【期中复习】人教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册物理 04 万有引力与航天（考点专练）

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一、天体质量和密度的计算
1．天体质量的计算
2．天体密度的计算
二、天体运动中各物理量与轨道半径的关系
1．天体运动的分析与计算
(1)基本思路：行星绕太阳的运动和卫星绕地球的运动一般情况可看作匀速圆周运动，所需向心力由太阳或地球这样的中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向。
(2)基本关系式：G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
(3)辅助关系式：由G＝mg可得，GM＝gR2，该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM不知道时，可以用gR2来代换GM。
2．天体运动中的各物理量与轨道半径的关系
三、双星及多星问题
1．双星系统的特点
(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图)，大小均为G。
(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
2．多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
四、卫星变轨问题
1．人造卫星沿圆轨道和椭圆轨道运行的条件
如图所示，设卫星的速度为v，卫星到地心的距离为r，卫星以速度v绕地球做圆周运动所需要的向心力为F向＝m，卫星所受地球的万有引力F＝G。
当F＝F向时，卫星将做圆周运动。
当F当F>F向时，卫星将做近心运动，沿椭圆轨道运动。
2．人造卫星的变轨
(1)卫星从低圆轨道Ⅰ变到高圆轨道Ⅲ，需两次加速。如图所示，在A点加速由圆周运动变为离心运动，在B点加速由近心运动变为圆周运动。
(2)卫星从高圆轨道Ⅲ变到低圆轨道Ⅰ，需两次减速。如图所示，在B点减速由圆周运动变为近心运动，在A点减速由离心运动变为圆周运动。
拓展：航天器对接
航天器对接的原理与人造卫星变轨原理相似，不同之处是，需要掌握好变轨的时刻，从而使变轨完成时，两个航天器的位置、速度相同，从而顺利对接。如图所示，是飞船与在轨运行的空间站的对接示意图，飞船发射后，先在稳定的低圆轨道运动，在恰当的时刻短暂加速进入椭圆转移轨道，从而使飞船到达高圆轨道时恰好追上空间站，然后短暂加速进入高圆轨道，使飞船的速度与空间站的速度相同，最后对飞船进行速度、姿态微调，进行对接。
【实战通关】
一、单选题
1．某同学做自由落体实验。他将石块从19.6m高处由静止释放，石块的落地时间不到2s。该同学可能是在以下哪个地方做实验？（已知北京的重力加速度为）（ ）
A．北极B．赤道C．广州D．上海
【答案】A
【详解】石块做自由落体运动，有
石块的落地时间不到2s，可得当地的重力加速度为
根据纬度越高，重力加速度越大，故该同学可能是在北极做实验。
故选A。
2．玉兔号是我国于2013年12月成功登陆月球的首辆月球车。如图所示是它正在月球表面行驶的照片，当它在月球表面行驶时，下列说法正确的是（ ）

A．月球车不受太阳的引力B．月球车不受空气阻力
C．月球车惯性比地球上小D．月球车所受重力比地球上大
【答案】B
【详解】A．月球车仍然受太阳的引力作用，故A错误；
B．月球表面没有空气，所以月球车不受空气阻力，故B正确；
C．由于月球车的质量不变，所以惯性大小不变，故C错误；
D．由于月球表面的重力加速度小于地球表面重力加速度，所以月球车所受重力比地球上小，故D错误。
故选B。
3．华为Mate60Pr是全球首款支持卫星通话的智能手机，它的卫星通话功能是通过位于静止同步轨道的天通一号通信卫星实现的。如果你与同学在地面上用Mate60Pr卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：近地卫星周期约为85分钟，地球半径约为6400千米，无线电信号传播速度为3×108m/s）（ ）
A．0.1sB．0.25sC．0.5sD．1s
【答案】B
【详解】近地卫星周期T1=85分钟≈1.4小时，轨道为R，同步卫星周期 T2=24小时，轨道为 ，根据开普勒第三定律：
解得
所以通讯时间
故选 B。
4．“FAST精细刻画活跃重复快速射电暴”入选2022年度中国科学十大进展，这些快速射电暴极有可能处在超新星遗迹等环境中。假定地球的自转周期变为时，则地表会缺少引力束缚而解体。若FAST检测到的周期为的脉冲是由某种星体的自转所致，即该星的自转周期为，地球的平均密度取，则这种星体的密度可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】地表恰好缺少引力束缚时
该星体的密度为
联立可得
假设某种星体的自转的周期为时，恰好未解体，此时其周期为地球自转周期的，则其密度是地球的倍，即为，故自转的周期为时，若未解体，则密度应大于。
故选D。
5．若一均匀球形星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期为T，引力常量为G，则该星体的密度为（ ）
