﹣14都是原方程的解．
因为速度不能负数，所以取x=20．
答：71路在专用车道内行驶的平均车速20千米/时．
【点评】本题考查了分式方程的应用．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24．从邵阳市到长沙的高铁列车里程比普快列车里程缩短了75千米，运行时间减少了4小时，已知邵阳市到长沙的普快列车里程为306千米，高铁列车平均时速是普快列车平均时速的3.5倍．
(1)求高铁列车的平均时速；
(2)某日刘老师从邵阳火车南站到长沙市新大新宾馆参加上午11：00召开的会议，如果他买到当日上午9：20从邵阳市火车站到长沙火车南站的高铁票，而且从长沙火车南站到新大新宾馆最多需要20分钟．试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为3.5x千米/小时，根据题意可得，高铁走（306﹣75）千米比普快走306千米时间减少了4小时，据此列方程求解；
(2)求出刘老师所用的时间，然后进行判断．
【解答】解：(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为3.5x千米/小时，
由题意得，﹣=4，
解得：x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意，
则3.5x=210，
答：高铁列车的平均时速为210千米/小时；
(2)（306﹣75）÷（3.5×60）=1.1小时即66分钟，
66+20=86分钟，
而9：20到11：00相差100分钟，
∵100＞86，故在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．根据数量=总价÷单价结合用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套，根据总利润=单价利润×购进数量结合总利润超过120元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最小正整数即可得出结论．
【解答】解：(1)设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．
根据题意得：=2×，
解得：x=7.5，
经检验，x=7.5为分式方程的解，
∴x+2.5=10．
答：A种品牌套装每套进价为10元，B种品牌套装每套进价为7.5元．
(2)解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套，
根据题意得：（13﹣10）a+（9.5﹣7.5）（2a+4）＞120，
解得：a＞16，
∵a为正整数，
∴a取最小值17．
答：最少购进A品牌工具套装17套．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；(2)根据总利润=单价利润×购进数量，列出关于a的一元一次不等式．
26．计算：
(1)﹣；
(2)﹣÷（﹣）2．
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据分式的减法可以解答本题；
(2)根据积的乘方和分式的除法可以解答本题．
【解答】解：(1)﹣
=
=
=2；
(2)﹣÷（﹣）2
=
=
=．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
一、选择题
1．要使分式有意义，则x的取值范围应满足（ ）
A．x≥2B．x＜﹣2C．x≠﹣2D．x≠2
2．小明上学时走上坡路，途中平均速度为m km/t，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n km/t，则小明上学放学的平均速度为（ ）
A．km/tB．km/tC．km/tD．km/t
3．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）
A．B．C．D．
4．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．2（2x﹣3）=4x﹣3B．2x+3x=5x2C．（x+1）2=x2+1D．+=0
6．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．．
7．已知x﹣=3，则﹣x2+3x的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．3
8．有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
9．关于x的分式方程=1的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＞1且m≠0C．m≥1D．m≥1且m≠0
10．分式方程=1的解是（ ）
A．x=2B．x=5C．x=﹣1D．x=1
11．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是（ ）
A．2.8B．3C．6D．12
12．某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手的平均分比男选手的平均分高20%，那么女选手的平均分是（ ）
A．81B．82C．83D．84
13．某中学计划在生物园栽72棵树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前3天完成任务，问原计划每天栽几棵？设原计划栽x棵，则（ ）
A．=+3B．=﹣3C．=+3D．=﹣3
14．某工厂计划每天生产x吨生产资料，采用新技术后每天多生产3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（ ）
A．B．C．D．
15．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
16．已知=，则分式= ．
17．计算= ．
18． ﹣= ．
19．计算：（）2= ．
三、解答题
20．若干人乘坐若干辆汽车，如果每辆汽车坐22人，有1人不能上车；如果有一辆车不坐人，那么所有旅客正好能平分乘到其他各车上，则旅客共 人．
21．先化简再求值：•÷，请在下列﹣2，
﹣1，0，1四个数中任选一个数求值．
22．解下列分式方程
(1)+3=
(2)﹣=1．
23．上海首条中运量公交线路71路已正式开通．该线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，全长17.5千米．71路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5分钟．求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速．
24．从邵阳市到长沙的高铁列车里程比普快列车里程缩短了75千米，运行时间减少了4小时，已知邵阳市到长沙的普快列车里程为306千米，高铁列车平均时速是普快列车平均时速的3.5倍．
(1)求高铁列车的平均时速；
(2)某日刘老师从邵阳火车南站到长沙市新大新宾馆参加上午11：00召开的会议，如果他买到当日上午9：20从邵阳市火车站到长沙火车南站的高铁票，而且从长沙火车南站到新大新宾馆最多需要20分钟．试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？
25．某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
26．计算：
(1)﹣；
(2)﹣÷（﹣）2．
答案
1．要使分式有意义，则x的取值范围应满足（ ）
A．x≥2B．x＜﹣2C．x≠﹣2D．x≠2
【考点】62：分式有意义的条件．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，2+x≠0，
解得x≠﹣2．
故选C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
2．小明上学时走上坡路，途中平均速度为m km/t，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n km/t，则小明上学放学的平均速度为（ ）
A．km/tB．km/tC．km/tD．km/t
【考点】6G：列代数式（分式）．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据：平均速度=，列分式并化简即可得出答案．
【解答】解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为，下坡时间为，
