【期中复习】人教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册物理 03 常见的圆周运动模型及其临界问题（考点专练）

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【必备知识】
一、圆锥摆模型及水平面内圆周运动的临界问题
1.圆锥摆模型
(1)常见的圆锥摆模型
物体受重力、斜向上的拉力或支持力等(也可能受斜面的摩擦力)在水平面内做匀速圆周运动，称为圆锥摆模型。
(2)圆锥摆问题的分析思路
①对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
②确定圆心和半径。
③应用相关规律列方程求解。在竖直方向根据平衡条件列式，在水平方向根据向心力公式和牛顿第二定律列式。
2.两类常见模型的临界情况分析
(1)水平转盘模型
①如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力fm＝eq \f(mv2,r)，方向指向圆心。
②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
(2)圆锥摆模型
①绳上拉力的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力或绳上的拉力恰好达到最大值。
②接触或脱离的临界条件是：物体与物体间的弹力恰好为零。
③对于半球形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：摩擦力的方向发生改变；恰好发生相对滑动。
二、竖直面内的圆周运动模型及其临界问题
1．竖直平面内的圆周运动模型
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况(除重力外)，可分为三种模型：一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
【实战通关】
一、单选题
1．如图所示，照片中视为质点的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，图中圆形虚线所示为该车运动轨迹，半径R为50m，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.2倍，g取。则运动的汽车（ ）
A．所受的合力可能为零
B．只受重力和地面的支持力作用
C．所需的向心力由重力和支持力的合力提供
D．最大速度不能超过10m/s
【答案】D
【详解】A．由题意可知，汽车做匀速圆周运动，其汽车受到的静摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，所以其合力不可能为零，故A项错误；
BC．对汽车受力分析，其受到重力、支持力以及静摩擦力，其中静摩擦力提供汽车做匀速圆周运动的向心力，故BC错误；
D．由之前的分析，设最大速度为v，有
解得
故D项正确。
故选D。
2．“弯道超车”有何要求？某同学设计了一个问题邀你作答：在学校运动会中，当你以7m/s的速率通过半径约35m的半圆形弯道时，若重力加速度取，则你所需的向心力约为重力的（ ）
A．0.2倍B．2倍C．1.4倍D．0.14倍
【答案】D
【详解】做圆周运动所需的向心力约为
故选D。
3．如图所示，半径为 R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心 O 的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为 m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为 0，且它和 O 点的连线与之间的夹角θ，重力加速度为 g。转台转动的角速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对小物块受力分析，由题意可知，小物块受重力，和罐壁的支持力，由牛顿第二定律可得
解得
故选C。
4．2022年2月5日在首都体育馆，任子威、曲春雨、范可新、武大靖和张雨婷组成的中国队夺得北京冬奥会短道速滑男女2000米混合接力冠军，为中国体育代表团收获了北京冬奥会的首枚金牌。短道速滑运动员在过水平弯道时常用手支撑冰面以防侧滑，某运动员质量为75kg，某次过弯道时的半径为25m，速率为36km/h，冰刀与冰面间的动摩擦因数为，手套与冰面间的动摩擦因数为，重力加速度。过弯道滑行时的运动员手脚距离相对半径可忽略，弯道滑行的过程视为一段圆周运动，则该运动员不发生侧滑受到的摩擦力为（ ）

A．300NB．250NC．200ND．150N
【答案】A
【详解】根据摩擦力提供运动员做圆周运动的向心力，可知该运动员不发生侧滑受到的摩擦力为
故选A。
5．如图所示，餐桌上的自动转盘在电动机的带动下匀速转动，转盘上放有A、B，两个茶杯。若转盘转速变大，以下关于茶杯运动的说法正确的是（ ）
A．若A、B是完全相同的茶杯，离圆心越远的杯子更容易发生滑动
B．若A、B与转盘动摩擦因数相同，且均放在转盘边沿，质量越小的杯子更容易发生滑动
C．若A、B与转盘动摩擦因数相同，且均放在转盘边沿，质量越大的杯子更容易发生滑动
D．若A、B质量相同，放在转盘任意位置，与转盘之间动摩擦因数越大的杯子更容易发生滑动
【答案】A
【详解】根据
可得发生相对滑动的临界角速度为
A．若A、B是完全相同的茶杯，可知离圆心越远的杯子发生相对滑动临界转速越小，更容易发生滑动，故A正确；
BC．若A、B与转盘动摩擦因数相同，且均放在转盘边沿，可知发生相对滑动的临界转速与杯子的质量无关，故BC错误；
D．若A、B质量相同，放在转盘任意位置，与转盘之间动摩擦因数越大的杯子不一定更容易发生滑动，还得看两杯子离圆心的距离，故D错误。
故选A。
6．图甲为儿童玩具拨浪鼓，其简化模型如图乙，拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上；A、B两球相同，连接A球的绳子更长一些，现使鼓绕竖直方向的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的匀速圆周运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）