A．B．C．D．条件不足，无法确定
【答案】A
【详解】设星体质量为，半径为，根据牛顿第二定律有
又
联立两式，可得该星体的密度为
故选A。
6．中国“天问一号”探测器的成功发射，开启了火星探测之旅，迈出了我国自主开展行星探测的第一步。火星有两颗卫星，若从地球上观测得到其中一颗卫星绕火星运行的周期为T，到火星中心的距离为r。已知引力常量为G，则火星的质量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设火星的质量为M，卫星质量为m，由万有引力提供向心力，可得
解得
ABC错误，D正确。
故选D。
7．科学家通过天文观测发现太空中某行星的半径为地球半径的k倍，行星表面重力加速度为地球表面重力加速度的n倍，则该行星密度与地球密度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由
，，
得
因此该行星密度与地球密度之比为。
故选A。
8．2021年2月，“天问一号”探测器成功被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”目标的第一步。 如图，为“天问一号”被火星捕获的简易图，其中1为椭圆轨道，2为圆轨道。 则下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在轨道2运行的周期大于在轨道1运行的周期
B．“天问一号”沿轨道1运行时在P点的加速度大于在Q点的加速度
C．“天问一号”由轨道1进入轨道2，在Q点的喷气方向与速度方向相反
D．“天问一号”在轨道1由Q点向P点运动的过程中，速度减小
【答案】D
【详解】A．由开普勒第三定律
可知，由于轨道1的半长轴大于轨道2的半径，所以“天问一号”在轨道2运行的周期小于在轨道1运行的周期，A错误；
B．由
得
“天问一号”在P的加速度小于在Q的加速度，B错误；
C．“天问一号”由轨道1进入轨道2，“天问一号”做向心运动，因此在Q点制动减速，则在Q点的喷气方向应与速度方向相同，C错误；
D．若“天问一号”在轨道1由Q点向P点运动的过程中，速度减小，D正确。
故选D。
二、多选题
9．2023年7月20日21时40分，经过约8小时的出舱活动，“神舟十六号”航天员们密切协同，在空间站机械臂支持下，圆满完成了出舱活动全部既定任务。已知“神舟十六号”绕地球做匀速圆周运动的轨道离地球表面的高度约为400km，运行周期约为1.5h，则（ ）
A．航天员随“神舟十六号”一起运动时，受到的合力一定为0
B．“神舟十六号”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度
C．“神舟十六号”运行的运行线速度小于地球同步卫星运行线速度
D．“神舟十六号”运行的线速度小于第一宇宙速度
【答案】BD
【详解】A．航天员随“神舟十六号”一起运动时，受到的合力提供向心力，一定不为0，故A错误；
B．设“神舟十六号”的轨道半径为r1，周期T1=1.5h，地球同步卫星的轨道半径为r2，运行周期为T2=24h，根据开普勒第三定律
由此可知“神舟十六号”运行的轨道半径小于地球同步卫星运行的轨道半径，根据万有引力提供向心力
解得
所以“神舟十六号”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故B正确；
C．根据万有引力提供向心力
解得
由于“神舟十六号”运行的轨道半径小于地球同步卫星运行的轨道半径，所以“神舟十六号”运行的运行线速度大于地球同步卫星运行线速度，故C错误；
D．第一宇宙速度是所有的环绕地球飞船的最大速度，且轨道是近地轨道，则“神舟十六号”飞船运行的线速度小于第一宇宙速度，故D正确。
故选BD。
10．科学家发现距离地球2764光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地外生命提供了新的思路和方向。假设宇宙中有一双星系统由质量分别为和的A、B两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B两颗星的距离为L，引力常量为G，则（ ）

A．B．
C．A的向心力大于B的向心力D．
【答案】AD
【详解】ABC．A、B两颗星做匀速圆周运动的周期相等，角速度相等；根据
由于
可得
A、B两颗星绕O点做匀速圆周运动的向心力由相互作用的万有引力提供，则A的向心力等于B的向心力，可得
可得
故A正确，BC错误；
D．对A，由万有引力提供向心力可得
对B，由万有引力提供向心力可得
又
联立解得
故D正确。
故选AD。
11．如图所示，我国已先后成功发射了“天宫一号”飞行器和“神舟九号”飞船，并成功地进行了对接试验，若“天宫一号”能在离地面约300 km高的圆轨道上正常运行，则下列说法中正确的是（ ）
A．“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度
B．对接前，“神舟九号”的运行周期更短
C．对接前，“神舟九号”欲追上“天宫一号”，可以在低轨道上点火加速
D．对接前，“神舟九号”的加速度小于“天宫一号”的加速度
【答案】BC