∴平均速度==（km/t）．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式以及平均数的求法，根据平均速度=求出是解题关键．
3．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）
A．B．C．D．
【考点】65：分式的基本性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】分式的分子、分母中含有分数系数，不改变分式的值，使分式分子、分母的各项系数化为整数要乘以2与3的最小公倍数6．
【解答】解：分式的分子和分母乘以6，原式=．故选D．
【点评】易错选A选项，因为在分子和分母都乘以6时，原本系数是整数的项容易漏乘，应特别注意．
4．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】68：最简分式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】先根据分式的基本性质进行约分，再判断即可．
【解答】解：A、结果是﹣1，不是最简分式，故本选项错误；
B、不能约分，是最简分式，故本选项正确；
C、结果是，不是最简分式，故本选项错误；
D、结果是﹣，不是最简分式，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了最简分式的应用，关键是看看每个分式能否进行约分．
5．下列运算正确的是（ ）
A．2（2x﹣3）=4x﹣3B．2x+3x=5x2C．（x+1）2=x2+1D．+=0
【考点】6B：分式的加减法；35：合并同类项；36：去括号与添括号；4C：完全平方公式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=4x﹣6，错误；
B、原式=5x，错误；
C、原式=x2+2x+1，错误；
D、原式=﹣=0，正确，
故选D
【点评】此题考查了分式的加减法，合并同类项，去括号与添括号，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．．
【考点】6A：分式的乘除法；65：分式的基本性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】A、本选项为最简分式，错误；
B、利用分式的乘方法则计算得到结果，即可做出判断；
C、在分式分子分母都乘以同一个不为0的数，分式的大小不变，故正确；
D、约分得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、此式子为最简分式，故A选项错误；
B、（）2=，故B选项错误；
C、=（a≠0），故C选项正确；
D、=，故D选项错误，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，以及分式的基本性质，熟练掌握法则及性质是解本题的关键．
7．已知x﹣=3，则﹣x2+3x的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．3
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】已知等式去分母变形后求出x2﹣3x的值，所求式子提取﹣1变形后将x2﹣3x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式去分母得：x2﹣1=3x，即x2﹣3x=1，
则原式=﹣（x2﹣3x）=﹣1．
故选B
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【考点】B1：分式方程的定义．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据分式方程的定义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①2x+=10是整式方程，
②x﹣=2是分式方程，
③﹣3=0是分式方程，
④+=0是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选B．
【点评】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
9．关于x的分式方程=1的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＞1且m≠0C．m≥1D．m≥1且m≠0
【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：去分母得：m=x+1，
解得：x=m﹣1，
∵关于x的分式方程=1的解是正数，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∵x+1≠0，
∴m﹣1+1≠0，
∴m≠0，
∴m的取值范围是m＞1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
10．分式方程=1的解是（ ）
A．x=2B．x=5C．x=﹣1D．x=1
【考点】B3：解分式方程．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣7=x﹣2，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选B
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
11．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是（ ）
A．2.8B．3C．6D．12
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】让乙丙合作的工作效率减去乙的工作效率得到丙的工作效率；等量关系为：甲2.4天的工作量+丙2.4天的工作量=1，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设甲单独完成此项工程需要x天．
×2.4+[﹣（﹣）]×2.4=1，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
故选B．
【点评】考查了用分式方程解决工程问题；得到工作量1的等量关系是解决问题的关键；易错点是得到丙的工作效率．
12．某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手的平均分比男选手的平均分高20%，那么女选手的平均分是（ ）
A．81B．82C．83D．84
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据已知得出男生数：女生数=180：100=9：5，男生平均分：女生平均分=100：120，进而得出全班平均分是男生平均分的，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：男生数：女生数=180：100=9：5，
男生平均分：女生平均分=100：120，
×=，
即全班平均分比男生平均分高，
所以全班平均分是男生平均分的，
即男生平均分为×14=70分，
女生平均分为：70×1.2=84分，
故选：D．
【点评】此题主要考查了百分比的应用，能根据题意，列出关系式得出全班平均分是男生平均分的是解题关键．
13．某中学计划在生物园栽72棵树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前3天完成任务，问原计划每天栽几棵？设原计划栽x棵，则（ ）
A．=+3B．=﹣3C．=+3D．=﹣3
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】设原计划每天栽x棵，实际每天栽（x+2）天，根据实际比计划提前3天完成任务，列方程即可．
【解答】解：设原计划每天栽x棵，实际每天栽（x+2）天，
由题意得，﹣3=．
故选D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
14．某工厂计划每天生产x吨生产资料，采用新技术后每天多生产3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（ ）
A．B．C．D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，可以建立方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
=，
故选C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
