2023-2024学年江苏省无锡一中高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡一中高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果a，b是两个单位向量，下列四个结论中正确的是( )
A. a=bB. a⋅b=1C. a2≠b2D. |a|2=|b|2
2.已知a,b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−3b，则( )
A. A，B，C三点共线B. A，B、D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
3.已知非零向量a，b，c，则“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若e1，e2是夹角为π3的两个单位向量，则a=2e1+e2和b=−3e1+2e2的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.已知i，j为互相垂直的单位向量，a=i+2j，b=3i−(λ−4)j，且a与a+b的夹角为锐角，则λ的取值范围为( )
A. .(0,+∞)B. .(0,10)∪(10,+∞)
C. .(−∞,−2)∪(−2,8)D. (−∞,0)
6.若向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|等于( )
A. 2B. 5C. 2或5D. 2或 5
7.在△ABC中，AB=2 2，AC= 6，BC边上的中线AD= 5，则△ABC面积S为( )
A. 134B. 34C. 392D. 53
8.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c−b=2bcsA，则下列四个结论中正确的是( )
A. B=2A
B. B的取值范围为(0,π4)
C. ab的取值范围为( 2, 3)
D. 1tanB−1tanA+2sinA的最小值为2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( )
A. EF=13AB
B. AD+DC=AB+BC
C. BE=CB−CE
D. AF=23AD+13AC
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若a=10，b=8，B=45°，则符合条件的△ABC有二个
B. 若acsB= 3，bsinA=3，则角B的大小为π6
C. 若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
D. 若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+Sc⋅MC=0.以下命题正确的有( )
A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心
B. 若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
C. 若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA：SB：SC= 3：2：1
D. 若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cs∠AMB=− 66
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=2,b=( 3,3)，向量a在b上的投影向量为12b，则向量a与b的夹角为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2C，b=6，c=4，则△ABC的面积为______．
14.已知向量a，b夹角为π3，|b|=2，若对任意x∈R，恒有|b+xa|≥|b−12a|，则函数|tb−12a|(t∈R)的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(m,−1)，b=(1,2)．
(1)若(a+b)⊥2b，求|a+2b|；
(2)若向量c=(−2,1)，a/​/c，求a与a−2b夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，sinBsinC=1−csBcsA．
(1)若∠B=120°，BC边上的中线AD的长为 7，求c的值；
(2)若S△ABC= 34(a2+b2−c2)，c=1，求S△ABC．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC为锐角，E是线段AC的中点，D在线段BC上，且BD=3DC，AD，BE相交于点P，△ABC的面积为2 3．
(1)求AD的长度；
(2)求∠DPE的余弦值．
18.(本小题17分)
某公园拟对一扇形区域AOB进行改造，如图所示，平行四边形OMPN为休闲区域，阴影部分为绿化区，点P在弧AB上，点M，N分别在OA，OB上，且OA=100米，∠AOB=π3，设∠POB=θ．
(1)请求出顾客的休息区域OMPN的面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S取得最大值，最大值为多少平方米？
(2)设OP=xOA+yOB，求x2+y2的取值范围．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
(1)若csinC−asinA=(c−b)sinB，
①求A；
②若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(2)若cs2B+cs2C−cs2A=1，设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.单位向量是模为1的向量，但方向可不同，故A错；
B.a⋅b=|a|⋅|b|⋅cs=cs，故B错；
C.a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2，故C错；
D.|a|2=1，|b|2=1，故D对．
故选：D．
由相等向量的概念：大小相等，方向相同的两向量为相等向量，即可判断A；
由向量的数量积的定义，即可判断B；
由向量的平方即为模的平方，以及单位向量的概念，即可判断C，D．