【详解】A．“天宫一号”的发射速度不应大于第二宇宙速度，若大于则会脱离地球的引力束缚，故A错误；
B．对接前，由图可知“神舟九号”的轨道半径比“天宫一号”小，根据万有引力提供向心力，可得
则
可知轨道半径越小，周期越小，因此对接前，“神舟九号”的运行周期更短，故B正确；
C．对接前，“神舟九号”欲追上“天宫一号”，可以在低轨道上点火加速，做离心运动，追上高轨道的“天宫一号”，故C正确；
D．对接前，由图可知“神舟九号”的轨道半径比“天宫一号”小，根据万有引力提供向心力，则有
得
可知轨道半径越小加速度越大，则对接前，“神舟九号”的加速度大于“天宫一号”的加速度，故D错误。
故选BC。
12．火星是一颗与地球临近的太阳的行星，其表面重力加速度约为地球表面重力加速度的，半径约为地球半径的，公转半径约为地球公转半径的，则下列说法正确的是（ ）
A．火星质量约为地球质量的
B．火星公转周期大于地球的公转周期
C．火星公转线速度大于地球的公转线速度
D．火星上的第一宇宙速度大于地球上的第一宇宙速度
【答案】AB
【详解】A．根据
可得
可知火星质量与地球质量之比为
故A正确；
BC．行星绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
可得
，
由于火星的公转半径大于地球的公转半径，可知火星公转周期大于地球的公转周期，火星公转线速度小于地球的公转线速度，故B正确，C错误；
D．行星的第一宇宙速度等于表面轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，则有
可得
火星上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比为
故火星上的第一宇宙速度小于地球上的第一宇宙速度，故D错误。
故选AB。
13．如图所示，卫星还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星绕地球做匀速圆周运动且离地面高度为，卫星是地球同步卫星，则（ ）

A．的线速度小于第一宇宙速度
B．的向心加速度就是重力加速度
C．的向心加速度比的向心加速度大
D．与地球中心的连线在相等时间内扫过的面积相等
【答案】AC
【详解】A．第一宇宙速度是最大的环绕速度，除近地卫星外，其他所有卫星的环绕速度都小于第一宇宙速度，A正确；
B．a随地球一起做圆周运动的向心力是其所受万有引力的一个很小的分力，比重力要小很多，其向心加速度不是重力加速度g，B错误；
C．卫星c是同步卫星，周期等于地球自转的周期，即
向心加速度等于
而
所以的向心加速度比的向心加速度大，C正确；
D．根据开普勒第二定律，同一卫星绕中心天体运动在相同的时间内扫过的面积相等，D错误。
故选AC。
14．宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。天眼在观察中发现三颗质量均为m的星球A、B、C恰构成一个边长为L的正三角形，在它们的中心O处还有一颗质量为3m的星球，如图所示。已知引力常量为G，四个星球的密度相同，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，若忽略星球自转，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B、C三颗星球的线速度大小均为
B．A、B、C三颗星球的加速度大小均为
C．星球A和中心O处的星球表面的重力加速度之比为
D．若O处的星球被均分到A、B、C三颗星球上，A、B、C三颗星球仍按原轨道运动，则A、B、C三颗星球运动的周期将变大
【答案】AD
【详解】AB. 对三绕一模式，等边三角形边长为L，三颗绕行星轨道半径均为r，由几何关系得三角形的边长为
即有
对顶点的星体受力分析，根据矢量合成的方法可得
解得
故A正确，B错误；
C. 设它们的密度为，A半径为R，则有
A表面的重力加速度
联立可得
因密度相同，g与R成正比，星球A和中心O处的星球质量之比为，所以两者半径之比为
所以重力加速度之比
故C错误；
D. 由
可得
若O处的星球被均分到A、B、C三颗星球上，A、B、C三颗星球的质量都是2m；若仍按原轨道运动，则对A有
可得
则A、B、C三颗星球运动的周期将变大，故D正确。
故选AD。
15．如图所示，拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（ ）
A．线速度小于地球的线速度B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供D．向心力由太阳和地球的引力共同提供
【答案】BD
【详解】A．飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以
由圆周运动线速度和角速度的关系得
A错误；
B．由公式知
B正确；
C D．飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C错误、D正确。
故选BD。