15．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据题意可得顺水速度为（30+v）km/h，逆水速度为（30﹣v）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行90km所用时间=以最大航速逆流航行60km所用时间，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：
=，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
16．已知=，则分式= ．
【考点】64：分式的值．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】已知等式变形表示出a，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由=，得到a=b，
则原式==，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．计算= ．
【考点】66：约分．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据平方差公式先把分子与分母因式分解，再约分即可．
【解答】解：==；
故答案为：．
【点评】此题考查了约分，用到的知识点是平方差公式和分式的基本性质，在约分时要注意结果的符号．
18． ﹣= ．
【考点】6B：分式的加减法．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣==，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．
19．计算：（）2= ．
【考点】6A：分式的乘除法．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】原式分子分母分别平方即可得到结果．
【解答】解：原式=，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．若干人乘坐若干辆汽车，如果每辆汽车坐22人，有1人不能上车；如果有一辆车不坐人，那么所有旅客正好能平分乘到其他各车上，则旅客共 人．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人，依题意有22m+1=n（m﹣1）然后确定m、n的值，进而可得答案．
【解答】解：设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．依题意有
22m+1=n（m﹣1）．
所以n==22+，
因为n为自然数，所以为整数，因此
m﹣1=1，或m﹣1=23，
即m=2或m=24．
当m=2时，n=45，n（m﹣1）=45×1=45（人）；
当m=24时，n=23，n（m﹣1）=23×（24﹣1）=529（人）．
故答案为：45或529．
【点评】本题考查分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，讨论出未知数的值．
21．先化简再求值：•÷，请在下列﹣2，
﹣1，0，1四个数中任选一个数求值．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=0代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=••（x+1）（x﹣1）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，
当x=0时，原式=﹣2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．解下列分式方程
(1)+3=
(2)﹣=1．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：(1)去分母得：1+3x﹣6=x﹣1，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
(2)去分母得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．上海首条中运量公交线路71路已正式开通．该线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，全长17.5千米．71路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5分钟．求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设早晚高峰时段71路在专用车道内行驶的平均车速x千米/时．则非专用车道内行驶的平均速度是（x﹣6）千米/时，根据“单程可节省时间22.5分钟”列出方程并解答．
【解答】解：设早晚高峰时段71路在专用车道内行驶的平均车速x千米/时．
根据题意，可列方程﹣=．
整理得 x2﹣6x﹣280=0．
解得 x1=20，x2=﹣14．
经检验x1=20，x2=﹣14都是原方程的解．
因为速度不能负数，所以取x=20．
答：71路在专用车道内行驶的平均车速20千米/时．
【点评】本题考查了分式方程的应用．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24．从邵阳市到长沙的高铁列车里程比普快列车里程缩短了75千米，运行时间减少了4小时，已知邵阳市到长沙的普快列车里程为306千米，高铁列车平均时速是普快列车平均时速的3.5倍．
(1)求高铁列车的平均时速；
(2)某日刘老师从邵阳火车南站到长沙市新大新宾馆参加上午11：00召开的会议，如果他买到当日上午9：20从邵阳市火车站到长沙火车南站的高铁票，而且从长沙火车南站到新大新宾馆最多需要20分钟．试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为3.5x千米/小时，根据题意可得，高铁走（306﹣75）千米比普快走306千米时间减少了4小时，据此列方程求解；
(2)求出刘老师所用的时间，然后进行判断．
【解答】解：(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为3.5x千米/小时，
由题意得，﹣=4，
解得：x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意，
则3.5x=210，
答：高铁列车的平均时速为210千米/小时；
(2)（306﹣75）÷（3.5×60）=1.1小时即66分钟，
66+20=86分钟，
而9：20到11：00相差100分钟，
∵100＞86，故在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．根据数量=总价÷单价结合用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套，根据总利润=单价利润×购进数量结合总利润超过120元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最小正整数即可得出结论．
【解答】解：(1)设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．
根据题意得：=2×，
解得：x=7.5，
经检验，x=7.5为分式方程的解，
∴x+2.5=10．
答：A种品牌套装每套进价为10元，B种品牌套装每套进价为7.5元．
(2)解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套，
根据题意得：（13﹣10）a+（9.5﹣7.5）（2a+4）＞120，
解得：a＞16，
∵a为正整数，
∴a取最小值17．
答：最少购进A品牌工具套装17套．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；(2)根据总利润=单价利润×购进数量，列出关于a的一元一次不等式．
26．计算：
(1)﹣；
(2)﹣÷（﹣）2．
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据分式的减法可以解答本题；
(2)根据积的乘方和分式的除法可以解答本题．
【解答】解：(1)﹣
=
=
=2；
(2)﹣÷（﹣）2
=
=
=．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
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