A．两球做匀速圆周运动时绳子与竖直方向的夹角
B．A、B两球的向心加速度相等
C．A球的线速度小于B球的线速度
D．A球所受的绳子拉力大于B球所受的绳子拉力
【答案】D
【详解】A．小球在水平面内做匀速圆周运动，绳子拉力与重力的合力提供小球的向心力，则有
可得
由于两球角速度相同，相同，则越大，越大；故有
故A错误；
B．对两小球，分别根据牛顿第二定律可得
，
解得
，
由于，则有
故B错误；
C．由
由于两球的角速度相等，A球的轨道半径比B球的轨道半径大，则A球的线速度大于B球的线速度，故C错误；
D．A球所受的绳子拉力大小为
B球所受的绳子拉力大小
因，则有
故D正确。
故选D。
二、多选题
7．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5m，小球质量为3.0kg。现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a处的速度为，通过轨道最高点b处的速度为，取，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是（ ）

A．a处为拉力，方向竖直向下，大小为246N
B．a处为拉力，方向竖直向上，大小为246N
C．b处为拉力，方向竖直向下，大小为6N
D．b处为压力，方向竖直向下，大小为6N
【答案】AD
【详解】AB．小球经过最低点a时，受重力和杆的弹力F2，如图所示

由于合力提供向心力，即合力向上，故细杆对球有竖直向上的拉力，则小球对细杆有竖直向下的拉力。由牛顿第二定律得
解得
故A正确，B错误；
CD．在b处，假设细杆对球的作用力竖直向下，如图所示

由牛顿第二定律得
解得
即方向竖直向上，则小球对细杆的作用力为压力，方向竖直向下，故C错误，D正确。
故选AD。
8．重庆云阳龙缸大秋千经过1000多次的假人测试及50次以上的真人体验于2020年7月13日开放。由四根秋千绳组成的秋千摆，其摆动半径约100m。若有一质量为50kg的体验者（含秋千踏板）荡秋千，秋千运动到最低点时速度约为30m/s，g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）

A．摆到最高点时，体验者的速度为零，处于平衡状态
B．在高速摆动的过程中，体验者受到的合力始终指向圆心
C．摆到最低点时，体验者的向心加速度大小为9m/s2
D．在最低点时，四根秋千绳对体验者（含秋千踏板）拉力的合力约为950N
【答案】CD
【详解】A．摆到最高点时，体验者的速度为零，但加速度不为零，不是处于平衡状态，故A错误；
B．在高速摆动的过程中，由于体验者不是做匀速圆周运动，则体验者受到的合力不是始终指向圆心，故B错误；
C．摆到最低点时，体验者的向心加速度大小为
故C正确；
D．在最低点时，设四根秋千绳对体验者（含秋千踏板）拉力的合力为，根据牛顿第二定律可得
解得
故D正确。
故选CD。
9．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（ ）
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于平衡状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
D．小汽车到达桥顶时的速度必须不大于
【答案】ACD
【详解】AB．小汽车通过桥顶时，加速度方向向下，处于失重状态，故A正确，B错误；
C．小汽车在桥上最高点时，根据牛顿第二定律可得
解得小汽车受到桥面的支持力大小为
故C正确；
D．根据
解得
可知小汽车到达桥顶时的速度必须不大于，故D正确。
故选ACD。
10．如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（ ）

A．图a，汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态
B．图b，火车转弯超过规定速度行驶时，轮缘对外轨有侧向挤压作用
C．图c，若A、B均相对静止，半径，质量，则、所受摩擦力
D．图d是一圆锥摆，增加绳长，保持圆锥的高度不变，则圆锥摆的角速度增大
【答案】AB
【详解】A．汽车通过拱桥的最高点时，所需向心力向下，加速度向下，处于失重状态，A正确；
B．火车转弯超过规定速度行驶时，需要较大向心力，则外轨对轮缘施加弹力作用，B正确；
C．根据
由题意得
C错误；
D．设圆锥高度为h，根据牛顿第二定律
又
得
则圆锥摆的角速度相同，D错误。
故选AB。
11．如图所示，长为的轻杆，一端固定一个小球；另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v，下列叙述中正确的是（ ）
A．v的值必须大于等于
B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C．当v由值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
【答案】BC
【详解】A．由于是轻杆，则小球经过最高点的速度v的值只要大于等于零即可，选项A错误；
B．根据
可知，当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大，选项B正确；
C．当轻杆受弹力为零时
此时
当v由值逐渐增大时，杆对小球有向下的拉力，则由
可知，杆对小球的弹力逐渐增大，选项C正确；
D．当v由值逐渐减小时，杆对小球有向上的支持力，由
可知，杆对球的弹力逐渐增加，选项D错误。
故选BC。
12．图甲为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施，游客坐在转动的魔盘上，当魔盘转速增大到一定值时，游客就会滑向盘边缘，其装置可以简化为图乙。若魔盘匀速转动，游客与魔盘相对静止，则下列说法正确的是（ ）