16．2018年12月8日发射成功的“嫦娥四号”探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球附近，成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获并顺利进入环月轨道．若将整个奔月过程简化如下：“嫦娥四号”探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过点时变轨进入距离月球表面的圆形轨道Ⅰ,在轨道Ⅰ上经过点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将择机在点着陆月球表面．下列说法正确的是（ ）
A．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时在点的加速度小于在点的加速度
B．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行速度大于月球的第一宇宙速度
D．“嫦娥四号”在地月转移轨道上点速度大于在轨道Ⅰ上点的速度
【答案】AD
【详解】A．根据牛顿第二定律，得
“嫦娥四号”探测器沿轨道Ⅱ运行时，在P点的运行半径小于在Q点的运行半径。故在P点的加速度小于在Q点的加速，故A正确；
B．根据开普勒第三定律
卫星在轨道II上运动轨道的半长轴比在轨道I上轨道半径小，所以卫星在轨道Ⅱ上运动周期小于在轨道Ⅰ上运动周期，故B错误；
C．月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，“嫦娥四号”在轨道1上的半径大于月球半径，根据
得
可知“嫦娥四号”在轨道1上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故C错误；
D．嫦娥四号”在地月转移轨道上经过M点若要进入轨道I，做近心运动，需减速，所以在地月转移轨道上经过M点的速度比在轨道I上经过M点时速度大，故D正确；
故选AD。
三、解答题
17．天问一号是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境。已经测出火星上的气体非常稀薄，相对于地球上的气体可以忽略不计，若在距火星表面高h处以初速度水平抛出一个物体，落到火星表面时落地点与抛出点间的水平距离为L，已知引力常量为G，火星的半径为R，。
（1）火星的质量是多少？
（2）火星的平均密度是多少？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）已知火星上的气体可以忽略不计，距火星表面水平抛出一个物体，物体做平抛运动，竖直方向自由落体运动，设火星表面的重力加速度为g，则
水平方向匀速直线运动
设火星的质量是M，则有物体的重力
联立得
（2）设火星的密度是ρ，则
联立得
18．《天问》是我国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表达了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，2021年5月15日7时18分，我国第一颗人造火星探测器“天问一号”成功着陆于火星南部预选着陆区。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，已知火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3 ∶2，火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力，忽略火星的自转。质量为m的“天问一号”着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程，若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，求：
（1）火星和地球绕太阳运动的线速度大小之比；
（2）火星表面的重力加速度大小；
（3）此过程中着陆器受到的制动力大小约为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由
得
故
（2）忽略星球的自转，万有引力等于重力
则
解得
（3）着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知
解得
匀减速过程，根据牛顿第二定律得
解得着陆器受到的制动力大小为
方法
已知量
结果
重力加速
度法
天体表面的重力加速度g和天体半径R
由G＝mg得天体质量M＝
环绕法
环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T
由G＝m得中心天体的质量M＝
方法
已知量
结果
重力加速
度法
天体表面的重力加速度g和天体半径R
ρ＝＝＝
环绕法
环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的半径r、周期T、中心天体的半径R
ρ＝＝＝
环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动的周期T
r≈R，则ρ＝
项目
推导式
关系式
结论
v与r的关系
G＝m
v＝
r越大，v越小
ω与r的关系
G＝mrω2
ω＝
r越大，ω越小
T与r的关系
G＝mr2
T＝2π
r越大，T越大
a与r的关系
G＝ma
a＝
r越大，a越小