本题考查平面向量的基本概念：单位向量、相等向量、向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵AB=a+5b，BC=−2a+8b，
∴不存在λ，使AB=λBC，
故A，B，C三点不共线，
故选项A错误；
∵BD=BC+CD=a+5b，
∴AB=BD，
∴A，B、D三点共线，
故选项B正确；
∵BC=−2a+8b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使CD=λBC，
故B，C，D三点不共线，
故选项C错误；
∵AC=AB+BC=−a+13b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使AC=λCD，
故A，D，C三点不共线，
故选项D错误；
故选：B．
利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可．
本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：当a⊥c且b⊥c，则a⋅c=b⋅c=0，但a与b不一定相等，
故a⋅b=b⋅c不能推出a=b，
则“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的不充分条件；
由a=b，可得a−b=0，
则(a−b)⋅c=0，即a⋅b=b⋅c，
所以a=b可以推出a⋅b=b⋅c，
故“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的必要条件．
综上所述，“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的必要不充分条件．
故选：B．
分别从充分性和必要性进行判断，由充分条件与必要条件的定义，即可得到答案．
本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围．
由条件可以得到|e1|=1,|e2|=1，e1⋅e2=12，然后进行数量积的运算便可求出a⋅b=−72，a2=7,b2=7，设a,b的夹角为θ.从而根据向量夹角余弦的计算公式即可求出csθ=−12，这样便可得出向量a,b的夹角．
【解答】
解：根据条件，|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=12；
∴a⋅b=(2e1+e2)⋅(−3e1+2e2)
=−6e12+e1⋅e2+2e22
=−6+12+2=−72，
a2=4e12+4e1⋅e2+e22=7，
b2=9e12−12e1⋅e2+4e22=7；
设a,b的夹角为θ．
∴csθ=a⋅b|a||b|=−72 7⋅ 7=−12；
又∵θ∈[0,π]，
∴a,b的夹角为2π3．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：∵i，j为互相垂直的单位向量，∴i⋅j=0，|i|=|j|=1，
∵a=i+2j，b=3i−(λ−4)j，
∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=(i+2j)2+(i+2j)⋅[3i−(λ−4)j]=16−2λ，
|a|2=(i+2j)2=5，∴|a|= 5，
|a+b|2=[4i+(6−λ)j]2=λ2−12λ+52，
∴|a+b|= (λ−6)2+16，
∴cs=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=16−2λ 5× (λ−6)2+16>0，∴λ<8，
当16−2λ 5× (λ−6)2+16=1，解得λ=−2，此时a与a+b的夹角为0，不是锐角，
综上，λ的范围是(−∞,−2)∪(−2,8)．
故选：C．
利用向量数量积的运算律，结合向量数量积公式及向量夹角为锐角，列不等式，注意排除夹角为0的情况，能求出结果．
本题考查向量的运算，考查向量的运算法则、数量积公式、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由于平面向量a,b,c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，
再由|a|=1,|b|=1,|c|=3，
①若平面向量a,b,c两两所成的角相等，且都等于120°，
∴a⋅b=1×1×cs120°=−12，b⋅c=1×3×cs120°=−32，a⋅c=1×3×cs120°=−32．
|a+b+c|= (a+b+c)2= a2+b2+c2+2a⋅b+2bc+2ac
= 1+1+9+2(−12)+2(−32)+2(−32)=2．
②平面向量a,b,c两两所成的角相等，且都等于0°，
则a⋅b=1×1=1，b⋅c=1×3=3，a⋅c=1×3=3，
|a+b+c|= (a+b+c)2= a2+b2+c2+2a⋅b+2bc+2ac= 1+1+9+2+6+6=5．
综上可得，则|a+b+c|=2或5，
故选C．
由题意可得每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由|a|=1,|b|=1,|c|=3，由此分别求得a⋅b、b⋅c、a⋅c的值，再根据|a+b+c|= (a+b+c)2= a2+b2+c2+2a⋅b+2bc+2ac，运算求得结果
本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意知，点D为BC的中点，
所以AB+AC=2AD，
所以AB2+2AB⋅AC+AC2=4AD2，
因为AB=2 2，AC= 6，AD= 5，
所以8+2⋅2 2⋅ 6cs∠BAC+6=4×5，解得cs∠BAC= 34，
因为∠BAC∈(0,π)，所以sin∠BAC= 1−cs2∠BAC= 134，
所以S=12AB⋅ACsin∠BAC=12×2 2× 6× 134= 392．
故选：C．
由平面向量的加法法则，可得AB+AC=2AD，将其两边平方，根据平面向量数量积的运算法则，可求得cs∠BAC的值，进而知sin∠BAC的值，再由正弦面积公式，得解．
本题考查平面向量的综合应用，熟练掌握平面向量的数量积，正弦面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：对A：由正弦定理可将式子c−b=2bcsA化为sinC−sinB=2sinBcsA，
又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