A．游客受到的合外力方向沿斜面向上指向转轴
B．游客处于平衡状态，合外力为零
C．若魔盘角速度缓慢增加，游客受到魔盘的摩擦力也会缓慢增大
D．若魔盘角速度缓慢增加，游客受到魔盘的作用力也会缓慢增大
【答案】CD
【详解】AB．根据题意可知，游客与魔盘一起匀速转动，游客受到的合外力提供向心力，方向指向圆心，即沿水平方向指向转轴，故AB错误；
CD．根据题意，对游客受力分析，如图所示

游客在竖直方向上受力平衡，有
在水平方向上由牛顿第二定律有
由于乘客的重力保持不变，魔盘的倾斜角度不变，魔盘角速度缓慢增大，游客所需向心力增大，因此只有摩擦力增大，减小，游客受到魔盘的作用力在竖直与重力相等，在水平方向的分力提供向心力，向心力缓慢增大，所以游客受到摩盘的作用力大小缓慢增大，故CD正确。
故选CD。
三、解答题
13．如图所示，光滑的矩形金属框MNQP处于竖直平面内，一根长为L的轻绳一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过竖直边PQ。已知轻绳与竖直方向的夹角为，MN、PQ足够长，重力加速度为g。
（1）若金属框静止不动，求小球对轻绳的拉力大小F；
（2）若小球和金属框一起在竖直平面内水平向左做匀加速直线运动，PQ边对小球的作用力恰好为零，求金属框的加速度大小a；
（3）若金属框绕MN边匀速转动，PQ边对小球的作用力恰好为零，求金属框转动的角速度大小。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）当金属框和小球静止不动时，设轻绳对小球的拉力大小，竖直方向有
由牛顿第三定律可得
解得小球对轻绳的拉力大小
（2）当小球和金属框一起向左匀加速运动，有
解得
（3）当小球绕MN边做匀速圆周运动时，有
由几何关系得
解得
14．如图所示，一环形车道竖直放置，半径，特技演员以恒定速率行驶，演员与汽车的总质量为。已知，则：
（1）若汽车以恒定的速率运动，则汽车通过最高点时受到环形车道的压力大小？
（2）若要挑战成功，汽车的速率最小值为多少？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）汽车做圆周运动，在最高点对汽车进行分析有
解得
由牛顿第三定律可知压力与支持力二者为相互作用力，大小相等，方向相反；
（2）若要挑战成功，即能够顺利通过最高点，当速率最小时，在最高点恰好由重力提供向心力，则有
解得
15．如图所示，水平转台上有一个质量的小物块，用长的细线将物块连接到转轴上，此时细线恰好绷直无拉力，细线与竖直转轴的夹角，物块与转台间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使转台由静止开始逐渐加速转动。，，。求：
（1）当绳子刚好出现拉力时，转台角速度为多大？
（2）当物块刚要离开转台时，转台角速度为多大？
（3）当转台角速度为时，细线的拉力为多大？

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由题意可知，当绳子刚好出现拉力时，静摩擦力提供向心力，物块所受的最大静摩擦力大小为
根据牛顿第二定律
解得
（2）物块刚要离开转台时，转台对物块的支持力恰好为零，水平方向，根据牛顿第二定律
竖直方向，根据平衡条件
联立解得
（3）由于
物块受力分析如图所示
水平方向
竖直方向
其中
联立解得
16．一根长为的轻绳两端分别固定在一根竖直棒上的A、B两点，一个质量为的光滑小圆环C套在绳子上，如图所示，当竖直棒以一定的角速度转动时，圆环以B为圆心在水平面上做匀速圆周运动，（，g取）则：
（1）此时轻绳上的张力大小等于多少？
（2）竖直棒转动的角速度为多大？

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）对圆环受力分析如图

圆环在竖直方向所受合外力为零，则
所以此时轻绳上的张力大小为
（2）圆环C在水平面内做匀速圆周运动，由于圆环光滑，所以圆环两端绳的拉力大小相等。BC段绳水平时，圆环C做圆周运动的半径，由几何关系
解得，圆环C做圆周运动的半径为
水平方向，由牛顿第二定律
解得，竖直棒转动的角速度为