代入上式得sinAcsB−csAsinB=sinB，即sin(A−B)=sinB，
因为00，故0所以A−B=B或A−B+B=π，即A=2B或A=π(舍去)，
所以A=2B，故A错误；
对B：因为△ABC为锐角三角形，A=2B，所以C=π−3B，
由0对C：ab=sinAsinB=sin2BsinB=2csB，
因为B∈(π6,π4)，所以csB∈( 22, 32)，2csB∈( 2, 3)，
即ab的取值范围为( 2, 3)，故C正确；
对D：1tanB−1tanA+2sinA=csBsinB−csAsinA+2sinA=sin(A−B)sinAsinB+2sinA
=1sinA+2sinA≥2 1sinA×2sinA=2 2，
当且仅当1sinA=2sinA，即sinA= 22时取等号，
但因为B∈(π6,π4)，所以A=2B∈(π3,π2)，sinA∈( 32,1)，无法取到等号，故D错误．
故选：C．
对A：借助正弦定理与两角差的正弦公式计算即可得；对B：借助锐角三角形及三角形内角的关系计算即可得；对C：借助正弦定理将边的比例化成正弦值的比例后借助角A与角B间的关系化简即可得；对D：借助三角函数间的关系与基本不等式计算即可得．
本题考查三角形的正弦定理、三角函数的恒等变换和基本不等式、正弦函数和余弦函数的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题．
根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解．
【解答】
解：对于选项A：由题意可知：EF与AB方向相同且E、F分别是CD边上的两个三等分点，
则EF=13AB，
故选项A正确；
对于选项B：由图可知，AD+DC=AC，AB+BC=AC，
所以AD+DC=AB+BC，
故选项B正确；
对于选项C：CB−CE=EB，
所以选项C错误；
对于选项D：AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23(AC−AD)=13AD+23AC，
故选项D错误．
故选：AB．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB=100+c2−10 2c=64，
解得：c=5 2± 14，∴符合条件的△ABC有二个，A正确；
对于B，∵bsinAacsB=sinBsinAsinAcsB=tanB= 3，又B∈(0,π)，∴B=π3，B错误；
对于C，由正弦定理得：a2+b2>c2，∴csC=a2+b2−c22ab>0，
∴C为锐角，但无法判断A，B的大小，C错误；
对于D，在斜△ABC中，tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)，
∵tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB，∴tanC(1−tanAtanB)=−(tanA+tanB)，
整理可得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，D正确．
故选：AD．
利用余弦定理可构造方程求得c，知A正确；利用正弦定理边化角可求得tanB，知B错误；利用正弦定理角化边可知C为锐角，但无法判断三角形形状，知C错误；结合两角和差正切公式可化简知D正确．
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，
由SA：SB：SC=1：1：1，则MA+MB+MC=0，
所以2MD=MB+MC=−MA，
所以A，M，D三点共线，且AM=23AD，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM=23CE，BM=23BF，
所以M为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由M为△ABC的内心，则可设内切圆半径为r，
则有SA=12BC⋅r，SB=12AC⋅r，SC=12AB⋅r，
所以12BC⋅r⋅MA+12AC⋅r⋅MB+12AB⋅r⋅MC=0，
即BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0，故B正确；
对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，
因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，
则有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，
所以SA=12R2⋅sin∠BMC=12R2⋅sin90°=12R2，SB=12R2⋅sin∠AMC=12R2⋅sin120°= 34R2，SC=12R2⋅sin∠AMB=12R2⋅sin150°=14R2，
所以SA：SB：SC=2： 3：1，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则SA：SB：SC=3：4：5，
又S△ABC=SA+SB+SC，则S△ABCSA=4，S△ABCSB=3，
设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，
所以cs∠BMD=x2y=cs∠AMF=y3x，即3x2=2y2，
所以cs∠BMD= 66，所以cs∠AMB=cs(π−∠BMD)=− 66，故D正确；
故选：ABD．
对A，取BC的中点D，连接MD，AM，结合奔驰定理可得到2MD=−MA，进而即可判断A；对B，设内切圆半径为r，从而可用r表示出SA，SB，SC，再结合奔驰定理即可判断B；对C，设△ABC的外接圆半径为R，根据圆的性质结合题意可得∠BMC=90°，∠AMC=120°，∠AMB=150°，从而可用R表示出SA，SB，SC，进而即可判断C；对D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，根据题意结合奔驰定理可得到S△ABCSA=4，S△ABCSB=3，从而可设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，代入即可求解cs∠AMB，进而即可判断D．
本题主要考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形的重心、内心、外心和垂心的性质，属于中档题．
12.【答案】π6
【解析】解：|a|=2,b=( 3,3)，向量a在b上的投影向量为12b，
则向量a在b上的投影向量为(a⋅b|b|2)b=(|a|cs〈a,b〉|b|)b，
则|a|cs〈a,b〉|b|=12，
又|b|=2 3，
cs=|b|2|a|=2 32×2= 32，
∈[0,π]，
则=π6．
故答案为：π6．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13.【答案】15 74
【解析】解：因为B=2C，所以sinB=sin2C，
由正弦定理bsinB=csinC，
得6sinB=4sinC，即3sin2C=2sinC，
化简得32sinCcsC=2sinC.又C∈(0,π)，sinC≠0，
所以csC=34，故sinC= 1−cs2C= 74，
又由余弦定理csC=a2+b2−c22ab.解得a=4或a=5，
当a=4时，A=C.又B=2C，则C=π4，
与csC=34矛盾，所以不符合题意，舍去；
当a=5时，S△ABC=12absinC=15 74．
故答案为：15 74．
由条件结合正弦定理求sinC，由同角关系求csC，再由余弦定理求a，根据三角形面积公式求△ABC的面积．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】 32
【解析】解：∵|b+xa|≥|b−12a|，∴|b+xa|2≥|b−12a|2，
整理可得a2x2+2|a|x+|a|−14a2≥0，
∵对任意x∈R，上式恒成立，
∴Δ=4|a|2−4|a|2(|a|−14|a|2)≤0；
由题意知|a|≠0，∴(1−12|a|)2≤0，∴|a|=2，
∴|tb−12a|= t2|b|2+14|a|2−tb⋅a
= 4t2−2t+1=2 (t−14)2+316≥ 32，当t=14时等号成立．
故答案为： 32．
先根据向量的夹角、模长及恒成立求出|a|=2，将|tb−12a|(t∈R)表示成关于t的函数，根据二次函数最值即可求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
15.【答案】解：(1)由题干得到：a=(m,−1)，b=(1,2)．
故得到：a+b=(m+1,1)，2b=(2,4)．
已知(a+b)⊥2b，所以可得(a+b)⋅2b=0，即2(m+1)+4=0．
解得m=−3．
所以a+2b=(−1,3)．
故|a+2b|= 10．
(2)因为向量c=(−2,1)，a/​/c，所以m−2=0，所以m=2．
则a=(2,−1)，a−2b=(0,−5)．
所以cs〈a,a−2b〉=a⋅(a−2b)|a||a−2b|=5 5×5= 55，
所以a与a−2b夹角的余弦值为 55．
【解析】(1)根据(a+b)⊥2b求得m=−3，从而可得a+2b=(−1,3)，于是|a+2b|= 10；
(2)由a/​/c，可得a=(2,−1)，再由夹角公式计算即可．
本题主要考查向量的数量积公式和夹角公式，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为B=120°，所以csB=−12，
因为sinBsinC=1−csBcsA，由正弦定理可得bc=1+12csA，
可得32c=b⋅csA=b⋅b2+c2−a22bc，
整理可得b2=2c2+a2，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2+ac，
所以2c2+a2=a2+c2+ac，可得a=c，
所以△ABC为等腰三角形，在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅csB，AD= 7，
即7=c2+c24−2c⋅c2⋅(−12)，解得c=2；
(2)若S△ABC= 34(a2+b2−c2)= 34×a2+b2−c22ab×2ab= 32abcsC
而S△ABC=12absinC，
所以tanC= 3，所以C=π3，
因为sinBsinC=1−csBcsA，即sinBcsA=sinC−sinCcsB=sin(A+B)−csCcsB=sinAcsB+csBsinA−sinCcsB，
可得csB(sinA−sinC)=0，
可得csB=0，即B=π2，
或sinA=sinC，可得A=C，
当B=π2时，b2=a2+c2，
而c=1，所以b=2 33，a= 33
所以S△ABC=12ac=12⋅1⋅ 33= 36；
当A=C时，即a=c=1，可得△ABC为等边三角形，所以S△ABC= 34⋅12= 34，
所以S△ABC= 36或 34．
【解析】(1)由B角，可得B的正余弦值，再由sinBsinC=1−csBcsA及三角形中C角与A+B的关系，再由两角和的正弦公式展开式可得a，b，c之间的关系，再由余弦定理可得a=c，在△ABD中，由余弦定理可得c的值；
(2)由三角形的面积可得C=π3，再由sinBsinC=1−csBcsA可得csB(sinA−sinC)=0，可得B=π2或a=c=1，分别讨论两种情况，求出三角形的面积．
本题考查正余弦定理及面积公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为AB=2，AC=4，
而S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12×2×3×sin∠BAC=3 32，
所以sin∠BAC= 32，因为∠BAC为锐角，
所以∠BAC=60°，
因为D在线段BC上，且BD=3DC，
所以AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC−AB)=14AB+34AC①，
因为AB⋅AC=|AB||AC|csA=2×4×12=4，
①两边平方整理可得|AD|= 432，
即AD= 432；
(2)因为E是线段AC的中点，
所以BE=BA+AE=−AB+12AC，
所以|BE|= (−AB+12AC)2= AB2+14AC2−AB⋅AC= 22+14×42−2×4×12=2，
又AD⋅BE=(14AB+34AC)⋅(−AB+12AC)=−14AB2+38AC2−58AC⋅AB=52，
所以cs∠DPE=AD⋅BE|AD|⋅|BE|=522× 432=5 4386，
所以∠DPE的余弦值为5 4386．
【解析】(1)由面积公式求出∠BAC，依题意可得AD=14AB+34AC，根据数量积的运算律及定义计算可得；
(2)用AB、AC表示BE，再根据cs∠DPE=AD⋅BE|AD|⋅|BE|计算可得．
本题考查三角形面积公式的应用及向量的运算性质的应用，属于中档题..
18.【答案】解：(1)如图所示，连接OP，

依题意可得，∠AOB=π3，∠POB=θ，PN//MO，OP=OA=t=100，
在△OPN中，∠ONP=2π3,∠OPN=π3−θ，
由正弦定理得ONsin∠OPN=OPsin∠ONP，
即ONsin(π3−θ)=OPsin2π3，则ON=2 33tsin(π3−θ)，0<θ<π3，
则顾客的休息区域面积S=2S△OPN=OP⋅ON⋅sinθ=2 33t2sinθsin(π3−θ)
=2 33t2sinθ( 32csθ−12sinθ)
= 33t2( 3sinθcsθ−sin2θ)= 33t2( 32sin2θ−1−cs2θ2)
= 33t2[sin(2θ+π6)−12]，
由0<θ<π3，得π6<2θ+π6<5π6，
所以sin(2θ+π6)∈(12,1]，
所以当2θ+π6=π2，即θ=π6时，顾客的休息区域面积S取得最大值，
且最大值为S= 33t2×12= 36t2=5000 33平方米；
(2)由(1)ONsin(π3−θ)=OPsin2π3=PNsinθ，OP=OA=t=100，
所以ON=2 33tsin(π3−θ),OM=PN=2 33tsinθ，
依题意，OP=xOA+yOB=OM+ON，
则x=2 33sinθ,y=2 33sin(π3−θ)，
所以x2+y2=43[sin2θ+( 32csθ−12sinθ)2]=43(5sin2θ4− 32sinθcsθ+34cs2θ)
=43[58(1−cs2θ)− 34sin2θ+38(1+cs2θ)]=43−23( 32sin2θ+12cs2θ)
=43−23sin(2θ+π6)，
由0<θ<π3，得π6<2θ+π6<5π6，
则sin(2θ+π6)∈(12,1],−23sin(2θ+π6)∈[−23,−13)，
所以x2+y2=43−23sin(2θ+π6)∈[23,1)．
故x2+y2∈[23,1)．
【解析】(1)由正弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换可得S关于θ的函数关系式，进一步由三角函数性质即可求解；
(2)由平面向量基本定理首先得x=2 33sinθ,y=2 33sin(π3−θ)，由此结合三角恒等变换转换为求三角函数范围问题即可．
本题考查了三角函数在生活中的实际应用，考查了三角恒等变换，关键是熟悉三角变换公式，属于中档题．
19.【答案】解：(1)①由正弦定理得c2−a2=(c−b)b，即b2+c2−a2=bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，又A∈(0,π)，
所以A=π3；
②由①A=π3，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC得：
12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12×2× 32，整理得xy+yz+xz=2，
则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC
=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12×2=−1；

(2)因为cs2B+cs2C−cs2A=1，
所以cs[(B+C)+(B−C)]+cs[(B+C)−(B−C)]=cs2A+1，
所以2cs(B+C)cs(B−C)=2cs2A，即−2csAcs(B−C)=2cs2A，
所以csA=0或−cs(B−C)=csA，
当csA=0时，A=π2，△ABC为直角三角形，
当−cs(B−C)=csA，
则−csBcsC−sinBsinC=−cs(B+C)=−csBcsC+sinBsinC，
得sinBsinC=0，在三角形中不可能成立，
所以△ABC为A=π2的直角三角形，
因为点P为△ABC的费马点，则∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)，
故实数t的最小值为2+2 3．
【解析】(1)①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
(2)由(1)结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再结合基本不等式即可求得答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．